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1、第八章 多元函数微分学,一 多元函数与极限 二 多元函数的偏导数 三 多元函数的全微分及其应用 四 多元复合函数的微分法 五 * 多元函数的极值,1.实例分析,一、多元函数,一、多元函数的概念,定义1 ：设在某一过程中有三个变量 x , y 和 z，如果对于 变量 x , y 在其变化范围 D 内的每一对值 ( x , y )， 按照法则 f 有唯一确定的值 z R 与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： 其中 x ，y 称为自变量，z 称为因变量， D为定义域。 D中任一对数 ( x , y )在法则 f 下的对应值 z ，称为 f 在 点( x , y )的函数值，记作 z = f (
2、 x , y ) 。,多元函数的概念,函数 f 的函数值的全体 称为函数 f 的值域。,函数的两个要素:定义域，对应法则,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,一、多元函数极限,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,二、多元函数连续,定义3：设函数 z = f ( x , y )在点 及其附近有定义 如果 ，就称函数 f ( x , y )在点 连续。如果 f ( x , y )在区域 D 的 每一点都连续，就称 f ( x , y ) 在区域 D 连续。,满足以下条件：,多元初等函数： 由多元多项式及基本
3、初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义域内是连续的,在定义域内的连续点求极限可用“代入法”：,例,解,一、 偏导数,第二节 多元函数的偏导数,在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.,一、偏导数的定义,则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f (x
4、, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.,类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成为 y 的一元函数.,则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.,即,定义：设函数 z = f ( x , y ) 在点 的某个邻域内有定义。 固定 ，给 x 增量 ，相应的函数 z 有增量 ，称为 z 关于 x 的偏增量。如果极限 存在，就称其为函数 f ( x , y )在点 处对 x 的偏导数，记作,函数 f ( x , y ) 在点 处对 y 的偏导数，记作,若
5、 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的偏导数都存在, 即(x, y)D,存在.,此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导函数. 简称偏导数.记作,类似定义 z 对 y 的偏导函数.,1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的.,注,因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2. f x (x0, y0) 就是 f x
6、 (x, y), 在点(x0, y0)的值.,算 f x (x0, y0),可用3种方法.,f y (x0, y0),f y (x, y),f y (x0, y0),(1) 用定义算.,例1.,解:,例2.,解:,例4.,解:,在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用.,即, 对多元函数 f (x,y)而言, 即使它在 (x0， y0 )的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (x,y)在 (x0， y0 ) 连续.,三、偏导与连续的关系,两个偏导数都存在的二元函数未必连续,偏导与连续的关系：,例.,易知, f (x, y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.,但它在(0,
7、0)不连续.,如图,由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论,高阶偏导数,称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.,类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.,例1.,解:,一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式.,该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度.,在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (x, y)的改变量 f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0).,一、全微分的概念,第三节 多元函数的全微分,类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义.,记 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0)
8、.,称为 z = f (x, y)在点 (x0, y0) 的全增量.,全微分的定义,定 义,对照一元函数的微分, z = f (x , y), 若z = Ax +0(x) 则dz = Ax = f (x) x .,自然会提出以下问题.,(1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = Ax +By中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有关?,(2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价?,(3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是否也对?,事实上,结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0
9、)可微(不是存在两个偏导) z 在(x0, y0)连续.,可微的条件,证略。,多元函数连续、可导、可微的关系,解,(2, 1) 处的全微分,它们均连续。因此，函数可微分。,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,定理1： 如果函数 在点 ( x , y )有 连续偏导数 ，函数 z = f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) 有连续偏导数 ，则函数 在点( x , y )有连续偏导数 且,第四节 多元函数的求导法则,一 链式法则,链式法则如图示,解,1 求下列函数的偏导数,2 求下列函数的全微分,3 求下列复合函数的偏导数,4 设 u = f ( x+ at )+ g (x at )其中f,g是任意的二阶可微函数， 证明：,答案 1 求下列函数的偏导数,2 求下列函数的全微分,3 求下列复合函数的偏导数,（5）令,（6）令,4 证明：令,
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