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1、第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为若，则 这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如 3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数.
2、（1） （2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 ， （3）， （4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为 , （参P57，（12）动量的几率分布3.5）设粒子处于半壁高的势场中 （1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出: （2）其中 （3）方程的解为 （4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，则于是 （5）在处，波函数及其一级导数连续，得 （
3、6）上两方程相比，得 （7）即 （7） 若令 （8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即 （11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，故有由在、处的连续条件，得 （1）由（1a）可得 （2）由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。因而 （3）又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式， (4)由(3)，得 (5)结合(4),(5
4、)，得 或 （6）一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级： （7）当时，仅当 才有束缚态 ，故给定时，仅当 （8）时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:其中 37）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为 在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故由，得 。由，得 。从上二式消去c, 得 。反射系数 将代入运算，可得38）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11），证明谐振子波函数满足下列关系并由此证明，在态下， 证：谐振子波函数 （1）其中，归一
5、化常数 （2）的递推关系为 （3） 39）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12）证：A3.式（12）：310）谐振子处于态下，计算，解：由题36）， 由题37），对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。311）荷电q的谐振子，受到外电场的作用， （1）求能量本征值和本征函数。解： （2）的本征函数为 ， 本征值 现将的本征值记为，本症函数记为。式（1）的势能项可以写成 其中 （3）如作坐标平移，令 （4）由于 （5）可表成 （6）（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知 （7） （8）即 （9） (10)其中 (11)312）
6、设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以313）设粒子在下列势阱中运动， (1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq: (2)对于束缚态（），令 (3)则 (4)积分,得跃变的条件 (5) 在处，方程(4)化为 (6)边条件为 因此 (7)再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别
7、得 (8) (9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式） (10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时，所以,利用 ,（10）式化为 ,因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11）纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度 。条件（11）可改写为 （12）即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出即 （13）与势阱的结论完全相同。令， 则式（10）化为 （14）由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级 （15）
量子力学导论第3章答案
