一元二次方程复习全版课件

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1、一元二次方程一、一、定义及一般形式定义及一般形式:1.只含有只含有_个未知数个未知数,且未知数的且未知数的最高次数为最高次数为_的的_方程方程叫做一元二次方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是_(a0);其中其中a是是二次项系数二次项系数,b是一次项系数是一次项系数,c是是 常常数项数项.一一2整式整式ax2+bx+c=01、判断下面哪些方程是一元二次方程：、判断下面哪些方程是一元二次方程：222221x2y24(1)x-3x+4=x-7 ()(2)2X=-4 ()(3)3 X+5X-1=0 ()(4)3x-20 ()(5)13 ()(6)0 ()xy 07

2、2cbxax）（()2 2、把方程（、把方程（1-x)(2-x)=3-x1-x)(2-x)=3-x2 2 化为一般形式是：化为一般形式是：_,_,其二次项系数是其二次项系数是_,_,一次项系数一次项系数是是_,_,常数项是常数项是_._.3 3、方程（、方程（m-2)xm-2)x|m|m|+3mx-4=0+3mx-4=0是关于是关于x的一元二次的一元二次方程，则方程，则 （）A.m=A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2 4 4、若、若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8=0+ax-8=0的根，则的根，则a=_.a=_.2x2x2

3、2-3x-1=0-3x-1=02 2-3-3-1-1C C2 2二、你学过一元二次方程的哪些解法二、你学过一元二次方程的哪些解法?因式分解法因式分解法开平方法开平方法配方法配方法公式法公式法你能说出每一种解法的特点吗你能说出每一种解法的特点吗?方程的左边是完全平方式方程的左边是完全平方式,右边是非右边是非负数负数;即形如即形如x x2 2=a=a(a0)(a0)1212xa,xaxa,xa1.1.化化1:1:把二次项系数化为把二次项系数化为1 1;2.2.移项移项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;3.3.配方配方:方程两边同加方程两边同加一次项系数一次项系数 一半的平方一半的平方

4、;4.4.变形变形:化成化成5.5.开平方开平方，求解求解(x xm m)a a+=2 2“配方法配方法”解方程的基本步骤解方程的基本步骤一除、二移、三配、四化、五解一除、二移、三配、四化、五解.用用公式法公式法解一元二次方程的解一元二次方程的前提前提是是:1.1.必需是一般形式的一元二次方程必需是一般形式的一元二次方程:ax ax2 2+bx+c=0(a0).+bx+c=0(a0).2.b2.b2 2-4ac0.-4ac0.0 04ac4acb b.2a2a4ac4acb bb bx x2 22 21.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是:方程左边能够方程左边能够 分解分解,而右边等

5、于零而右边等于零;2.2.理论理论依据依据是是:如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步骤步骤:一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解;x x2 2-3x+1=0 -3x+1=0 3x 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0 +t=0 x x2 2-4x=2 -4x=2 2x 2x2 2x=0 x=0 5(m+

6、2)5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 -y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0 +4x-1=0 (x-2)(x-2)2 2=2(x-2)=2(x-2)适合运用直接开平方法适合运用直接开平方法 ；适合运用因式分解法适合运用因式分解法 ；适合运用公式法适合运用公式法 ；适合运用配方法适合运用配方法 .例：解一元二次方程例：解一元二次方程 1.用直接开平方法用直接开平方法：(x+2)2=3.3.用公式法解方程用公式法解方程 :3x3x2 2=4x+7=4x+72.2.用因式分解法解方程用因式分解法解方程：（y+2)y+2)2 2=3(y+2=3(y+2）4.用配方法解方程

7、用配方法解方程:4x2-8x-5=0用最好的方法求解下列方程：用最好的方法求解下列方程：1)1)（3x-23x-2）-49=0 -49=0 2)2)（3x-43x-4）=（4x-34x-3）3)4y=13)4y=1 y y32请用四种方法解下列方程请用四种方法解下列方程:4(x 4(x1)1)2 2=(2x=(2x5)5)2 2先考虑开平方法先考虑开平方法,再用因式分解法再用因式分解法;最后才用公式法和配方法最后才用公式法和配方法;三、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根的判别式 002acbxax042 acb两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程根的情况定

8、理与逆定理042 acb042 acb两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)acb42042 acb042 acb042 acb若一元二次方程有若一元二次方程有实数根实数根，则，则042 acb例题：例题：求证：关于求证：关于x x的方程的方程x x2 2-(m+2)x+2m-1=0-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.1 1、关于、关于x x的一元二次方程的一元二次方程有实数根，则有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_ _ 01)12xxm（2 2、关于、关于x x的方程的方程 有实数根，有实数根，则整数则整数a

9、 a的最大值是的最大值是_._.2(6)860axx练习：练习：ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有

10、简单方、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。形式再选取合理的方法。1 1、直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法练习检测练习检测1 1、下列方程中是关于、下列方程中是关于x x的一元二次方程的是（的一元二次方程的是（）0.01.222cbxaxBxxA0523.1)2)(1.(22yxyxDxxC2 2、一元二次方程、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x(3x-1)(2x+2)=x2 2-2-2化为一般形式为化为一般形式为_,_,二次项系数为二次项系数为

11、_,_,一次项系数一次项系数为为_,_,常数项为常数项为_._.3 3、已知、已知x=1x=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+ax+b=0+ax+b=0的一个根，则代数的一个根，则代数式式a a2 2+b+b2 2+2ab+2ab的值是的值是_._.4.4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（其中答对的是（）A A、若、若x x2 2=4=4，则，则x=2 x=2 B B、若、若3x3x2 2=6x=6x，则，则x=2x=2C C、若、若x x2 2+x-k=0+x-k=0的一个根是的一个根是1 1，则，则k=2k=223

12、222D、D、若若的的值值为为零零，则则xxxx5.5.一元二次方程一元二次方程x x2 2x x2=02=0的解是的解是_._.6 6（20142014广西贺州）已知关于广西贺州）已知关于x x的方程的方程x x2 2+(1+(1m)xm)x+=0+=0有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则m m的最大整数值是的最大整数值是_42m9.9.（20142014扬州扬州）已知关于）已知关于x x的方程的方程（k k1 1）x x2 2（k k1 1）x+=0 x+=0有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，求求k k的值的值418 8、已知关于、已知关于x x的方程的方程(m(m2 2

13、-1)x-1)x2 2+(m-1)x-2m+1=0,+(m-1)x-2m+1=0,当当m_m_时，是一元二次方程；当时，是一元二次方程；当m_m_时，是时，是一元一次方程；当一元一次方程；当m=_m=_时，时，x=0.x=0.7 7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1 1，-2-2，则这个方程可以是，则这个方程可以是_._.10.10.（20142014株洲）株洲）已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程（a+ca+c）x x2 2+2bx+2bx+（a ac c）=0=0，其中，其中a a、b b、c c分别为分别为 ABCABC三

14、边的长三边的长（1 1）如果）如果x=x=1 1是方程的根，试判断是方程的根，试判断ABCABC的形状，并的形状，并说明理由；说明理由；（2 2）如果方程有两个相等的实数根，试判断）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABCABC的的形状，并说明理由；形状，并说明理由；（3 3）如果）如果ABCABC是等边三角形，试求这个一元二次方是等边三角形，试求这个一元二次方程的根程的根 请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答题目中提出的有关问题题目中提出的有关问题.为解方程为解方程(x(x2 21)1)2 25(x5(x2 21)+4=01)+4=0，我们

15、可以将，我们可以将x x2 21 1视为一个整体，然后设视为一个整体，然后设x x2 21=y1=y，则原方程可化为，则原方程可化为y y2 25y+4=0 5y+4=0 解得解得y y1 1=1,y=1,y2 2=4.=4.当当y=1y=1时，时，x x2 21=11=1，xx2 2=2=2，x=x=.当当y=4y=4时，时，x x2 21=41=4，xx2 2=5=5，x=x=.原方程的解为原方程的解为x x1 1=，x x2 2=，x x3 3=，x x4 4=.解答问题：解答问题：(2)(2)解方程（解方程（x x2 2-3-3）2 2 -3(x-3(x2 2-3)=4-3)=4222

16、555选择适当的方法解下列方程选择适当的方法解下列方程:x x2 22 21)1)1)(x1)(x(x(x8 81)1)(3x(3x1)1)(2x(2x7 78 849497)7)x(2xx(2x6 6 2x2x7)7)x(3xx(3x5 59x9x2)2)(x(x4 4 4x4x1 13x3x3 32x2x5x5x2 2 1 1x x252516161 12 22 22 22 22 22 22 231214111)1(xxxx解方程027722)2(22xxxx若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为的两根为x1、x2，则，则 x1+x2=x1x2=ba ca若方程若方程x2+px+

17、q=0(a0)的两根的两根 为为x1、x2，则，则 x1+x2=x1x2=p q以以x1、x2为两根的一元二次方程为：为两根的一元二次方程为：x2(x1+x2)x+x1x2=0一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系1、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程x+(m-1)x-5=0，当当m _时，方程的两根为互为相反数时，方程的两根为互为相反数.2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程3x-5x+(m-1)=0，当当m _时，方程的两根为互为倒数时，方程的两根为互为倒数.=1=4若方程的两根为互为相反数，则若方程的两根为互为相反数，则b=0。若方程的两根为互为倒数，则若方程的两根

18、为互为倒数，则a=c。3、已知已知 是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程 的两根，是否存在实数的两根，是否存在实数k，使，使 成立？成立？12xx、01kkx4kx42 23x2xxx22121 4 若关于的一元二次方程若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.且且 C.D.且且2210kxx 1k 1k 0k 1k 1k 0k 1.审清题意，弄清题中的已知量和审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。未知量找出题中的等量关系。2.恰当地设出未知数，用未知数的恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。代数式

19、表示未知量。3.根据题中的等量关系列出方程。根据题中的等量关系列出方程。4.解方程得出方程的解。解方程得出方程的解。5.检验看方程的解是否符合题意。检验看方程的解是否符合题意。6.作答注意单位。作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。列方程解应用题的解题过程。三、一元二次方程的应用。三、一元二次方程的应用。1、数字问题、数字问题2、变化率问题、疾病传播问题、变化率问题、疾病传播问题4、面积问题、面积问题3、利润问题、利润问题5、几何问题、几何问题注意：注意：设要有单位设要有单位 解出方程后检验根的合理性解出方程后检验根的合理性两个数的差等于两个数的差等于4,积等于积等于45,求这两个数求这两个

20、数.:,x解 设较小的数为根据题意 得.454 xx.04542xx整理得.9,521xx解得.5494,9454xx或.5,99,5:或这两个数为答2.有一个正两位数有一个正两位数,它的十位数字与个位数它的十位数字与个位数字的和是字的和是5.5.把这个两位数的十位数字与个把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数位数字互换后得到另一个两位数,两个两两个两位数的积为位数的积为736.736.求原来的两位数求原来的两位数.得根据题意字为设这个两位数的个位数解,:x.736510510 xxxx.0652 xx整理得.3,221xx解得.2355,3255xx或.2332:或这两个数为

21、答一次会议上一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了有人统计一共握了66次手次手.这次会议到会的人数是多这次会议到会的人数是多少少?得根据题意设这次到会的人数为解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合题意xx.01322 xx:解得.12:人这次到会的人数为答如图如图,在一块长在一块长92m,宽宽60m的矩形耕地上挖三条水渠的矩形耕地上挖三条水渠,水渠水渠的宽度都相等的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为水渠把耕地分成面积均为885m2的的6个矩个矩形小块形小块,水渠应挖多宽水渠应挖多宽.得根据题意设水渠

22、的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105;121舍去不合题意xx,01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答甲公司前年缴税甲公司前年缴税40万元，今年缴税万元，今年缴税48.4万元万元.该公司缴税该公司缴税的年平均增长率为多少的年平均增长率为多少?得根据题意设每年平均增长率为解,:x.4.48)1(402x:解这个方程).,(01.21.11%;101.1121舍去不合题意xx%.10:每年的平均增长率为答某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年今年4月份的电冰箱产量为月份的电冰箱产

23、量为5万台，万台，6月份比月份比5月份多生产了月份多生产了12000台台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?得根据题意均增长率为设该厂今年产量的月平解,:x.2.115)1(52xx:整理得).,(02.11075%;202.0107521舍去不合题意xx.0625252xx:解得%.20:增长率为该厂今年产量的月平均答某水果批发商场经销一种高档水果某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利如果每千克盈利10元元,每天可售出每天可售出500千克千克,经市场调查发现经市场调查发现,在进货价不变的情在进货价不变的情况下况下,若每千克涨价若每千克涨价1元元,

24、日销售量减少日销售量减少20千克千克,现该商场要现该商场要保证每天盈利保证每天盈利6000元元,同时又要使顾客得到实惠同时又要使顾客得到实惠,那么每那么每千克应涨价多少元千克应涨价多少元?解解:设每千克水果应涨价设每千克水果应涨价x元元,依题意得依题意得:(500-20 x)(10+x)=6000 整理得整理得:x2-15x+50=0 解这个方程得解这个方程得:x1=5 x2=10 要使顾客得到实惠应取要使顾客得到实惠应取x=5 答答:每千克水果应涨价每千克水果应涨价 5元元.某商场销售一批名牌衬衫某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出现在平均每天能售出20件件,每件盈利每件盈利40元元.

25、为了尽快减少库存为了尽快减少库存,商场决定采取降价商场决定采取降价措施措施.经调查发现经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低如果这种衬衫的售价每降低1元时元时,平均每天能多售出平均每天能多售出2件件.商场要想平均每天盈利商场要想平均每天盈利1200元元,每件衬衫应降价多少元每件衬衫应降价多少元?得根据题意元设每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx.020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或某果园有某果园有100棵桃树棵桃树,一棵桃树平均结一棵桃树平均结1000个桃子个桃子,现准备多现准备多种一

26、些桃树以提高产量种一些桃树以提高产量.试验发现试验发现,每多种一棵桃树每多种一棵桃树,每棵棵每棵棵桃树的产量就会减少桃树的产量就会减少2个个.如果要使产量增加如果要使产量增加15.2%,那么应那么应多种多少棵桃树多种多少棵桃树?得根据题意棵设多种桃树解,:x.%2.1511000100)121000)(100(xx.0760040:2xx整理得得解这个方程,.380,2021xx.38020:棵棵或应多种桃树答小明将勤工助学挣得的小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行元钱按一年定期存入银行,到期到期后取出后取出50元用来购买学习用品元用来购买学习用品 剩下的剩下的450元连同应得的税

27、元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变持不变,且到期后可得税后本息约且到期后可得税后本息约461元元,那么这种存款的年那么这种存款的年利率大约是多少利率大约是多少?(精确到精确到0.01%).得根据题意设这种存款的年利率为解,:x.461)8.01(50)8.01(500 xx:整理得).,(0%;44.1144.021舍去不合题意xx.0117603202xx:解得%.44.1:这种存款的年利率约为答,6402.769760640591680760 xn 将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段

28、,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.1:xcm:整理得.32245656;24325656xx或,0768562xx:解得.24,3221xx.100,2432:2cmcmcm于可使正方形的面积和等或剪下的一段为答.100456)4(22xxn将一条长为将一条长为

29、56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.2:xcm:整理得,0562xx:解得.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答.196456)4(22xx.,0,5621舍去不合题意xxn将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成

30、两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个正方形正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.3:xcm.200456)4(22xx:整理得.,081828;568182821舍去均不合题意xx,034562xx:解得.818282818256x.200,:2cm等于正方形的面积和不可能不能剪答n 在在

31、“勾股勾股”章中有这样一个问题章中有这样一个问题:n今有邑方不知大小今有邑方不知大小,各中开门各中开门.出北门二十步有木出北门二十步有木,出南门出南门十四步折而西行十四步折而西行,一千七百七十五步见木一千七百七十五步见木.问邑方几何问邑方几何.n大意是大意是:n如图如图,四边形四边形DEFG是一是一座正方形小城座正方形小城,北门北门H位位于于DG的中点的中点.南门南门K位于位于EF的中点的中点,出北门出北门20步到步到A处有一棵树处有一棵树,出南门出南门14步到步到C处处,再向西行再向西行1775步到步到B处处,正好看到正好看到A处处的树木的树木(即点即点D在直线在直线AB上上).求小城的边长

32、求小城的边长.ABCDEFGHKn如图如图,四边形四边形DEFG是一座正方形小城是一座正方形小城,北门北门H位于位于DG的中点的中点.南南门门K位于位于EF的中点的中点,出北门出北门20步到步到A处有一棵树处有一棵树,出南门出南门14步到步到C处处,再向西行再向西行1775步到步到B处处,正好看到正好看到A处的树木处的树木(即点即点D在直线在直线AB上上).求小城的边长求小城的边长.ABCDEFGHK得由根据题意步设正方形小城边长为解BCDHACAHx,:.17755.0142020 xx:整理得.071000342xx.250:步正方形小城的边长为答).,(284;25021舍去不合题意xx

33、经检验经检验250、-284均是原方程的根均是原方程的根-284不合题意，舍去不合题意，舍去A北东B 某军舰以某军舰以20节的速度由西向东节的速度由西向东航行航行,一艘电子侦察船以一艘电子侦察船以30节的节的速度由南向北航行速度由南向北航行,它能侦察出它能侦察出周围周围50海里海里(包括包括50海里海里)范围内范围内的目标的目标.如图如图,当该军舰行至当该军舰行至A处处时时,电子侦察船正位于电子侦察船正位于A处的正处的正南方向的南方向的B处处,AB=90海里海里.如果如果军舰和侦察船仍按原来速度沿军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行原方向继续航行,那么航行途中那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰侦察船能否侦察到这艘军舰?如如果能果能,最早何时能侦察到最早何时能侦察到?如果不如果不能能,请说明理由请说明理由.BA北东BB得根据题意小时能侦察到军舰设电子侦察船最早需要解,:x.5020)3090(222x:整理得.1328;221xx.05654132xx:解得.2:时能侦察到军舰电子侦察船最早能在答h