大学物理功能原理和机械能守恒定律

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1、第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学牛顿第二定律牛顿第二定律-力的瞬时效应力的瞬时效应dtPdF 质点的动能定理质点的动能定理-力的空间累积效应力的空间累积效应KPKQQPPQEErdFA 质点系的动能定理质点系的动能定理质点的内力做功进一步分析质点的内力做功进一步分析KPKQEEAA 内内外外?内内A第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学重力对质点做功，只与始末位置有关，而与路径无关重力对质点做功，只与始末位置有关，而与路径无关一质点沿一质点沿ACB 路径运动，重力做功路径运动，重力做功xyoABrdGdAjmgGjdyidxrd mgdydA gdym

2、dAA21yyBAACB )(12ACBmgymgyA 同样：同样：DE)(12AEBADBmgymgyAA 2.4.1 保守力的功和势能保守力的功和势能2.4.1.1 重力做功重力做功地面附近地面附近 为常数为常数假设：质点在假设：质点在 xoy 竖直平面内运竖直平面内运动动考虑两点考虑两点g),(),(2211yxByxArdGC第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.1.2 万有引力做功万有引力做功宇宙星际之间存在万有引力，两星球质量宇宙星际之间存在万有引力，两星球质量 M、m，距离距离 r，m 受受 M 的引力的引力020rrMmGF 假设：质点假设：质点 m

3、沿某一路径有一微小位移沿某一路径有一微小位移rdFdArdrrMmG020而而cos|00rdrrdrdrrdcos|rmMdrF0rarbrABrdr第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学万有引力做功，只与质点始末位置有关，而与路径无关。万有引力做功，只与质点始末位置有关，而与路径无关。BAABdAA )()(a0b0rMmGrMmG 与重力做功特点相同与重力做功特点相同 barr20rdrMmGarbrABrdr于是有于是有drrMmGdA20 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.1.3 弹簧的弹性力做功弹簧的弹性力做功取平衡位置为取平衡位置为

4、 ox 轴原点轴原点xikxf fdxFdAx kxdx dxxkdAABAxxBAAB )(2A2Bkx21kx21 在弹性限度内，弹簧弹力对物体做功只与弹簧端在弹性限度内，弹簧弹力对物体做功只与弹簧端点始末位置有关，而与弹簧的变形过程无关。点始末位置有关，而与弹簧的变形过程无关。xo点击演示点击演示第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学摩擦力做功不但与始末位置有关，而且与路径有关摩擦力做功不但与始末位置有关，而且与路径有关2.4.1.4 摩擦力做功摩擦力做功水平面内一物体质量水平面内一物体质量 m与水平面的滑动摩擦系数与水平面的滑动摩擦系数 ABCORfrdmgf 方向总

5、是与方向总是与 方向相反方向相反frdrdfdA cosmgds mgds R0BAACBdsmgdAA mgR R20BAAOBdsmgdAA mgR2 ACBAOBAA 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.1.5 保守力与非保守力保守力与非保守力非保守力非保守力做功与物体的做功与物体的始末位置始末位置有关，与有关，与路径路径有关有关例如：摩擦力例如：摩擦力保守力的数学表述保守力的数学表述以重力做功为例以重力做功为例由保守力的做功特点由保守力的做功特点rdFAACBACB rdFAADBADB ADBACBAA ADBBDABDArdFrdFA方向不变方向不变方向

6、相反方向相反FrdADBA 做功只与物体做功只与物体始末位置始末位置有关，与所有关，与所路径路径无关无关例如：重力、万有引力、弹簧弹力、静电力例如：重力、万有引力、弹簧弹力、静电力保保 守守 力力ABCD第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学例如：摩擦力做功例如：摩擦力做功-物体做圆周运动一周物体做圆周运动一周rdFAACBDA 0AAABDAACBACBDA 即即 闭合回路的线积分闭合回路的线积分0rdF 物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所做的功为零做的功为零对于非保守力对于非保守力0rdF cosFdsrdFARF2dsF

7、 ABCD第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.1.6 势能势能重力做功重力做功)(12mgymgyA 重重万有引力做功万有引力做功)()(a0b0rMmGrMmGA 万万弹性力做功弹性力做功)(2A2Bkx21kx21A 弹弹 归纳归纳三个公式：等式三个公式：等式左边左边是保守力所做的是保守力所做的功功，等式等式右边右边是只与是只与坐标位置坐标位置有关的量之差值，是某有关的量之差值，是某种种能量能量的变化。的变化。-这种与位置有关的能量称为这种与位置有关的能量称为位能位能(势能势能)第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学保守力做功可表示为保守力做功

8、可表示为)(1P2PEEA 保保PE 物理意义物理意义保守力对物体做功，等于物体势能增量的负值保守力对物体做功，等于物体势能增量的负值保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加 例如：重力做正功时，重力势能减少，反之亦然例如：重力做正功时，重力势能减少，反之亦然定定 义义重力势能重力势能mgyEP 万有引力势能万有引力势能rMmGE0P 2Pkx21E 弹性势能弹性势能第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学势能零点的规定势能零点的规定重力势能重力势能-地面势能为地面势能为 0，地面以上为正，地面以上为正万有引力势能万有引力势能

9、-无限远处势能无限远处势能 0，任意点为负，任意点为负弹力势能弹力势能-平衡位置势能为平衡位置势能为 0，任意点为正，任意点为正 势能值没有绝对意义，只有相对意义。处于某一势能值没有绝对意义，只有相对意义。处于某一位置的质点，其势能的大小与势能位置的质点，其势能的大小与势能零点零点的位置选择的位置选择有关，零点位置不同，势能值就不同。有关，零点位置不同，势能值就不同。要要 点点(1)、势能是、势能是状态量状态量(状态函数状态函数)是位置坐标的函数是位置坐标的函数),(zyxEEPP 是运动速度的函数是运动速度的函数比较比较)(KKEE(2)、势能具有、势能具有相对性相对性第二章第二章 质点动力

10、学质点动力学第一篇第一篇 力学力学 保守力不是单一的力，它是成对出现的，而势能保守力不是单一的力，它是成对出现的，而势能是系统内一对保守力相互作用而产生的。是系统内一对保守力相互作用而产生的。例例-重力势能重力势能(3)、势能的物理意义、势能的物理意义 空间中某一点势能的值，是把质点从该点移到势空间中某一点势能的值，是把质点从该点移到势能零点时，保守力所做的功。能零点时，保守力所做的功。)(PA0PEEA 重重Ao0E0P 取取重重AEPA(4)、势能是属于系统的、势能是属于系统的例如：重力势能是物体和地球所组成的系统的。例如：重力势能是物体和地球所组成的系统的。第二章第二章 质点动力学质点动

11、力学第一篇第一篇 力学力学例题例题-1保守力做功问题保守力做功问题一陨石从天外落到地球上，质量一陨石从天外落到地球上，质量求：万有引力做功求：万有引力做功=？kg100.5m3 mArBrAB已知：地球质量已知：地球质量kg1006M24 .地球半径地球半径m1046Rr6B .22110kgNm10676G .解：解：PABEA )(PAPBEE 而而rMmGE0P Ar0EPA PBABEA )(.J1013rMmG11B0 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.2 质点系的功能原理质点系的功能原理质点系的动能定理质点系的动能定理KAKBEEAA 内内外外由由非非

12、保保内内保保内内内内AAA )(PAPBEEA 保保内内则有则有PAPBKAKBEEEEAA 非非保保内内外外)()(PAKAPBKBEEEE EEEAB 其中其中 称为系统的称为系统的机械能机械能PKEEE ABEEAA 非非保保内内外外即即称质点系的称质点系的功能原理功能原理物理意义物理意义外力与非保守力对质点系做功之和等于质点系机械能增量外力与非保守力对质点系做功之和等于质点系机械能增量机械能是机械能是状态量状态量，也称，也称状态函数状态函数),(zyxEE 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学2.4.3 机械能守恒定律机械能守恒定律称称机械能守恒定律机械能守恒定律质

13、点系质点系0非保内外AA或忽略不计或忽略不计只有只有0A 保保内内ABEE 在只有保守内力做功的情况下，系统的机械能保持不在只有保守内力做功的情况下，系统的机械能保持不变变即即PAKAPBKBEEEE 变化形式变化形式)(PAPBKAKBEEEE 或或PKEE 动能与势能的相互转换，所以也称动能与势能的相互转换，所以也称机械转换与守恒定律机械转换与守恒定律转换还包括：动能转换还包括：动能 动能动能，势能，势能 势能势能第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学ABCo lA B 受力分析：受力分析：取小球和地球为系统，机械能守恒取小球和地球为系统，机械能守恒取取0EPA 由由BA

14、EE mgl2m21m212B2A 得得gl42A2B 例题例题-2小球质量小球质量 m 绳长绳长 l 在竖直平面内绕在竖直平面内绕 O 点转动点转动(1)、使小球能够绕行一周，求：、使小球能够绕行一周，求：机械能守恒问题机械能守恒问题?A gm为保守力为保守力 不做功不做功T第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学小球在小球在 B 点受力点受力B TgmBlmmgT2BB 0TB 得得gl2B 即即glgl42A2B gl52A gl5A 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学向心力向心力(2)、假设、假设gl5A 求：求：时，时，60?CT机械能守恒机械能

15、守恒)cos(1mglm21m212C2AlmTmg2CC cos两式联立得：两式联立得：gl22C mg21TC C CTgm C第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学小车受力分析：小车受力分析：例题例题-3过山车问题过山车问题gmRhACDEFgmNgm为保守内力为保守内力不做功不做功N取取0EPC 机械能守恒机械能守恒EAEE mgR2m21mgh2E Rmmg2E R25h 联立得联立得竖直平面内光滑轨道，竖直平面内光滑轨道，CDEF 部分是半径部分是半径 R 的圆的圆周，一小车在周，一小车在 A 点从静止点从静止开始下滑，为保证小车沿开始下滑，为保证小车沿轨道运行一

16、周。求：轨道运行一周。求：?h第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学应用应用机械能守恒定律机械能守恒定律解题一般步骤解题一般步骤(1)确定质点系由哪些质点组成确定质点系由哪些质点组成(2)讨论机械能守恒定律条件讨论机械能守恒定律条件(3)明确初始状态，终止状态，选势能零点明确初始状态，终止状态，选势能零点(4)应用守恒定律列方程，及其它补充方程应用守恒定律列方程，及其它补充方程(5)解方程，求出结果解方程，求出结果第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学势能零点：势能零点：研究对象：摆球、地球研究对象：摆球、地球守恒条件：只有重力做功，机械能守恒守恒条件：只有

17、重力做功，机械能守恒0EPD 21m211mgl1mgl )cos()cos()cos()cos(1gl21gl212小球质量小球质量m，摆长，摆长 l，正下方，正下方 C 点小钉，右点小钉，右边摆长边摆长l1，初始条件：摆锤拉开，初始条件：摆锤拉开0A 求：右边求：右边 角时角时?例题例题-4复合摆问题复合摆问题mC1lADB l第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学21y0y01ky21dykyfdyA11 1y12)(12y2y cm.410 木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比，木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比，第一次钉入木板第一次钉入木板1cm,第二

18、次能钉入深度第二次能钉入深度?例题例题-5木板钉钉问题木板钉钉问题解：每一次铁锤做功解：每一次铁锤做功0m21A2 kyf 2122yy2ky21ky21dykyA21 AAA21 yyfo1y2y2A1A12yyy第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学al aNf mglxl 解：研究对象解：研究对象-桌面上水平部分桌面上水平部分 链条下落链条下落 x 时时dxfAf dxmglxlla l2almg2)(xoxxl 例题例题-6一匀质链条长一匀质链条长 l,质量质量m，下垂的长度为下垂的长度为a,与桌面之与桌面之间滑动摩擦系数为间滑动摩擦系数为，链条由静止开始运动，求：，

19、链条由静止开始运动，求：(1)链条离开桌面时链条离开桌面时,摩擦力功摩擦力功?金属链条问题金属链条问题第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学 PdxAPxmgdlxla 202fPm21m21AA (2)链条离开桌面时的速率是多少？链条离开桌面时的速率是多少？动能定理：动能定理：Pf0l2almg22)(2222m21l2almgl2almg )()()()(2222alallg 解：研究对象解：研究对象竖直部分竖直部分链条链条第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学1 1、重力做功：、重力做功：)(ABABmgymgyA 2 2、万有引力做功：、万有引力做功

20、：)()(A0B0ABrMmGrMmGA 3 3、弹簧弹力做功：、弹簧弹力做功：)(2A2BABkx21kx21A 小小 结结4、保守力做功：、保守力做功：0rdF5、非保守力做功：、非保守力做功：0rdF第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学6、重力势能：、重力势能：7、万有引力势能：、万有引力势能：8、弹性势能：、弹性势能：mgyEP rMmGE0P 2Pkx21E 9、质点系的功能原理：、质点系的功能原理：ABEEAA 非非保保内内外外),()(),(zyxEEzyxEEPK 10、机械能守恒定律：、机械能守恒定律：0A 外外0A 非保内非保内ABEE PKEE 第二章第二章 质点动力学质点动力学第一篇第一篇 力学力学1、掌握势能的概念、掌握势能的概念;2、掌握机械能守恒定律及其适用条件、掌握机械能守恒定律及其适用条件;3、掌握运用机械能守恒定律分析问题的思想和方法、掌握运用机械能守恒定律分析问题的思想和方法;要要 求求