数学期望练习

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1、一对一授课教案离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础梳理离散型随机变量的均值与方差Xx1x2xixnPp1p2pipn1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称 为的均值或数学期望，简称期望称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差表示对的平均偏离程度，越大，表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散；越小，表示平均偏离程度越小，说明的取值越集中稳定。正态分布：1 正态分布密度函数：，（0，-x）其中是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取

2、值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为 2正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布3正态曲线的性质：正态分布由参数、唯一确定，如果随机变量N(，2)，根据定义有：=E，=D。正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x =对称。（3）曲线在x =时位于最高点。（4）当x 时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）当一定时，曲线的形状由确定。越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。4标准正态曲线:当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是

3、，（-x+）,其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，（0）=0.5 6.对于正态总体取值的概率：在区间（-，+）、（-2，+2）、（-3，+3）内取值的概率分别为68.26%、95.44%、99.74% 因此我们时常只在区间（-3，+3）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 在实际应用中，通常认

4、为服从于正态分布的随机变量X只取（-3，+3）之间的值，并简称之为3原则。三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)n.六条性质(1)E(C)C(C为常数) (2)E(aXb)aE(X)b(a、b为常数) (3)E(X1X2)EX1EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2) (5)D(X)E(X2)(E(X)2(6)D(aXb)a2D(X)双基自测1(2010山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差

5、为() A. B. C. D2解析由题意知a012351，解得，a1.s22.X101P答案D2已知X的分布列为设Y2X3，则E(Y)的值为() A. B4 C1 D1解析E(X)， E(Y)E(2X3)2E(X)33.78910Px0.10.3y答案A3(2010湖北)某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望E()8.9，则y的值为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.9解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4. 由联立解得x0.2，y0.4.答案A4设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.

6、2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析XB(n，p)，E(X)np1.6， D(X)np(1p)1.28，78910P0.30.350.20.155(2010上海)随机变量的概率分布列由下表给出：该随机变量的均值是_解析由分布列可知E()70.380.3590.2100.158.2.答案8.26设随机变量N（，），且P（C）=P（C），则C等于（ ） A.0 B. C. D.解析：由正态曲线的图象关于直线x=对称可得答案为D. 答案：D7.随机变量服从正态分布N（0，1），如果P（1）=0.8413，求P（10）.解：N（0，1），P（10）=P（01）=（1）（0）

7、=0.84130.5=0.3413.考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1A2和B2A3和B3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)审题视点 首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望解(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X3

8、)，P(X2)，P(X1)，P(X0)；根据题意XY3，所以P(Y0)P(X3)，P(Y1)P(X2)，P(Y2)P(X1)，P(Y3)P(X0).X0123PX的分布列为Y3210PY的分布列为(2)E(X)3210；因为XY3，所以E(Y)3E(X). (1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算(2)由X的期望、方差求aXb的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解【训练1】 (2011四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时

9、的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E()解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)可能取的值有0,2,4,6,8.P(0)；P(2)；P(4)；P(6)；P(8).甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为024

10、68P所以E()02468.考向二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量X具有分布P(Xk)，k1,2,3,4,5，求E(X2)2，D(2X1)，.审题视点 利用期望与方差的性质求解解E(X)123453.E(X2)12232425211.D(X)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(41014)2.E(X2)2E(X24X4)E(X2)4E(X)41112427.D(2X1)4D(X)8，. 若X是随机变量，则f(X)一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算考向三均值与方差的实际应用【例3】(2011福建)某产品按行业生

11、产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望(3)

12、在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性审题视点 (1)利用分布列的性质P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如

13、下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性【训练3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围解(1)依题意，X的可能取值为1,0，1，X的分布列为X101PE(X).(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y22PE(Y)2242，依题意要求42，1.7