旋转体的体积

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1、2 2、定积分的几何含义：、定积分的几何含义：()()|()()bbaaf x dxF xF bF a其中其中F(x)F(x)是被积函数是被积函数f(x)f(x)的的原原函数。函数。1 1、微积分基本定理（牛顿、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）莱布尼茨公式）各面积代数和。则既有正也有负若则若则若上，在区间dxxfxfSdxxfxfSdxxfxfbabababa)(,)(;)(,0)(;)(,0)(,3 3、定积分基本性质、定积分基本性质bcbacabababababadxxfdxxfdxxfdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf)()()()3()()()2()()()()()1

2、(4 4、结论、结论 0)()()(2)()(-0-aaaaaxfxfxfxfxf为奇函数，则若为偶函数，则若演示演示旋转体的定义旋转体的定义示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（示例：圆锥、圆柱、球等的形成过程（演示演示）。）。旋转体的定义：旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴。线叫做旋转轴。aby=f(x)dcx=g(y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋转轴为 x 轴（轴（演示演示）由由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（f(x)0)所围成所围成的曲边

3、梯形绕的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的轴旋转一周而成的旋转体的体积为体积为22()bbxaaVf xdxdyx由由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（g(y)0)所围成所围成的曲边梯形绕的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体轴旋转一周而成的旋转体的体积为积为22()ddyccVg ydydxy2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴（轴（演示演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式例例2 2 连接坐标原点连接坐标原点 O O 及点及点 P(h,r)P(h,r)的直线，的直线，直线直线 x=hx=h及及 x x轴围成一个直角三角形，将它绕轴围成一个直角三角形，将它

4、绕 x x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为 r r，高为，高为 h h的圆锥，的圆锥，计算圆锥的体积。计算圆锥的体积。解解：如图所示：如图所示 直线直线OP的方程为的方程为 ，ryxh所求体积为所求体积为 22013hrVxdxr hhhx,0返回返回例例3 计算由曲线计算由曲线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面所围成的平面图形绕图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。轴旋转一周而成的立体的体积。解：如图所示解：如图所示V2V111400ydyy dy31012yVVV练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 31,1,0yxxy160 x

5、Vx dx11600 xVdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1767 31,1,0yxxy绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 31,1,0yxxy1y=x31y 35,1,yxxx213025yVydy 34,1,yxyy213035yVydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 1y=x3y 223,21xyxyy240 x dx练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕x轴旋转一周轴旋转

6、一周 1222021221Vxdx32 23 21521 226,21xyxyy2222011yVydyydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 32问题的提出问题的提出返回返回旋转体概念旋转体概念返回返回旋转体实例圆锥旋转体实例圆锥返回返回旋转体实例圆柱旋转体实例圆柱返回返回旋转体体积推导旋转体体积推导返回返回体积例题体积例题 3返回返回体积例题体积例题 2返回返回体积例题体积例题 5返回返回基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式-11.()()02.()()()3.()sin()cos4.()cos()-sin5.()()ln6.()()17.()log()ln18.()ln()nnxxxxaf xcfxf xxfxnxnRf xxfxxf xxfxxf xafxaaf xefxef xxfxxaf xxfxx若若若若若若若若若若若若若若若若定积分与平面图形的面积定积分与平面图形的面积解解1220822(2)2(4)18AAAxxdxxxdx 例例1 计算由计算由 和和 所围所围成的图形的面积。成的图形的面积。22yx4yx还有其他方法吗？还有其他方法吗？