哈工大高等结构动力学第四次课

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1、 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 图图2.6-1 2.6-1 单盘转子示意图单盘转子示意图 图图2.6-2 2.6-2 圆盘的瞬时位置及力圆盘的瞬时位置及力 设有一转子如图设有一转子如图2.6-12.6-1所示，其中所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。的刚性薄盘。由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e e 。当。当转子以等角速度转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生自转时，偏心引

2、起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。动挠度，并随之带动圆盘公转。kyFkxFyx由材料力学可知，对于图由材料力学可知，对于图2.6-32.6-3所示的模型所示的模型348lEJk 图图2.6-32.6-3 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-1）（2-2）设圆盘在瞬时设圆盘在瞬时t 的状态如图的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为，它在坐标轴上的投影分别为 rFycRxcRyx根据质心运动定理，可得根据质心运动定理，可得yycxxcFRymFRxm 由图由图2

3、.6-42.6-4的几何关系知的几何关系知 teyytexxccsincos 对上式求两次导数，可得对上式求两次导数，可得 teyytexxccsincos22 设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为 图图2.6-42.6-4 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）把（把（2-62-6）代入（）代入（2-42-4），得到转子模型的运动微分方程），得到转子模型的运动微分方程 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 可改写为可改写为 teyyytexxxnnnnsin2cos2

4、2222 式中式中 348mlEJmknkmc2（2-82-8）把（把（2-82-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。两者在数学形式上是完全相同的。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-7）tYytXxsin)cos(把（把（2-92-9）代入（）代入（2-82-8）中，得到）中，得到 22122222222222tan22nnnnnneYeX由此可见，由此可见，O点绕固定坐标系的点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。轴在作圆周运动。因此引用其求稳态解的方法，设因此引用其求稳

5、态解的方法，设 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-9）（2-10）cossinxrtyrt 可见圆周运动的半径就是轴的动挠度可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r ，角速度等于轴，角速度等于轴的自转角速度的自转角速度 ，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差相位差 。即有。即有 tternn222222（2-122-12）对照几何关系对照几何关系 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-11）根据（根据（2-102-10）式可绘出在不同）式可绘出在不同 值时，值时，r和和 随随值变化的曲线，分值变化的曲线，分别如图别如图2.6-52.6-

6、5与图与图2.6-62.6-6所示。所示。图图2.6-52.6-5 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线(左左)图图2.6-62.6-6 转子动挠度的相位转子动挠度的相位-转速曲线转速曲线(右右)转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 由于由于的存在，在一般情况下，的存在，在一般情况下，O、O和和 C三点并不在一条直线上，而总是成一个三三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形角形 OOC，而且，而且OOC 的形状在转子的形状在转子以等角速度以等角速度 旋转过程中保持不变。旋转过程中保持不变。当当n时，时，这三点又近似在一直线上，但点，这三点又近似在一直线上，但点C 位于位于

7、 O和和 O之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心自动定心，也叫也叫偏心转向偏心转向。只有当只有当 n时，时，0，这三点才近似在一直线上，这三点才近似在一直线上，O 点位点位于于 O和和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。之间，即所谓圆盘的重边飞出。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，取得极值的转速，r于是可利用条件于是可利用条件0ddr（2-132-13）来确定

8、临界转速，并以来确定临界转速，并以Cr 表示。由表示。由（2-132-13）式得式得022222322222222nnnnneddr由此解得由此解得 2211ncr（2-142-14）转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-72.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在中也可以看出，各曲线的峰值都偏在=n 线的右边，这一点线的右边，这一点应特别注意。应特别注意。图图2.6-72.6-7 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线 转子系统临界转速的概念转子系统

9、临界转速的概念 实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。在转子设计和处理实际问题中都很重要。对于小阻尼对于小阻尼情况情况 :ncr（2-152-15）对于无阻尼的理想情况，即对于无阻尼的理想情况，即=0 ，在临界转速时，动挠度，在临界转速时，动挠度r 将达将达到无

10、限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为，即在临界，即在临界转速前后有相位突变，转速前后有相位突变，O、O和和 C三点始终在一条直线上。三点始终在一条直线上。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差 ，把把 O、O及及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。上。2 图图2.6-8 2.6-8 在不同转速时的偏心位置在不同转速时的偏心位置 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 脉冲激

11、励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励)()(ttfkxxcxm)(1)(lim0tttft110.1.()tttttt1)(1dttt)()()(11tfdttttf)(tkxxcxm 212()nnxxxtm建模 2.单位脉冲函数 脉冲 定义：性质：单位脉冲响应函数 ft0t1mkC2 mkn脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励00),0(00txx)(1tmx mdttmx1)(100001000dtmxsin()tdxAetn0,1dmA1sinntddxetm 脉冲作用期间 脉冲作用结束 脉冲作用以后damped free vibration 由初始条件可求得：()(0)0,

12、(0)0mxcxkxtxx将上式两边在区间将上式两边在区间 对时间积分，即对时间积分，即()t dtmdx由动量定理有：由动量定理有：得到：得到：00t0000()t dtmxdt1(0)(0)mxmx于是：于是：1(0)xm可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但但在这一瞬间位移则来不及有改变。所以在这一瞬间位移则来不及有改变。所以 时，有时，有0t01(0)0,(0)mxcxkxxxm sin()tdxAetn0,1dmA1sinntddxetm 脉冲作用以后damped free vibration 由初始条件可求得：脉冲激励和单

13、位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励1sin()0()00tddettmh ttn脉冲响应函数：()1sin()()0tddettmh ttn脉冲激励和单位阶跃激励脉冲激励和单位阶跃激励)()(tUtfkxxcxm 0.0()1.0tUtt0 t0,100 xxkxxcxm 1()sin()ntdx tAetk2211,tan1Ak)cos1(1)(tktxn阶跃激励阶跃激励(单位脉冲响应函数延拓）1.建模 2.单位阶跃函数 定义：3.单位阶跃响应函数 时 无阻尼 Ut01)(tP()x t0Pm x将激励看成是连续作用的一系将激励看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的列冲量，求出每个冲量

14、引起的位移后将这些位移相加即为动位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。荷载引起的位移。)(tPtt一一.瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应t)(tPttP1.1.t=0 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量S01.mxP201()2Pxm000()cossinnnnxx txttsinnnPtm2.2.时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量)(tPttP()sin()nnPx ttm二、无阻尼的位移响应二、无阻尼的位移响应)(tP()x t)(tPtt)(P0()x()sin()tnnPttdm-杜哈美积分杜哈美积分()0()x()sin()dnttddPtetm三、有阻尼情况三、有阻尼情况若若t=0 时体系

15、有初位移、初速度时体系有初位移、初速度()00()()sin()sin()dsin()()()dnnntttdddttdPx tAetetmAetPh t21例例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。)(tP()x tP)(tPt0()()sin()tnnPx ttdm解：解：0sin()tnnPtdm2(1cos)nnPtm(1cos)stnyt动力放大系数为动力放大系数为 2 2000)(tPttP)()()(000ttUFtUFtf).()(cos1()cos1()0.().cos1(00000tttttkFtttkFxnnn)(s

16、insinsin000tttkFtkFxnnnnn系统响应响应普：表示某一响应量与激励函数的某一常数之间关系的曲线，称为响应普。0 x pnt02tTtnnpstpxkFx2200 x 000sin1cos2nnnpntttgtctgt 0002422ttTttnnpnstpTtxx0sin21），得峰值时间 峰值 2），得最大响应值与脉冲宽度之间的关系-无量纲化变成动力放大系数与无量纲时间的关系它表示特定周期的结构对不同持续时间的矩形脉冲的最大响应。作业2-49 2-60 2.10 频域分析法 1.复矢量表示简谐振动 Im()sin()xzAtcossinitzAtiAtAeiAAei tz

17、Ae27设正弦激振力：其稳态响应：sin()FFtsin()xXt写成复数 和 的虚部F(cossin)FFitcos()sin()XXtitX29i tFF e写成指数形式其中FFiXXe 2.频响函数 有阻尼弹簧质量系统受简谐激励写成：i tmxcxkxFe设系统的稳态响应为 代入 ()i tx tXeiti txXeXe302()kmi c XF2()FXkmi c设频响函数：2()1()()XHFkmi c 频响函数的物理意义：它表示单位正弦力引起的复响应，因此输入为力、输出为位移时的频响函数 又称为动柔度，也称为机械导纳.21()()Zkmi cH为机械阻抗，也称之为刚度。()H整理

18、221()()2nnHmi频响函数的模2221()(1)(2)Hk22()arctan1()Hk 为动力放大系数 为频率比n 简谐振动的复指数描述简谐振动的复指数描述 有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将式两边对求导得()22()()()()()()ititx ti F Heix tx tiF Hex t 所以振动速度超前位移所以振动速度超前位移 /2/2相角，加速度超前位移相角，加速度超前位移相角，并且分相角，并且分别放大别

19、放大和和2 2的因子。的因子。22sin2cosieiiieisincos1我们知道我们知道,()Im()Im()ititx tFHeF He33周期激励Fourier展开式写成复指数形式：1()(cos()sin()2nnnax tan tbn t整理得：1cos()()2in tin tn tee代入(0)()2inwtin tnnnnnax tX eX e221()2Tin tnnnTaibXx t edtTsin()()2in tin tin tee34非周期振动与Fourier积分非周期振动)(tx用Fourier积分作谐波分析 先在区间（-T/2,T/2）上截出一段非周期振动，即令

20、)()(txtxT22TtT非周期振动可以看成T 时 的极限()Txt即()lim()TTx txtT35将 按周期性要求开拓到区间 ，()Txt(,)1()intTnnxtx e其中 ，而12T1221()TintTnTxxt edtT设11nn()nnnnxxTx2nnxx1()()2intTnnnxtxe其中22()nTitTnTxxt edt36当 时，为连续变量比，为 T nd式()()XF x t的物理意义：()X 每单位带宽（以赫兹计）长度上的频谱密度，其简称为 的频谱。()x t()X称为Fourier变换.Xi tx t edt()X x tX 1x tFX 1lim2i tTTx txtXed2.10 阻尼与幅频曲线之间的关系 在共振区附近，阻尼对振幅影响大，阻尼越小，振幅越大，曲线的峰形越尖锐，反之阻尼越大，振幅越小，曲线峰形越平衡。当共振时，1max121,2max1242可得到2221221 12max2max22221(1)4stXx 在小阻尼的情况下，忽略高次项有：2122211212n 联立方程：22212n 2122nn，为半功率点，12为半功率点的带宽。2121212nn几点结论与讨论n 几点结论与讨论作业