2-均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真-课程设计说明书

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1、课程设计说明书设计题目：半导体激光器可饱和吸收晶体被动调Q实现学生学号：门06020103学生姓名：指导教师：张科起止日期：2014.2014物理与电子信息系光电信息科学与工程专业摘要本文首先利用分离变量法求解均匀电场中球形介质静电场的拉普拉斯方程，根据边界条件得出 具体的分析解。然后，利用Mathematica程序求解均匀电场中球形介质的电场分布，并绘制电场的 空间分布的矢量图。本文的特点是：数学上的分析解不能直观地给出静电场的矢量图；利用 Mathematica程序绘制的电场空间分布的欠量图具有直观性。关键词：静电场的拉普拉斯方程；球形介质；Mathematica仿真第 1 章 Mathe

2、matica 软件11. 1 Mathematica 简介11.2 Mathematica 运算2第2章分离变量法求解静电场42.1拉普拉斯方程的分析解42.2均匀电场中球形介质的电场分布5第 3 章 Mathematica 仿真7程序12参考文献14致谢15-in -第1章Mathemat ica软件第1章Mathematica软件1. 1 Mathematica 简介Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的数学软件。它的主要使用者是从事理论研 究的数学工作者和其它科学工作者、以及从事实际工作的工程技术人员。Mathematica可以用于解 决各种领域的涉及复杂

3、的符号计算和数值计算的问题。对以前必须借助于手工推导才能解决的问 题，现在可以很方便地用计算机来完成。Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、 文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，截至2009 年，它也是为止使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。 Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技 和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。Mathematica主要可以做数值运算、符号运算和图像处理三项工作。尤其在符

4、号演算工作中， 显示了它的强大功能。它能对符号进行多项式的计算、因式分解、展开，以及求解方程、极限、导 数、积分等。它也能进行数值的或一般代数式的向量、矩阵的各种计算。用Mathematica可以很方 便地画出用各种方式表示的一元和二元函数的图形。通过这样的图形，我们可以立即形象地把握住 函数的某些特性，而这些特征一般很难从函数的符号表达式中看清楚。Mathematica还是一个很容 易扩充和修改的系统，它提供了一套描述方法，相当于一个编程语言，用这个语言可以写程序，解 决各种特殊问题。Mathematica和MATLAB、Maple并称为三大数学软件。1. 2 Mathematica 运算如

5、果在Windows环境下己安装好Mathematica 5.0,启动Windows后，在开始”菜单的程 序中单击Mathematica 5.0,在屏幕上显示如图的Notebook窗口，系统暂时取Untitled-1,直到 用户保存时重新命名为止。Mathematica的基本语法特点：(1) Mathematica中大写小写是有区别的，如plot、Plot是不同的变量名或函数名。自定义的变 量可以取儿乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。Mathematica中的函数分为两类， 一类是常用的数学函数，如：绝对值函数AbsEx,正弦函数SinEx,余弦函数CosW,以e 为底的对数函数Logx

6、,以a为底的对数函数Loga, x等；第二类是命令意义上的函数，如 作函数图形的函数Plot f x, x, xmin, xmax,解方程函数Solveeqn, x,求导函数Df x, x等。 在Mathematica中，我们应注意四种括号的用法：（）圆括号表示项的结合顺序方括号表示 函数，如Logx, BesselJk, 11； 大括号表示一个“表”（一组数字、任意表达式、函数 等的；集合）,如2x, Sin12 Pi, 1+A, y*x； 双方括号表示“表”或“表达式”的 下标，如 a2, 3、a, b, cl二a。 Mathematica还定义了一些系统常数，如Pi表示圆周率的精确值，还

7、有E表示自然对数的底 数、I表示复数单位，Degree表示角度一度，Pi/180, Infinity表示无穷大等，这些常数在 运算中发挥了重要的作用。 乘法即可以用*, 乂可以用空格表示，如2 3=2*3=6 , x y, 2 Sinx等；乘幕可以用” 表示,如 x4, Tanx y。（5）在输入语句时，以分号结束的语句行或表达式，Mathematica默认不显示计算结果，否则将 输出计算的结果。（6）要想查询某一函数的具体用法可在Notebook界面下，用？或？可向系统查询运算符、函 数和命令的定义和用法，获取简单而直接的帮助信息。也可用Options函数需查询。当 然，要想主动地去了解更多

8、的函数，可在Mathematica界面上单击帮助菜单项的Help Browser, 可了解有关函数的更多信息。代数运算：（1）数的表示及计算在Notebook界面上，可以对大量数值进彳亍计算，Mathematica总会以非常精确的形式输出结 果。例如+_L733431231如果要想得到近似值可用求值函数Nexpr, n, expr是数值表达式，n是有效数值的位数。125N , 307331.865800865800865800865800865Mathematica许多函数直接可以用來做数值计算，例如求方程数值解函数NSolve、数值积分函 数NIntegrate、数值求和函数NSum等等。（

9、2）变量与变量赋值在Mathematica中，给变量赋值常用“二”表示，我们既可以给变量赋数字值，也可以给变量 赋符号值。例如让x赋值5,而y赋值a。X= 5; y = a;则在以后的运算中，当需调用X或y的表达式时，Mathematica将用所赋的值替代它们，例 如xA2+y225+a2如果你需要用到上一步的运算结果，可以用%代替整个上一步的运算结果，事实上，你也可以 用以前运算的第n次结果如號表示倒数第二次的运算结果。%+b25+ a2 + b另一种变量赋值类似于变量的替换，用（/.）表示，例如在代数式4/2+2中进行xT2的替换4x 2+2/. x 218表达式x-7x+3由兀=。+川弋

10、替x 2-7x+3/. x a+b37 a b a b 在同一行中可以输入多个语句，语句之间用（；）分开。当你需要Mathematica进行运算而不 需要对结果输出时，可以在表达式后面放一个分号（；）（3）函数的定义在Mathematica中，函数的定义是用“】=”表示。例如fx_:=xA2+6定义以后，Matliematica会自动使用己定义的规则，例如求x=a+b时的fx值fa+b6 a b 第2章分离变量法求解静电场应用分离变量法求解拉普拉斯方程，具体的步骤是：首先在选定的坐标系下，将电位 函数表示为三个未知函数的乘积，其中每个函数只含一个坐标变量。将三个未知函数般乘 积代入拉普拉斯方程

11、，从而分离出三个常微分方程，由它们的解的乘积可构成电位函数的 级数形式通解。然后再根据绐定的边界条件來确定通解中的待定系数。2.1拉普拉斯方程的分析解直角坐标系中拉普拉斯方程为d2v d2v d2v 八+ =0dx dy dr(2-1) 设位函数V(x, y, z)为三个函数的乘积，即y y,z)=x(x)y(y)z(z)(2-2) 则可求得拉普拉斯方程的解为v(x,y,z) = (q + 冬 x)a +厲刃(他 +%) + 工 X(x)Y(y)Z (2-3)X (x) = A singx) + B cos(任兀)V o(2-4)Y(y) = C sin 伙、y)+ Dcosg.y)k； 0(

12、2-5)Z =Fs h(k.z)-Gc h(k. z)k.2 0(2-6)式中为分离常数，且满足V+V+V=o(2-7) 需要指出的是，式中k可以是实数，也可以为虚数。应当指出中任何两个如为实数，其余一个必为 虚数。即X (x) , Y(y)和Z(z)中必有两个为三角函数而其余一个为双曲函数。有时将双曲函数解写成指数形式解是方便的。为满足边界条件，分离常数常常需取一系列值，形成级数解。若电位与 某个量（如Z）无关，则解的形式可简化成二维。在球坐标系中，标量电位V的拉普拉斯方程为1 d=0dV 、1 d2V) ；7oO R2 sin2 0(2-8)当电位与方位角0无关时，拉普拉斯方程的通解为+爲

13、比（cos &）(2-9)71=0E（COS0）为勒让徳多项式，4和是待定常数由具体问题的边界条件给出。2.2均匀电场中球形介质的电场分布一半径为a介电常数为的介质球放置在均匀电场&中。求介质球内、外的电位及电场。 解：介质球外电位叫和球内电位匕满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为(2-10)% =工疋+蛊出（cos。）n K丿（2-11）其中5b“,cd“是待定系数。电位的边界条件是（1）R s,V t -EqRcos。（2）RtO,匕为有限值(3) R = a : Vl=V2严)OR由边界条件（1）可得(2-12)由边界条件（2）可得d“ = 0(243)由边界条件（3）可得

14、(244)所有常数己经确定，解为叭=ERcos8+E_ Eq EqRq cosO6+2sq R2er cose o(245)Pn / n z 0 z mPn, n, 0, m第3章Mathemat i ca仿真Mathematica仿真程丿宇如下。程序顶格，输出结果居中并标有公式数码。解：介质球外电位叫和球内电位匕满足拉普拉斯方程，它们都具有轴对称性，其通解分别为CleaiHGlobar*nVI Sum An R An Bn RA n 1V2 Sum Cn R An Dn RA n 1(2-16)电位的边界条件是(1) R tsM t-EqRcos。(2) RtO,匕为有限值(3) R = a

15、:Vl=V2严)OR由边界条件可知，求和只需取至的项。勒让徳函数前两顶是4 = 1和4=cos(8)。电位的通解可以简化为VISum AnR AnBnR A n1Pn,n, 0,1Po 1/ PlCosV2Sum CnR AnDnR A n1Pn/n, 0,1PO 1/ PlCosBoBiA0 Cos RRAiCoDo1CosRRCiDi(2-17)把电位代入边界条件(1)VI . Bq 0, B 0EO R CosAo R Cos AiEO RCos(2-18)比较系数知Ao = 0; Ai 二一EO;由边界条件(2)显然可知Do = 0; Di = 0;由边界条件(3)的第一条件aEOBa

16、-Cq a Cos 6(2-19)用Coefficient函数比较上方程cos(Q)的系数得方程eql,比较上方程的系数得方程eq2BqBjeql Coefficient Cosa E0 ,Cosaa2Coefficient Cq a Cos Clz Cosc Bia E0 a Cja2BpaBpa(2-20)(2-21)由边界条件(3)的第二条件得0 D Vl r R R aD V2, R R a2 BiEO -0Cos Ci(2-22)比较上方程cos(C)的系数得方程eq32 Bieq3 E0 o Ci显然有Bo = O；结合方程eq3有Co = O;联立求解eql和eq3可求出B,和s

17、ol Solve eql, eq3 r Blz CiBia3 E0 a3 EO 02oCi3 EO o(2-23)把上面的解代入叫和匕就可求出球外电位匕和球内电位V22Vll=Vl/.sol/Fusta3 EO a3 EO 0 CosEO R -R2 2 oV22=V2/.sol/Fust3 EO RCos o(2-24)(2-25)为求出电场强度需调用矢量分析软件包Calculus VectorAiialvsisJ球外电场强度El=Giad-Vll ,SphencalR,9,(|)/Smiphfy2 a3oEO Cos1,衣2 oEO Sina3 R3a3 2 R3 0(2-26)球内电场强

18、度E2=Giad-V22,SphencalR,9,(|)/Smiphfy3 EO Cos o 3 EO Sin202 o(2-27)球内电位也可写为直角坐标形式3 EO *z*e0V22 =;e+2 e0在直角坐标形式下，球内电场强度E2=Giad-V22,Caitesiaiix?y,z3 E0 00, 0,2 Q(2-28)所以介质球内的电场强度是均匀场。把电场强度的球坐标形式转换为克角坐标形式，再利用Mathematica图形函数可作出介质球附近电场线分布平面图如下。CalculusVectorAiialvsisJGiaplucs PlotField i2xRule=i;0,(|)Cooi

19、dinatesFiomCaitesianx?y,z,Sphencal/Tliiead;k=10vll z r x r2xRulek 1r Cos2 k r3 r Cos r2xRule y 0Z 夭4 X-z-(2-29)由上面结果可定义球外电位和球内电位分别为v3 z z xz2(2-30)上；o x2 z2 14根据公式E = -VV ,并用函数PlotGradientField和Plot3D分别绘制出介质球附近的电场线和v3 z z x介质球附近的等位面。PlotGiadientField-v3z.x4z2.0,2.04x,-2.0.2.0, ScaleFunction(3&).Plot

20、Pomts20图介质球附近的电场线Plot3Dv3 zXI，z 厂2,2, x30,BoxRatiosT 1,1,1图32介质球附近的等位面由图3-2可以看出，图中有一圆型区域内的电位是相同的，这反映了介质球内的电场是匀强电 场。程序Mathematica 程序如 F：ClearnGlobals大HVISum AnR AnBnR A n1Pn,n,0,mV2Sum CnR AnDnR A n1Pn,n,0,mVISum AnR AnBnR A n1Pn/n,0,1Po 1, PlCosV2Sum CnR AnDnR A n1Pn,n,0,1Po 1, PlCosVI Bo 0/ Bi0E0RC

21、osAo 0； A EO;Do 0; Di 0;（VI /. Rt a ） （V2 /. Rt a ）BqBjeql Coefficient Cosa E0 r Cosaa2R aCoefficient C a Cos 介Boeq2 C（）a0 D Vl r R R a2 Bieq3 E0 oa3Bo 0;Co 0;sol Solve eql, eq3 ,V11=V1/sol/FirstV22=V2/.sol/FirstCalculusVectoi AnalysisEl=Grad -Vllz Spherical R, 0Z（|） /SimplifyE2=Grad -V22A Spherical

22、 R, 0Z（|） /SimplifyV223 E0 z o2 o ；E2=Grad-V22A Cartesimnx,y,z CalculusVectorAnAlysis、 Graphics、PlotFieldr2xRule=r, （|）CoordinatesFromCartesian x, y, z , Spherical /Threadk=10vl2 z_, x_k 1 r2xRule . y 02 k rJO、2vll z r X3 r Cos r2xRule y o2 kX2 Z2zv3 z , x :; 0 x2 z2 1一 一4PlotGradientField -v3 zz x

23、, z, -2.0,2.0 z xz -2.0z 2.0 zScaleFunctionT (3&) , PlotPoints20Graphics!Plot3D v3 z, x z zz -2Z 2 , x, -2Z 2 z PiotPoint5T30, BoxRatios 1,1,1SurfaceGraphicsZ参考文献1 郭硕鸿.电动力学.高等教育出版社，2008.2 杜建叽Matlieniatica在电磁场理论中的应用.合肥工业大学出版社，2004.3 美D.尤金（邓建松译）.Mathematics使用指南.科学出版社，2002.4 人正.MATHEMATICA5在大学数学课程中的应用.电子工业出版社，2006.5 董键.MATHEMATICA与人学物理计算.清华人学出版社，2010.致谢非常感谢张文海老师在指导我的课程设计期间给予我的帮助。张老师为我提供了 Mathematica 软件，以及相应的操作指导书籍。指导我利用分离变量法求解均匀电场中球形介质静电场的拉普拉 斯方程和具体的分析解。在利用Mathematica程序求解均匀电场中球形介质的电场分布时，张老师 乂指导我认真思考程序的设计，直至绘制电场的空间分布的矢量图。非常感谢在我课程设计期间，我的同学们给我的帮助。