随机变量的概率分布与期望1

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1、随机变量的概率分布与期望一、知识回顾1随机变量 那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用大写拉丁字母X、Y、Z（或用小写希腊字母）表示.如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为 型随机变量2离散型随机变量的分布列离散型随机变量：设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P离散型随机变量X的分布列的性质：（1） （2） 3二点分布如果随机变量X的分布列为.其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布01Pp1-p可以记作 4超几何分布一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（MN），这M件中所含这类物

2、品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 .我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布，记作 5条件概率一般地，设A，B为两个事件，且，我们把 称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把读作“ ”注:古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则.6事件的独立性设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件.事件A、B相互独立的充要条件为 .注: 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与 .如果事件相互独立,那么 .“互斥”与“相互独立”的区别与联系相同点不同点都是

3、描绘两个事件间的关系“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”的也可互斥。在解题过程中，要明确事件中的“至少一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：A、B中至少有一个发生的事件为A+B；A、B都发生的事件为ABA、B都不发生的事件为；A、B恰有一个发生的事件为；A、B中至多有一个发生的事件为+.它们之间的概率关系如下表所示A、B互斥A、B相互独立P（A+B）P（A）+P（B）1-P（

4、）P（）P（AB）0P（A）P（B）P（）1-P（A）+P（B）P（）P（）P（）P（A）+P（B）P（A）P（）+P（）P（B）P（+）11-P（A）P（B）7二项分布：(1)一般地，在相同条件下，重复地做n次试验称为n次独立重复试验(2)如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：(其中) 于是得到随机变量的概率分布如下：01P我们称这样的随机变量服从二项分布，记作 ，其中n，p为参数，并记.8数学期望当已知随机变量的分布列为时，则称 为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.注: 随机变量(

5、为常数)的数学期望： ;当离散型随机变量时， ；当离散型随机变量时，则 .9方差、标准差：当已知随机变量的分布列为时，则称 为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.注:随机变量的方差.（a、b均为常数）期望与方差的转化： 对二项分布，有 . 对超几何分布，有 .二、基础自测1一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列、均值和方差2. 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，

6、求这粒种子能成长为幼苗的概率3. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是08，计算：（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率三、典例精析例1甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为p(p1/2)，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5/9.(1)求p的值；(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)例2 2011山东卷 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各

7、一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E.例3某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立（1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列、均值和方差；（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

8、四、巩固练习1. 已知随机变量只能取3个值：，其概率依次成等差数列，则这个数列的公差的取值范围是 .2. 从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 . 3. 设两个独立事件A、B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，那么P（A）为 .4. 一个盒子中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数的期望= .5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且、，若，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 . 6.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜，请求该考生：（1）得60分的概率；（2）得多少分的可能性最大；（3）所得分数的数学期望。- 5 -