线性代数第5章相似矩阵ppt课件

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1、第5章 相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容：方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法的特征值，非零列向量 称为方阵5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义1 设()i jAa是一个 阶方阵,如果存在数 及 nn维非零列向量 12nxxxx使得 A xx,那么,这样的数 称为方阵AA的对应于(或属于)特征值的特征向量x是方

2、阵 的特征值,是对应的特征向量AxA xx()AE 0 x0AE(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组)nn1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa是方阵 的特征值Ax是对应于 的特征向量x是齐次线性方程组()AE 0 x的非零解(右式称为 的特征多项式,记为 ,称为特征方程)A()f()0f(设 )求方阵的特征值与特征向量的步骤 计算 的特征多项式求出特征方程的所有根重根按重数计算）：对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系A()fAE12,n i()iAE 0 x12,n r ()iR AEr1 12212(,n rn rn rcccc cc 为对应于 的

3、全部特征向量.i不全为零)那么例例1 求矩阵求矩阵2112A的特征值与特征向量 解解 2221(2)143(1)(3)12AE所以A的特征值为121,3 对于特征值11,解方程()AE 0 x,由11111100AE得同解方程组1222 xxxx11121 ()1xccRx 通解为一基础解系为111 所以对应于11的全部特征向量为1 11(0)cc 对于特征值23,解方程(3)AE 0 x,由得同解方程组1222 xxxx 12221 ()1xccRx通解为一基础解系为211 所以对应于11的全部特征向量为222(0)cc 111131100AE例例3 求矩阵求矩阵110430102A 的特征

4、值与特征向量解解 211011430(2)(2)(1)43102AE 所以A有2重特征值121，有单特征值32 对于特征值121，解方程()AE 0 x210101420012101000AE，得同解方程组132333 2 xxxxxx 故得通解1211312 ()1xxccRx所以对应于特征值121的全部特征向量为T1 111122(0)ccc 由对于特征值32，解方程(2)AE 0 x.由3101002410010100000AE 得同解方程组123300 xxxx故得通解1222300 ()1xxccRx 对应于特征值的全部特征向量为22200(0)1cc 重特征值算作阶方阵是可逆方阵5

5、.1.2 特征值的性质性质性质1 假设假设n()i jAa的全部特征值为12,n（kk个特征值那么：121122(1),nnnaaa12(2);nA性质性质2 设设A的一个特征值，x为对应的特征01是1A的一个特征值，x为对应向量,且那么特征向量;是方阵性质性质3 设设A的一个特征值，x为对应的特征n是nA的一个特征值，x为对应特征向量;向量,那么n是一个正整数,是方阵性质性质4 设设A的一个特征值，x为对应的特征是01()nnaaa 的一个特征值，x为对应特征向量;向量,假设那么01()nnAa Ea Aa A()A 的特征值都不为零，知可逆，故例例5 设设3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值

6、为 ,求求 A1,1,2*32AAE解解 因为因为AA*1AA A.而1231(1)22A 所以*132232AAEAAE 把上式记作()A，那么2()32 故()A 的特征值为：(1)1,(1)3,(2)3 于是*321(3)39AAE 的互不相同的特征值，5.1.3特征向量的性质 是方阵性质性质1 设设A的一个特征值，x为对应的特征向量,若又有数,A xx，那么;性质性质2 设设12,m 是方阵Aix是对应于i的特征向量(1,2,)im,则向量组12,mx xx即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关的相似矩阵，或称方阵5.2 相似矩阵定义定义2 设设,A B都是n阶方阵，若有可逆

7、矩阵P,使1P APB,则称B是AA与B类似，记作.AB342041,520751ABP，有1P APB，从而AB即 34205207如5.2.1 相似矩阵的概念的对应于与的某个特征值，假设是5.2.2相似矩阵的性质性质性质1;AA（因为1)AE AE性质性质2 假设假设,AB那么;BA性质性质3 假设假设,AB BC那么;AC性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征从而所有的特征 值都相同；值都相同；性质性质5 设设1,P APB是ABx是A的特征向量，那么1PxB的对应于的特征向量 （3可以证明，对应于 的每一个 重特征值若正好有 个线性无关的特征向

8、量,即 那么 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化 定理定理1 阶方阵阶方阵 与对角矩阵相似即与对角矩阵相似即 能对角化能对角化的充分必要条件是的充分必要条件是 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量AAAnn推论推论（能对角化的充分条件假如能对角化的充分条件假如 阶方阵的阶方阵的 个特征值互不相等，那么个特征值互不相等，那么 与对角矩阵相似与对角矩阵相似AnnA注意（1推论的逆命题未必成立（2当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化AAAikiik()iiR AEnkAn的特征多项式为例例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以判断下列矩阵是否可以

9、对角化？若可以对角化对角化,求可逆矩阵使之对角化求可逆矩阵使之对角化10010(1),(2)252.23241AB 解解（1）10()(1)(3)23fAE的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化AAA对1，解方程()AE 0 x,由于00112200AE同解方程组为 1222 xxxx 通解为 11211xcx一基础解系为 111p对3，解方程(3)AE 0 x,由于201032000AE同解方程组为 1220 xxx通解为 12201xcx 一基础解系为 201 p令 1210,11Pp p那么11003P AP 的特征多项式为（2）B2100()252(1)(3)241gBE

10、 因而,的特征值为1，1，3对1，解方程()BE 0 x,由于000121242000242000BE 同解方程组为 12322332 xxxxxxx通解为 12123211001xxccx ,一基础解系为12211,001 ppB对3，解方程(3)BE 0 x,由于2001003222011244000BE 同解方程组为 123330 xxxxx通解为 1233011xxcx 一基础解系为 3011p 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化BB令 123210,101011Pp pp那么1100010003P BP 5.3 向量的内积、正交化方法5.3.1向量的内积 定义定义3 设有设有

11、 维向量 n1122,nnababab1 122,nnaba ba b ,令,称其为 与 的内积 向量的内积具有下列性质其中 都是列向量，为实数）：k性质性质1 ,性质性质2 ,kkk 性质性质3 ,性质性质4,0 0 ,当,00,5.3.2向量的长度 定义定义4 设有设有 n维向量 12naaa 22212,naaa 令 称为n维向量 的长度或范数）当=1时，称 为单位向量向量的长度具有下列性质：性质性质1 非负性：当非负性：当 0时,0;00 性质性质2 齐次性：齐次性：,(kkk 为实数)性质性质3 三角不等式：三角不等式：的夹角当,00时，,arccos 称为n维向量 与 当,10 ,

12、记e ,称非零向量单位化.当,0 时，称向量 与 显然，零向量与任何向量都正交 正交5.3.3正交向量组定义定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组设 是正交向量组，那么12,m 20,(,1,2,)ijiiji jmij 12,m 假设两两正交且都为单位向量，则称 12,m 为单位正交向量组记作 12,me ee正交向量组有下列性质：性质性质1 假设假设 12,m 是正交向量组,那么12,m 线性无关.性质性质2 设设 12,me ee为标准正交向量组，的任一向量，若存在数 为同维数12,mk kk,使1 12 2,m mk ek ek e 那

13、么,(1,2,)imiike 5.3.4正交化方法 找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组的方法如下：设 12,m 为一线性无关向量组（1正交化：取 112122111313233121122,依次类推，一般的，有 121121112211,(1,2,),jjjjjjjjjjm 可以证明,12,m 两两正交,且 12,m 12,m 与 等价（2规范化：令 (1,2,)jmjjje 那么 为单位正交向量组，且12,me ee12,me ee12,m 与 等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特Schimidt正交化过程它不仅满足 12,m 12,m 与 等价，还满足对任何实

14、数(1)kkm12,k 12,k 与 等价例例13 知知 1111 ,求一组非零向量 23,使123,两两正交 解解 23,应该满足,10 x即 1230 xxx其同解方程组为1232233 xxxxxxx 它的通解为 12123111001xxccx一基础解系为 12111,0012111,022321111112,1000,21112 把基础解系正交化，即为所求取于是得 231121,0012 即为所求.5.3.5正交矩阵定义定义6 假如假如n阶矩阵A满足TA AE,那么称A为正交矩阵，简称正交阵 例如 1001cossinsincos1001102211022都是正交矩阵为正交阵，那么

15、正交矩阵有下列性质：性质性质1 假设假设 AA是可逆阵,且 1T,1AAA或;为正交阵，那么 性质性质2 假设假设 ATA 是正交阵;为正交阵性质性质3 A1TAA性质性质4 假设假设,A B为同阶正交矩阵,那么,AB BA也是正交矩阵 是5.4 实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；实向量；性质性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交；相互正交；性质性质3 设设 An阶实对称矩阵,是A的k则齐次线性方程组 重特征根,()AE 0 x的系数

16、矩阵的秩()R AEnr,从而 A的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线r个.是定理定理2 设设 An阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,P使1P AP,其中 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的A的个特征值.5.4.2实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 寻找正交矩阵 P,使 1P AP成为对角阵的步骤如下：1根据特征方程,求出矩阵 0AEA的特征值 的所有不同12,s 及它们的重数 12,sk kk2对每一个特征值(1,2,)iis,解齐次线性方程组()iAE 0 x,求得它的一个基础解系 12,(1,2,);iiiikis 3利用施密特正交化方法，把

17、向量组 12,iiiik 正交单位化得单位正交向量组 12,iiiikppp(1,2,)is从而得到 n个两两正交的单位特征向量组:12111212122212,skkssskppppppppp的个4令 12111212122212(,)P skkssskppppppppp那么 P为正交矩阵,且1,P AP 为对角矩阵，且 对角线上的元素含 iki(1,2,)is恰好是矩阵 An个特征值.其中 的主对角元素(1,2,)isi的重数为 ik顺序与,并且排列P排列顺序相对应 中正交向量组的例例14 设设 011101110A,求一个正交矩阵 P,使 1P AP 为对角矩阵 解解 由由 21111(

18、1)(2)11AE 得A的特征值为 1232,1 对应于 12,解方程(2)AE 0 x,由 2111012121011112000AE 得同解方程组 132333 xxxxxx 通解为 1213111xxcx一基础解系为 1111 ,单位化得 1131313 p对应于 231,解方程()AE 0 x由 111111111000111000AE 得同解方程组 1232233 xxxxxxx 通解为 12233111001xxccx 一基础解系为 23111,001 取2322332221111,111,011,220102 单位化,得 23116211,26206pp,令12311132611

19、1(,)32612036Pp pp则有 1T211P APP AP 注意 上例中若令 123111,110,111QQ 可逆,那么 1211Q AQ例例15 设设 1111A,求 10.A解解 AA为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵 Q,使 1Q AQ 为对角矩阵.于是 1,AQ Q从而 1.nnAQQ由 11(2)11AE 得 A的特征值为 120,2于是 101000,22 对于 10,由 111101100AE得 111 对于 22,由 111121100AE得 211 令 1211,11Q ,再求出 1111112Q,于是 1101010101010111100211111122222AQQ一般地，1021(222nnnnnAQQn为正整数).