第三章激光原理

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1、第三章 激光原理3.1 激光的物理基础激光的最初中文名叫做“镭射”、“莱塞”，是它的英文名称LASER的音译，是取自英文Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation的各单词的头一个字母组成的缩写词。意思是“受激辐射的光放大”。激光的英文全名已完全表达了制造激光的主要过程。1964年按照我国著名科学家钱学森建议将“光受激发射”改称“激光”。它的亮度与阳光之间的比值是百万级的，而它是人类创造的！激光是20世纪以来，继原子能、计算机、半导体之后，人类的又一重大发明，被称为“最快的刀”、“最准的尺”、“最亮的光”和“奇异的激光”。它的原

2、理早在 1916 年已被著名的物理学家爱因斯坦发现，但要直到 1958 年激光才被首次成功制造。激光是在有理论准备和生产实践迫切需要的背景下应运而生的，它一问世，就获得了异乎寻常的飞快发展，激光的发展不仅使古老的光学科学和光学技术获得了新生，而且导致整个一门新兴产业的出现。激光可使人们有效地利用前所未有的先进方法和手段，去获得空前的效益和成果，从而促进了生产力的发展。 3.1.1 光子的基本性质 光的量子学说(光子说)认为，光是一种以光速c运动的光子流。光子(电磁场量子）和其它基本粒子一样，具有能量、动量和质量等。它的粒子属性(能量，动量，质量等)和波动属性(频率、彼矢、偏振等)密切联系，并可

3、归纳如下：1）光子的能量与光波频率对应 (3.1-1）式中，称为普朗克常数。2）光子具有运动质量，并可表示为 (3.1-2）光子的静止质量为零。3）光子的动量与单色平面光波的波矢对应 (3.1-3 ）式中为光子运动方向(平面光波传播方向)上的单位矢量。4）光子具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振方向。5）光子具有自旋，并且自旋量子数为整数。因此大量光子的集合服从玻色爱因斯坦统计规律。处于同一状态的光子数目是没有限制的，这是光子与其它服从费米统计分布的粒子(电子、质子、中子等)的重要区别。 上述基本关系式(3.1-1)、(3.1-3)后来为康普顿(Arthur Compton)

4、散射实验所证实 (1923年)，并在现代量子电动力学中得到理论解释。量子电动力学从理论上把光的电磁(波动)理论和光子(微粒)理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，从而在理论上阐明了光的波粒二象性。在这种描述中，任意电磁场可看作是一系列单色平面电磁波(它们以波矢为标志)的线性叠加，或一系列电磁被的本征模式(或本征状态)的叠加。但每个本征模式所具有的能量是量子化的，即可表示为基元能量的整数倍。本征模式的动量也可表为基元动量hk1的整数倍。这种具有基元能量和基元动量的物质单元就称为属于第L个本征模式(或状态)的光子。具有相同能量和动量的光子彼此间不可区分，因而处于同一模式(或状态)。每个模式内的

5、光子数目是没有限制的。3.1.2 光波模式和光子状态相格 从上面的叙述已经可以看出，按照量子电动力学概念，光波的模式和光子的状态是等效的概念。下面将对这一点进行深入一步的讨论。 由于光的波粒二象性，我们可以用波动和粒子两种观点来描述它。在激光理论中，光波模式是一个重要概念。按照经典电磁理论，光电磁波的运动规律由麦克斯韦(C.Maxwell)方程决定，单色平面波是麦克斯韦方程的一种特解。 在自由空间，具有任意波矢的单色平面波都可以存在。但在一个有边界条件限制的空间 (例如谐振腔)内，只能存在一系列独立的具有特定波矢的平面单色驻波。这种能够存在于腔内的驻波(以某一波矢为标志)称为电磁被的模式或光波

6、模。一种模式是电磁波运动的一种类型，不同模式以不同的区分。同时，考虑到电磁波的两种独立的偏振，同一波矢对应着两个具有不同偏振方向的模。下面求解空腔内的模式数目。设空腔为的立方体，则沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件为式中为正整数。而波矢的三个分量应满足条件 (3.1-4)每一组正整数对应腔内一种模式(包含两个偏振)。如果在以为轴的直角坐标系中，即在波矢空间中表示光波模,则每个模对应波矢空间的一点(如图3.1所示)。图3.1 波矢空间每一模式在三个坐标铀方向与相邻模的间隔为 (3.1-5)因此，每个模式在波矢空间占有一个体积元 (3.1-6)在空间内，波矢绝对值处于区间的体积为，故在此

7、体积内的模式数为。又因，代入上式则得频率在区间内的模式数。再考虑到对应同一有两种不同的偏振，上述模式效应乘2，于是，在体积为的空腔内，处在频率附近频带内的模式数为 (3.1-7) 现在再从粒子的观点阐明光子状态的概念，并且证明，光子态和光波横是等效的概念。在经典力学中，质点运动状态完全由其坐标和动量确定。我们可以用广义笛卡儿(Cartesian)坐标所支撑的六维空间来描述质点的运动状态。这种六维空间称为相空间，相空间内的一点表示质点的一个运动状态。当宏观质点沿某一方向(例如：x轴)运动时，它的状态变化对应于二维相空间的一条连续曲线，如图3.2所示。但是，光子的运动状态和经典宏观质点有着本质的区

8、别，它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系表明：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置测得越准确，动量就越测不准。对于一维运动情况，测不准关系表示为 (3.1-8）上式意味着处于二维相空间面积元之内的粒子运动状态在物理上是不可区分的，因而它们应属于同一种状态。图3.2 经典质点运动在三维运动情况下，测不准关系为故在六维相空间中，一个光子态对应(或占有)的相空间体积元为 (3.1-9) 上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。于是我们看到，微观粒子和宏观质点不同，它的运动状态在相空间中不

9、是对应一点而是对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。仅当所考虑的运动物体的能量和动量远远大于由普朗克常数所标志的量和，以致量子化效应可以忽略不计时，量子力学运动才过渡到经典力学运动。从式(3.1-9)还可得出，一个相格所占有的坐标空间体积(或称相格空间体积)为 (3.1-10）现在证明，光波模等效于光子态。为此将光波模的波矢空间体积元表示式(3.1-6)改写为在相空间中的形式。考虑到一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻波。因此一个光波模在相空间的，和轴方向所占的线度为 (3.1-11)于是，式(3.1-7)在相空间中可改写为 (3.1-12) 可见，一个光波模在相空间也占有一个

10、相格。因此，一个光波模等效于一个光子态。一个光波模或一个光子态在坐标空间都占有由式(3.1-10)表示的空间体积。3.1.3 光子的相干性 为了把光子态和光子的相干性两个概念联系起来，下面对光源的相干性进行讨论。在一般情况下，光的相干性理解为：在不同的空间点上、在不同的时刻的光波场的某些特性(例如光波场的相位)的相关性。在相干性的经典理论中引入光场的相干函数作为相干性的度量。但是，作为相干性的一种粗略描述，常常使用相干体积的概念。如果在空间体积内各点的光波场都具有明显的相干性，则称为相干体积。又可表示为垂直于光传播方向的截面上的相干面积和沿传播方向的相干长度的乘积 (3.1-13) 式(3.1

11、-13)也可表示为另一形式： (3.1-14)式中为光速，是光沿传播方向通过相干长度所需的时间，称为相干时间。 普通光源发光，是大量独立振子(例如发光原子)的自发辐射。每个振子发出的光波是由持续一段时间或在空间占有长度的波列所组成。如图3.3所示。图3.3 单个原子发出的光波及其频谱不同振子发出的光波的相位是随机变化的。对于原子谱线来说，即为原子的激发态寿命(秒)。 对波列进行颇谱分析，就得到它的频带宽度是光源单色性的量度。物理光学中已经阐明，光波的相干长度就是光波的波列长度 (3.1-15)于是，相干时间与光源频带宽度的关系为 (3.1-16)上式说明，光源单色性越好，则相干时间越长。物理光

12、学中曾经证明：在图3.4中，由线度为的光源A照明的和两点的光波场具有明显空间相干性的条件为 (3.1-17)式中为光源波长。图3.4 杨氏双缝干涉距离光源处的相干面积可表示为 (3.1-18)如果用表示两缝间距对光源的张角，则(3.1.17)式可写为 (3.1-19)上式的物理意义是：如果要求传播方向(或波矢)限于张角之内的光波是相干的，则光源的面积必须小于。因此，就是光源的相干面积，或者说，只有从面积小于的光源面上发出的光波才能保证张角在之内的双缝具有相干性, 根据相干体积定义，可得光源的相干体积为： (3.1-20)现在再从光子观点分析,由面积为的光源发出动量限于立体角内的光子，因此光子具

13、有动量测不准量，在很小的情况下其各分量为： (3.1-21）以为很小，故有 (3.1-22）如果具有上述动量测不准量的光子处于同一相格之内，即处于一个光子态，则光子占有的相格空间体积(即光子的坐标测不准量)可根据(3.1-10)、(3.1-21) 、(3.1-22）以及(3.1-20）式求得： (3.1-23） 上式表明，相格的空间体积和相干体积相等。如果光子属于同一光子态，则他们应该包含在相干体积之内。也就是说属于同一光子态的光子是相干。综上所述可得下述关于相干性的重要结论： 1）相格空间体积以及一个光波模或光子态占有的空间体积都等于相干体积； 2）属于同一状态助光子或同一模式的光波是相干的

14、。不同状态的光子或不同模式的光波是不相干的。3.1.4 光子简并度 具有相干性的光波场的强度(相干光强)在相干光的技术应用中，也是一个重要的参量。一个好的相干光源应具有尽可能高的相干光强、足够大的相干面积和足够长的相干时间对普通光源来说增大相干面积、相干时间和增大相干光强是矛盾的。由(3.1-16)和(3.1-18)式可知，为了增大相干面积和相干时间，可以采用光学滤波来减小v，缩小光源线度或加光阑以减小x以及远离光源等办法。但这一切都将导致相干光强的减少。这正是普通光源给相干光学技术的发展带来的限制。例如光全息技术，它的原理早在1948年就被提出，但在激光出现之前一直没有实际应用，其原因就在于

15、此。而激光器却是一种把光强和相干性两者统一起来的强相干光源。我们在后面将对此加以说明。相干光强是描述光的相干性的参量之一。从相干性的光子描述出发，相干光强决定于具有相干性的光子的数目或同态光子的数目。这种处于同一光子态的光子数称为光子简并度n。显然，光子简并度具有以下几种相同的含义，同态光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、处于同一相格内的光子数。3.2 激光的特性目前，世界上出现了很多种类的激光器，它们都具有一些共同的特性，下面我们从五个方面讲述这种共性。1、单色性好光是一种电磁波。同一光源发射的光谱线宽度越窄，其颜色越单纯，即光源的单色性越好。对光波进行频谱分析，所得频带宽度

16、为光源的单色性度量。光源单色性也可用谱线宽度或、来度量，它们之间的关系如下： (3.2-1） (3.2-2）例1，除激光外，最好的单色光源是氪灯，在(）处，；而He-Ne激光器的，。分别计算并比较它们的单色性：Kr：；He-He：由此可见，He-Ne激光器的单色性远远好于普通光源的单色性。2、相干性好光源的时间相干性是描述光源上同一个发光中心在两个不同时刻发出的光之间的相关程度。这种相关程度在两个光波传播到空间同一点叠加时，表现为形成干涉条纹的能力。光产生相干现象的最长时间间隔，称为相干时间；在相干时间内，光传播的最远距离称为相干长度，计算公式如下。相干长度： (3.2-3）相干时间： (3.

17、2-4）由此可见，谱线宽度越窄或单色性越好，相干长度和相干时间就越长，即时间相干性就越好。例2，在例1中，分别求氪灯和He-Ne激光器的相干长度。解：由式(3.2-1）和(3.2-3）得，相干长度：分别将其参数带入上式，得，3、方向性好光源的方向性常用发射角度量，发射角越小，光源的方向性越好。普通光源一般向全方位发光，发射角为，而激光的发射角可以达到量级，甚至更小。因此，方向性好是激光的另一突出优点。在均匀介质条件下，激光的发射角仅受衍射限制，用公式表示为： (3.2-5）例如，地球与月球的平均距离约为38万千米，最好的激光射到月球上，光斑仅几十米，远远好于普通光源。在不同介质中，发射角大小不

18、同，一般，气体 固体 半导体。理论上，通过空间滤波可以使普通光源的发射角大大压缩，从而使普通光源的方向性达到激光方向性程度，但这样会大大降低普通光源发射的光功率的利用率。4、高亮度将单位面积、单位光谱宽度、单位立体角内发出的光辐射强度，称为光源的单色亮度，用公式表示为： (3.2-6）其中，为光源向立体角内发射的频率在内的光功率。虽然太阳发射的总功率很高，但光辐射宽度大，发射角大，因此单色亮度很小。相比较，激光的谱线宽度和立体角都很小，所以单色亮度很高，甚至比太阳高100万亿倍。事实上，可以从理论上证明，只要在相同媒质中，像的亮度永远不可能高于产生该像的物体高度。由此可见，激光的高亮度是普通光

19、源无法匹敌的特性。5、高功率光子的能量是用来计算的，其中为普朗克常量，为频率。频率越高，能量越大。激光的频率范围为。激光的能量并不算太大，但它的功率相当高。在极短的时间内(如飞秒至皮秒量级），激光产生极高的峰值功率，如核聚变用激光器输出峰值功率达，克服核间排斥力，实现核聚变反应。激光的这种高功率特性，使得激光在军事、航空、工业、医学方面得到了广泛的应用。3.3 激光产生的原理及方法 光与物质的共振相互作用，特别是这种相互作用中的受激辐射过程是激光器的物理基础。我们将在第四章和第八章中较详细地讨论这种相互作用的理论处理方法。本节先给出基本物理概念。 受激辐射概念是爱因斯坦首先提出的(1917年)

20、。在普朗克(Max P lanck)于1900年用辐射量子化假设成功地解释了黑体辐射分布规律，以及波尔(Niele Bohr)在1913年提出原子中电子运动状态量子化假设的基础上，爱因斯坦从光量子概念出发，重新推导了黑体辐射的普朗克公式，并在推导中提出了两个极为重要的概念：受激辐射和自发辐射。四十年后，受激辐射概念在激光技术中得到了应用。3.3.1 黑体辐射的普朗克公式 我们知道，处于某一温度T的物体能够发出和吸收电磁辐射。如果某一物体能够完全吸收任伺波长的电磁辐射，则称此物体为绝对黑体简称黑体。如图3.5所示的空腔辐射体就是一个比较理想的绝对黑体，因为从外界射入小孔的任何波长的电磁辐射都将在

21、腔内来回反射而不再逸出腔外。物体除吸收电磁辐射外，还会发出电磁辐射，这种电磁辐射称为热辐射或温度辐射。3.1节中提到的普通光源就可以是一种热辐射光源。 如图3.5所示的黑体处予某一温度T的热平衡情况下，则它所吸收的辐射能量应等于发出的辐射能量，即黑体与辐射场之间应处于能量(热)平衡状态。图3.5 绝对黑体示意图显然，这种平衡必然导致空腔内存在完全确定的辐射场。这种辐射场称为黑体辐射或平衡辐射。黑体辐射是黑体温度和辐射场频率的函数。并用单色能量密度描述。定义为：单位体积内，频率处于附近的单位频率间隔中的电磁辐射能量，其纲量为。为了从理论上解释实验所得的黑体辐射随的分布规律，人们从经典物理学出发所

22、作的一切努力都归于失败后来，普朗克提出了与经典概念完全不相容的辐射能量量子化假设，并在此基础上成功地得到了与实验相符的黑体辐射普朗克公式。这一公式可表述为：在温度的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为： (3.3-1） 为了求得腔内模式数目，可利用(3.1-7)。显然，腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内光波模式数为：于是，黑体辐射普朗克公式为 (3.3-2） 式中K为玻尔兹曼常数，其数值为CJKo/1038062.123-=3.3.2 受激辐射和自发辐射概念(3.3-2)式表示的黑体辐射，实质上是辐射场和构成黑体的物质原子相互作用的结果。为简化问题，我们只考虑原子的两个

23、能级和并有 (3.3-3)单位体积内处于两能级的原子数分别用和，表示，如图3.6所示。图3.6 二能级原子能级图爱因斯坦从辐射与原于相互作用的量子论观点出发提出，相互作用应包含原子的自发辐射跃迁、受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三种过程。自发辐射如图3.7 所示图3.7 自发辐射处于高能级的一个原子自发地向跃迁，并发射一个能量为的光子。这种过程称为自发跃迁。由原子自发跃迁发出的光子称为自发辐射。自发跃迁过程用自发跃迁几率描述。定义为单位时间内个高能态原子中发生自发跃迁的原子数与的比值： (3.3-4）式中表示由于自发跃迁引起的由向跃迁的原子数。应该指出，自发跃迁是一种只与原子本身性质有关而与辐射场无

24、关的自发过程。因此，只决定于原子本身的性质。由(3.3-4)式容易证明，就是原子在能级的平均寿命的倒数，因为在单位时间内能级所减少的粒子数为将(3.3-4)式代入则得由此式可得 (3.3-5） 式中也称为自发跃迁爱因斯坦系数。 图3.8 受激吸收如果黑体物质原子和辐射场相互作用只包含上述自发跃迁过程，是不能维持由(3.3-2)式所表示的腔内辐射场的稳定值的。因此爱因斯坦认为必然还存在一种原子在辐射场作用下的受激跃迁过程，从而第一次从理论上预测了受激辐射的存在。处于低能态的一个原于在频率为的辐射场作用(激励)下，吸收一个能量为的光子，并向能态跃迁，这种过程称为受激吸收跃迁。受激吸收跃迁发出的光波

25、称为受激吸收(如图3.8所示）。受激吸收跃迁几率为 (3.3-6）式中，表示由于受激跃迁引起的由向跃迁的原子数。应该强调，受激跃迁和自发跃迁是本质不同的物理过程，反映在跃迁几率上就是只与原子本身性质有关；而不仅与原子性质有关还与辐射场的成正比。我们可将这种关系唯象地表示为 ： (3.3-7) 式中，比例系数称为受激吸收跃迁爱因斯坦系数，它只与原子性质有关。图3.9 受激辐射受激吸收跃迁的反过程就是受激辐射跃迁。处于能级的原子在频率为的辐射场作用下，跃迁至低能级并辐射一个能量为的光子。受激辐射跃迁发出的光波称为受激辐射(如图3.9所示）。受激辐射跃迁几率为 (3.3-8） (3.3-9）式中为受

26、激辐射跃迁爱因斯坦系数。3.3.3 A12B21B12的相互关系 现在根据上述相互作用物理模型分析空腔黑体的热平衡过程，从而导出爱因斯坦三系数之间的关系。如前所述，正是由于腔内黑体辐射场与物质原子相互作用的结果应该维持黑体处于温度为的热平衡状态。这种热平衡状态的标志是：1）腔内存在着由式(3.3-2)式表示的热平衡黑体辐射；2）腔内物质原子数按能级分布应服从热平衡状态下的波尔兹曼(Ludwing Boltzman)分布 (3.3-10） 式中，和分别为能级和的统计权重；3）在热平衡状态下， (或)应保持不变，于是有 (3.3-11） (3.3-12）联立式(3.3-2）、(3.3-10）和(3

27、.3-12）可得 (3.3-13)上式当为时也成立，所以有 (3.3-14）将上式代入(3.3-13）可得 (3.3-15）式(3.3-14）和式(3.3-15）就是爱因斯坦系数的基本关系式，特别是当权重时有或 3.3.4 受激辐射的相干性 最后我们要强调指出受激辐射与自发辐射的极为重要的区别相干性。如前所述，自发辐射是原子在不受外界辐射场控制情况下的自发过程。因此，大量原子的自发辐射场的相位是无规则分布的，因而是不相干的。此外，自发辐射场的传播方向和偏振方向也是无规则分布的，或者如式(3.3-1)和(3.3-2)所表述的那样，自发辐射平均地分配到腔内所有模式上。 受激辐射是在外界辐射场的控制

28、下的发光过程，因而容易设想各原子的受激辐射的相位不再是无规则分布，而应具有和外界辐射场相同的相位。在量子电动力学的基础上可以证明：受激辐射光子与入射(激励)光子属于同一光子态；或者说，受激辐射场与入射辐射场具有相同的频率、相位、波矢(传播方向)和偏振，因而，受激辐射场与入射辐射场属于同一模式 例：如果激光器和微波激射器分别在，和，输入一瓦的连续功率，问一秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数分别为多少？思路分析：本例题本身从思路上讲还是比较简单的，只要知道能量守恒和即可解。解题过程如下：解：由能量守恒可得：当时，当时，当时 3.4 激光器的组成结构及原理3.4.1 光放大概念的产生 在激光出现之

29、前，科学技术的发展对强相干光源提出了迫切的要求，例如，光全息技术和相干光学计量技术要求在尽可能大的相干体积或相干长度内有尽量强的相干光。但是对普通热光源来说上述要求是矛盾的，又如相干电磁波源(各种无线电振荡器、微波电子管等)曾大大推动了无线电技术的发展，而无线电技术的发展又要求进一步缩短相干电磁波的波长，即要求强相干光源。但是普通热光源的自发辐射光实质上是一种光频“噪声”，所以在激光出现以前，无线电技术很难向光频波段发展。为进一步说明普通光源的相干性限制。我们来分析黑体辐射源的光子简并度，它可由式(3.4-1)求出： (3.4-1）按此式可计算与波长及温度的关系。例如，在室温T300K的情况下

30、，对30cm的微波辐射，103，这时可以认为黑体基本上是相干光源；对60um的远红外辐射, 103，而对0.6um的可见光, 10-35，即在一个光波模内的光子数是10-35 个，这时黑体就是完全非相干光源。即使提高黑体温度也不可能对其相干性有根本的改善。例如为在l微米处得到1，要求黑体温度高达50000K。可见，普通光源在红外和可见光波段实际上是非相干光源。为了理解构成激光器的基本思想我们进一步分折(3.4-1)式,它可改写为 (3.4-2）上式在物理上是容易理解的，因为受激辐射产生相干光子，而自发辐射产生非相干光子。这个关系对腔内每一特定光子态或光波模均成立。从(1.3-2)式出发，如果我

31、们能创造一种情况，使腔内某一特定模式(或少数几个模式)的大大增加，而其它所有模式的很小，就能在这一特定(或少数几个)模式内形成很高的光子简并度。也就是说，使相干的受激辐射光子集中在某一特定(或几个)模式内，而不是均匀分配在所有模式内。这种情况可用下述方法实现：将一个充满物质原子的长方体空腔(黑体)去掉侧壁，只保留两个端面，如果端面壁。如果端面壁对光有很高的反射系数则沿垂直端面的腔轴方向传播的光(相当于少数几个模式)在腔内多次反射而不逸出腔外，而所有其它方向的光则很容易逸出腔外，在激光中，我们称之为光学谐振腔。此外，如果沿腔轴传播的光在每次通过腔内物质时不是被光子吸收(受激吸收)，而是由于原子的

32、受激辐射而得到放大。那么腔内轴向模式的就能不断增强，从而在铀向模内获得极高的光子简并度。这就是构成激光器的基本思想。 可以看出，上述思想包含两个重要部分：第一是是光波模式的选择，它由两块平行平面反射镜完成，这实际上就是光学技术中熟知的法布里泊罗(FabryPerot)干涉仪，在激光技术中称为光谐振腔。第二是受激辐射放大，激光的英文缩写名称LASER(Light Amplifi-cation by Stimulated Emission of Radiation)正反映了这一物理本质。 顺便指出，激光器的上述基本思想，对于产生相干电磁波的传统电子器件(如微波电子管)来说也是一种技术思想的突破。在

33、传统的微波电子器件中，使用尺寸可与波长相比拟的封闭谐振腔选择模式，利用自由电子和电磁波相互作用对单摸电磁场进行放大。但是在力图缩短微波器件波长(例如小于1毫米)的过程中，继续沿用传统方法就遇到了极大的困难。首先是封闭谐振腔的尺寸必须小到不能实现的程度，其次是使用普通自由电子束对光波进行有效的放大也是极其困难的。激光器正是在这两方面突破了传统方法，即用开式谐振腔代替封闭谐振腔，用原子中束缚电子的受激辐射光放大代替自由电子对电磁波的放大，从而为获得光波段的相干电磁播源开辟了极其广阔的道路。3.4.2 实现光放大的条件集居数反转下面讨论在由大量原子(或分子）组成的物质中实现光的受激辐射放大的条件。在

34、物质处于热平衡状态时，各能级上的原子数(或称集居数)服从玻耳兹曼统计分布： 为简化起见，式中已令。因，所以，即在热平衡状态下，高能级集居数恒小于低能级集居数。当频率的光通过物质时，受激吸收光子数恒大于受激辐射光子数。因此，处于热平衡状态下的物质只能吸收光子。但是，在一定的条件下物质的光吸收可以转化为自己的对立面光放大。显然，这个条件就是，称为集居数反转(也可称为粒子数反转)。一船来说当物质处于热平衡状态(B即它与外界处于能量平衡状态）时，集居数反转是不可能的，只有当外界向物质供给能量(称为激励或泵浦过程），从而使物质处于非热平衡状态时，集居数反转才可能实现。激励(或泵浦）过程是光放大的必要条件

35、。3.4.3 光放大物质的增益系数与增益曲线 处于集居数反转状态的物质称为激活物质(或激光介质）。一段激活物质就是一个光放大器。放大作用的大小通常用放大(或增益）系数来描述。设在光传播方向上处的光强(光强I正比于光的单色能量密度p）。则增益系数定义为 (3.4-3）所以表示光通过单位长度激活物质后光强增长的百分数。显然，正比于单位体积激活物质的净受激发射光子数由上式可写为 (3.4-4）所以 (3.4-5）如果不随而变化，则增益系数为一常数，(3.4-3)式为线性微分方程。积分式(3.4-3）得： (3.4-6）但是，实际上光强的增加正是由于高能级原子向低能级受激跃迁的结果，或者说光放大正是以

36、单位体积内集居数差值的减小为代价的。并且，光强越大 减少得越多，所以实际上随的增加而减少。因而增益系数也随的增加而减小，这称为增益饱和效应。与此相应，我们可将单位体积内集居数差值表示为光强的函数 (3.4-7）式中，为饱和光强。在这里，可暂时将理解为为描述增益饱和效应而引入的参量。为光强时单位体积内的初始集居数差值。从(3.4-7)式出发,我们可将式(3.4-5）改写为 (3.4-8）或 (3.4-9）式中，即为小信号增益系数。如果在放大器中光强始终满足条件，则增益系数，常级且不随变化。这就是(3.4-6)式表示的小信号情况。反之，在条件不能满足时，(3.4-9)式表示的称为大信号增益系数(或

37、饱和增益系数）。最后指出，增益系数也是光波频率的函数，表示为。这是因为能级和由于各种原因总有一定的宽度，所以在中心频率附近一个小范围内都有受激跃迁发生。随频率的变化曲线称为增益曲线，称为增益曲线宽度。 3.4.4 光的自激振荡上述方法在许多大功率装置中广泛用来对弱的激光束进行放大，但更多场合需要使用光的自激振荡，通常所说的激光器使用的就是光的自激振荡。假设有极其微弱的光(光强为）射入一无限长的光放大器。初始光强将按小信号放大公式增长。当光强达到饱和时，将按式(3.4-9）减小，光强的增长逐渐变慢。这里，我们引入为光通过单位距离后光强衰减的百分比，有： (3.4-10）当时，光强达到一个稳定的极

38、限，而不再增加，将其代入式(3.4-9）可得： (3.4-11）可以看出，只与放大器的激活物质长度有关。也就是说，只要放大器足够长，总能形成特定的光强，这即为光的自激振荡。现实生活中，不可能无限增加激活物质的长度。但我们可以通过在光放大器两端放置光学谐振器来实现相同的效果，其原理是：沿轴传播的光束在两反射镜间往返运动，相当于增加了激活物质的长度，也称为光的反馈。并且，由于腔内总是存在微弱的自发辐射光，其中沿轴方向的光可以代替输入信号。当 0时，没有意义。因此，产生自激振荡有一定的条件，即： 0，由式(3.4-11），可得： (3.4-12）该条件有一个等价形式。我们设为单程损耗，其中为激活物质

39、长度。阈值增益系数：(对无源腔）(对由源腔） (增益损耗同时存在） (3.4-13）令，则：。当时，称为阀值增益系数.可见，一个激光器应包含工作物质、泵浦源和光学谐振腔三个基本部分。它们的作用分别是：工作物质是激光器的核心，是激光器产生光的受激辐射、光放大的源泉；泵浦源为实现粒子数反转提供能量(工作物质不同，泵浦方式也不同）；光学谐振腔提供光波模式的选择和沿轴方向光的反馈。激光器的基本结构如下：工作物质输出反射镜全反射镜光学谐振腔泵浦源激光输出图3.10 激光器的基本结构3.4.5 光腔模式问题模式问题在激光技术中具有重要的理论和实践意义。它是理解激光的相干性、方向性、单色性等一系列重要特性，

40、进行激光器件的设计和装调的基础，也是研究和掌握激光技术和应用的基础。 根据几何偏折损耗的高低，开放式光腔可以分为稳定腔和非稳腔。稳定腔的几何偏折损耗很低，绝大多数中、小功率器件都采用稳定腔。稳定腔的模式理论是腔模理论中比较成熟的部分。由于稳定腔应用广泛，其模式理论具有最广泛、最重要的实践意义。 稳定腔模式理论是以共焦腔模的解析理论为基础的。由解析理论得出，对方形镜共焦腔，镜面上的场分布可用厄米高斯函数表示。而对圆形镜共焦腔，镜面上的场由拉盖尔高斯函数描述。并且整个腔内(以及腔外)空间中的场都可以表示为厄米高斯光束或拉盖子尔-高斯光束的形式。据此，共焦腔振荡模的一系列基本持征都可以解析地表示出来

41、。在高斯光束传输规律的基础上，可以建立一般(非共焦的)稳定球面腔与共焦腔之间的等价性从而进一步将共焦腔模式解析理论的结果推广到一般稳定球面腔，解决应用最广的这一大类谐振腔的模式问题。采用稳定腔的激光器所发出的激光，将以高斯光束的形式在空间传输。因此，研究高斯光束在空间的传输规律。以及光学系统对高斯光束的变换规律，就成为激光的理论和实际应用中的重要问题。我们将讨论最简单和最基本的情形，即高斯光束在自由空间(以及均匀各向同性介质)中的传输和简单透镜(或球面反射镜)系统对高斯光束的变换。稳定腔虽有损耗低的优点，但它不适用于某些高功率激光器。这些激光器要实现高功率基横模运转，以便有尽可能高的输出功率和

42、尽可能好的光束质量。稳定腔内基横模的模体积太小，且与反射镜镜面尺寸无关。这意味着增大激活介质的横向尺寸无助于激光器输出功率的提高。反而容易导致激光器的多横模运转，降低输出光束的质量。所以稳定腔无法运用于上述情形。非稳腔却能同时满足这两个要求高输出功率和良好光束质量。非稳腔的损耗主要是傍轴光线的发散损耗，单程损耗很高，可达百分之几十。为获得高功率输出，工作物质的横向尺寸往往较大，因此衍射损耗可以忽略，可以采用几何光学的分析方法。几何光学分析方法表明非稳腔曲线上仅存在一对共扼象点，非稳腔中的基模就是从这一对共扼象点发出的自再现球面波。运用几何光学分析方法还可给非稳腔的损耗特征及输出光束特征。1.

43、光腔的构成和分类在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的光学谐振腔。在激光技术发展历史上最早提出的是所谓平行平面腔，它由两块平行平面反射镜组成。这种装置在光学上称为法布里珀罗干涉仪，简记为FP腔。随着激光技术的发展，以后又广泛采用由两块具有公共轴线的球面镜构成的谐振腔，称为共铀球面腔，其中有一个反射镜为(或两个都为)平面的腔是这类腔的特例。从理论上分析这类 腔时，通常认为其侧面没有光学边界(这是一种理想化的处理方法)。因此将这类谐振腔称为开放式光学谐振腔，或简称开腔。根据光学几何逸出损耗的高低，开腔通常又可分为稳定腔、非稳腔和临界腔三类。气体激光器是采用开腔的典型例子。固体激

44、光器的情形与此有所不同。由于固体激光材料通常都具有比较高的折射率(例如，红宝石的折射率为1.76)，在侧壁磨光的情况下那些与轴线交角不太大的光线将在侧壁上发生全内反射。因此，如果腔的反射镜紧贴着激光棒的两端，则将形成类似于微波技术中所采用的封闭腔。从理论上分析这类腔时，应将它们作为介质腔来处理。但是，通常的固体激光器的激光棒与腔反射镜往往是分离的。这时，如果棒的直径远比激射波长大，而棒的长度又远比两腔镜之间的距离短，则这种腔的特性基本上与开腔类似。半导体激光器是使用介质腔的典型例子，而且腔的横向尺寸往往与波长可以比较。因此，这是一种真正的介质波导腔。另一种光腔是所谓气体波导激光谐振腔，其典型结

45、构是在一段空心介质波导管两端适当位置处放置两块适当曲率的反射镜片。这样，在空心介质波导管内，场服从波导管中的传输规律，而在波导管与腔境之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。这种腔与开腔的差别在于：波导管的孔径往往较小(虽然通常仍远比波长为大)，以致不能忽略侧面边界的影响。 由两个以上的反射镜构成谐振腔的情况也是常见的，折叠胜和环形腔就是这类谐振腔的例子。 光学谐振腔的构成方式还很多，在由两个或多个反射镜构成的开腔内插入透镜一类光学元件而构成复合腔就是一例。除了前面讲过的端面反馈的谐振腔外，近年来又发展了分布反馈式谐振腔，在半导体激光器及集成光学中已采用这类谐振腔。 谐振腔可以按不同的方法分

46、类，如分为端面反馈腔与分布反馈腔，球面腔与非球面腔。高损耗腔与低损耗腔、驻波腔与行波腔、两镜腔与多镜腔、简单腔与复合腔等。在本书中，我们只讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔，因为它们是最简单相最常用的。同时，折叠腔、环形腔、复合腔等比较复杂的开腔往往可以化为等效的两镜腔来处理。 近年来，由于半导体激光器及气体波导激光器的迅速进展与走向实用，介质波导腔与气体空心波导腔在理论上以及实践上都变得日益重要。2. 模的概念、腔与模的一般联系 无论是闭腔或是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将具有一定的振荡

47、频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。从光子的观点来看，激光模式也就是腔内可能区分的光子的状态。 腔内电磁场的本征态应由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定。由于不同类型和结构的谐振腔边界条件各不相同，因此谐振腔的模式也将各不相同。对闭腔一般可以通过直接求解麦克斯韦方程组来决定其模式，而寻求开胶模式的问题通常归结为求解一定类型的积分方程。但不管是闭腔还是开腔，一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征也就随之确定下来，这就是腔与模的一般联系。实际上，光学谐振腔理论也就是激光模式理论。我们的目的是弄清楚激光模式的基本特征及其与腔的结构之间的

48、具体依赖关系。所谓模的基本特征，主要指的是：每一个摸的电磁场分布，特别是在腔的横截面内的场分布；模的谐振频率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；与每一个模相对应的激光束的发散角。只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模的上述特征。在进入严格的模式理论以前，本节利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件，建立关于纵模频率间隔的普遍表示式。这一表示式对各种类型的开腔甚至闭腔都基本上是正确的。考察均匀平面波在FP腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。发生相长干涉

49、的条件是：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相(即相差为的整数倍)。如果以表示均匀平面波在腔内往返一周时的相位滞后，则相长干涉条件可以表为 (3.4-14）式中为光在真空中的波长，为腔的光学长度，为整数。将满足上式的波长以来标记，则有 (3.4-15） 上式也可以用频率来表示 (3.4-16） 3. 光腔的损耗 损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论的重要研究课题。光学的损耗大致包括如下几个方面：(1）几何偏折损耗。光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。例如，稳定腔内傍抽光线的几何损托

50、应为各零，非稳腔则有较高的几何损耗。以非稳腔而论，不同几何尺寸的非稳腔其损耗大小亦各不相同。其次，几何损耗的高低依模式的不同而异。比如同一平行平面腔内的高阶横模由于其传播方向与铀的夹角较大，因而其几何损耗也比低阶横模为大。(2）衍射损耗。由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当光在镜面上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数有关，与腔的几何参数g有关，而且不同横模的衍射损耗也将各不相同。(3）腔镜反射不完全引起的损耗。它包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗，通常的光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还可以很高(例如，某些固体激光器的铀输出透射率可以50)

51、，另一个反射镜即使通常称为“全反射”镜，其反射率也不可能做到l00。(4）材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特窗、调Q元件、调制器等)所引起的损耗，等等。上述(1）(2）两种损耗常常又称为选择损耗，因为不同模式的几何损耗与衍射损耗各不相同。(3）(4）两种损耗称为非选择损耗，在一般情况下它们对各个模式都一样。 不论损耗的起源如何，我们部可以引进一个“平均单程损耗因子”来定量地加以描述。该因子的定义如下：如果初始出发时的光强为，在无源腔内往返一次后，光强衰减为，则 (3.4-17）由此得出如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子描述，则有 (3.4-18）式中

52、 (3.4-19) 表示由各种原因引起的总损耗因子，它为相应的各个损耗因子的总和。也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子 (3.4-20)显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子与前面定义的指数损耗因子是一致的。 (3.4-21）4. 光子在腔内的平均寿命由式(3.4-17)不难求得，初始光强为的光束在腔内往返m次后光强变为 (3.4-22）如果取t0时刻的光强为，则到t时刻为止光在腔内往返的次数m应为 (3.4-23）将(3.4-23）代入(3.4-22）就可以求得t时刻的光强为 (3.4-24）式中 (3.4-25）称为腔的时间常数，是描述光腔性质的一个重要参数。从式(3

53、.4-24)看出，当时 (3.4-26)上式表明了时间常数的物理意义经过时间后，腔内光强衰减为初始值的。从式(3.4-25)看出愈大愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。可以将解释为“光子在腔内的平均寿命”。设t时刻腔内光子数密度为，与光强的关系为 (3.4-27)式中为光在谐振腔中的传播速度。将式(3.4-27）代入(3.4-24）中得出 (3.4-28）式中表示时刻的光子数密度。上式表明,由于损耗的存在,腔内光子数密度将随时间依指数规律衰减,到时刻衰减为的。在时间内减少的光子数密度为这个光子的寿命均为，即在这段时间内它们存在于腔内,而再经过无限小的时间间隔后，它们就不在腔内了，由此可

54、以计算出所有个光子的平均寿命为 (3.4-29)这就证明了腔内光子的平均寿命为腔的损耗愈小，就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。3.4.6 共轴球面腔的稳定性条件利用几何光学的光线矩阵分析方法,根据开腔中光的几何偏折损耗的高低,可以对开腔加以科学的分类，本节介绍这一方法。 1. 腔内光线往返传播的矩阵表示用几何光学方法分析谐振腔的实质是研究光线在腔内往复反射的过程，考察图3.11所示的共轴球面腔,该腔由曲率半径为和的两个球面镜和构成。它们相距为，两镜面曲率中心的连线构成系统的光轴,谐振腔的腔长即为。图3.11 光线在共轴球面腔中的往返传播下面分析傍轴光线在这种腔内往返传播的过程。腔内任一傍轴光线

55、在某一给定的横截面内都可以由两个坐标参数来表征：一个是光线与轴线的夹角r，另一个是光线与轴线的夹角。我们规定,光线出射方向在腔轴线的上方时为正，反之为负。设开始时光线从面上出发,向方向行进,其初始坐标由参数和表征,到达面上时,上述两参数和变成、。由几何光学的直进原理可知 (3.4-30）该方程可以表示为下述矩阵形式： (3.4-31）即我们用一个列矩阵描述任一光线的坐标,而用一个二阶方阵 (3.4-32）描述当光线在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换。式(3.4-31)的右端表示两个矩阵的乘积。按矩阵的乘法规则,若、分别表示三个矩阵A、B、C的矩阵元素,且满足关系式 (3.4-33）则称矩

56、阵C为矩阵A和B的乘积,记为。式(3.4-33）的右端对重复的下标求和。在球面镜上发生反射时,根据球面镜对傍轴光线的反射规律有 (3.4-34）式中入射光线在镜面上的坐标参数，反射光线在镜面上的坐标参数， R球回镜的曲率半径。对凹面镜R取正值，对凸面镜R取负值。式(3.4-34)中第一式显然成立，而第二式可推导如下：其中表示入射光与球面镜法线之间的夹角。在傍轴近似下有将此式代如前一式就得出式(3.4-34）的第二式，式(3.4-34）也可以表示为矩阵式 (3.4-35）式中 (3.4-36）为球面镜对傍轴光线的变换矩阵,称为球面镜的反射矩阵,其中R为球面镜的曲率半径,而为球面镜对傍轴光线的焦距。容易证明,球面镜对傍轴光线的反射变换与焦距为的薄透镜对同一傍轴光线的透射变换是等效的,只是在前一种情况下将引起光线传播方向的折转。在此基础上,可以将球