高数重要知识点讲解学习

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1、高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一.函数的概念1两个无穷小的比较设 lim f (x) = 0,lim g (x) = 0 且 lim = lg (x)(1) l=0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0 g (x)，称g是比fx)低阶的无穷小。(2) l丰0，称/ (x)与g(x)是同阶无穷小。(3) I = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) g(x)2常见的等价无穷小当x 一0时sin x x， tan x x， arcsin x x， arccos x x1- cos x xA2/2 ，ex-1 x， ln(1 + x) x， (1 +

2、 x)a 1 ax二求极限的方法1. 两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x) f (x) 0).XT+3 eX解 所求问题是巴型未定式，连续n次施行洛必达法则，有3Xnnxn-1n(n 1)xn-2n !lim = lim= lim= L = lim = 0 XT+3 CX XT+3 CX XT+3CXxT+3 eX使用洛必达法则时必须注意以下几点：(1) 洛必达法则只能适用于“0 ”和“竺”型的未定式，其它的未定式须03先化简变形成“ 0”或“ 3”型才能运用该法则； 03(2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要

3、.因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在.7.利用导数定义求极限基本公式lim f(X0 +AX)-(X0)=f，(X )(如果存在) 40Ax08.利用定积分定义求极限基本格式limf(女)=Jf(X)dX (如果存在)气=1 n 0三. 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：(1) 第一类间断点设X0是函数=f (x)的间断点。如果/ (x)在间断点X0处的左、右极限都存在，则称x0是f (x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2) 第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无 穷间断点和振荡间断点。四. 闭区间上连续函

4、数的性质在闭区间a,b上连续的函数产(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用到。定理1.(有界定理)如果函数/在闭区间a,b上连续，贝f(x)必在a,b上有 界。定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续，则在这个 区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函数f (尤)在闭区间0用上连续，且其最大值和最小值 分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个 S，使彳导(& )二c推论：如果函绑(尤)在闭区间a,b上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点W，使得f (S )二0这个推论也称为零

5、点定理第二章导数与微分1. 复合函数运算法则设y=f ()，u=e (尤)，如果巾(尤)在尤处可导，f (u)在对应点处可导，则复合函数=f g (尤)在尤处可导，且有空=空四=广伸冲S) dx du dx对应地dy = f (u)du = f(Nx)(x)dx，由于公式dy = f(u)du不管是自变量或中 间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。2. 由参数方程确定函数的运算法则设x二巾(t)，y二中(t)确定函数y=y(x)，其中(t),中、(t)存在，且4 (t)丰0，则空= v(t) 矿W)二阶导数d2y = ddI = ddI 出=中(t)(t) (t)(t) dx 2 dx d

6、t dx0(t )A33. 反函数求导法则设y=f (x)的反函数尤二g(y)，两者皆可导，且/ , (x)丰0则 g(y)=if(g (y)(f(x)丰 0)4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)设y=y(x)是由方程尸(x,y)二0所确定，求y的方法如下：把尸(x, y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y 的表达式(允许出现y变量)5对数求导法则(指数类型 如y = xsin x )先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数寸。对数求导法主要用于：幕指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数(注意 定义域P106例6)关于幕指函数)=f (x)g

7、 (x)常用的一种方法,y=eg(x)inf(x)这样就可以直接用 复合函数运算法则进行。6可微与可导的关系f (x)在X0处可微台f (x)在X0处可导。7求邠介导数3 2,正整数)先求出寸，y ,，总结出规律性，然后写出乂)，最后用归纳法证明。有 一些常用的初等函数的阶导数公式(1) y = ex, y(n)= ex(2) y = ax, y(n)= ax (In a)n(3) y = sin x,y( n)= sin( x + 与)s、(4) y = cosx, y(n)= cos(x + )2(5) y = In x, y(n)= (-1)n-1(n -1)!x-n两个函数乘积的阶导数

8、有莱布旭兹公式心冲胛二云华%)jfc=0其中暇设(X)和心)都是脂阶可导.第三章微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数f (尤)满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f (a) = f (b) 则存在W e (a,b)，使得f，(S )二0二拉格朗日中值定理(证明不等式P134 9、10)设函数f (尤)满足(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则存在 S e (a,b)，使得 f(b)一f(a) = f(&)b - a推论1.若f (尤)在(a,b)内可导，且/ (x)三0，则f(x)在(a,b)内为常数。推论2.若f (x)，g(x)在(a,

9、b)内皆可导，且f(x)三g(x)，则在(a,b)内f (x) = g(x)+ c，其中c为一个常数。三柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：(1)在闭区间a,b上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；虫，(尤)丰0则存在S e(a,b)使得业二匝=乓)(a v& vb)且，g (b) - g (a) g (&)仔)(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)二x时，柯西 中值定理就是拉格朗日中值定理。) 四泰勒公式( 估值 求极限(麦克劳林)P145 T10)定理1.(皮亚诺余项的阶泰勒公式)设f (x)在0 x处有阶导数，则有公式其中七(工)=0 (又一气)叫称为皮

10、亚诺余项对常用的初等函数如ex,sinx,cosx,ln(1+x)和(1 + x)a= ( a为实常数)等的邠介泰勒公式都要熟记。定理2 (拉格朗日余项的阶泰勒公式)设/ (x)在包含0x的区间(a,b)内有+1阶导数，在a,b上有邠介连续导数，则对x，e La,b，有公式，其中嘴)=(1尸，称为拉格朗日余项上面展开式称为以0x为中心的阶泰勒公式。当x0=0时，也称为邠介麦克劳林 公式。导数的应用一基本知识设函数f (x)在七处可导，且为f (x)的一个极值点，则f(X0) = 0。我们称X满足f(x0) = 0的x0称为f (X)的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻

11、点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法 第一充分条件f (x) 在X0的邻域内可导， 且 f(x0)= 0， 则若当x x0时, r(x)0， 当xx0时，f 0，则x0为极大值点；若当x x0时，f %时，f (x)0，则%为极小值点；若在%的两侧不变号，则% 不是极值点. 第二充分条件f (x)在x0处二阶可导，且f(x0)=0，f (x0)丰0，则若尸顷) 0，则曲线y=f (x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内的每一点尤，恒有f (x) 0,则曲线y=f (尤)在(a,b)内是凸的。求曲线y=f (x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f (x)；

12、第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点气,.七；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该 点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四渐近线的求法L垂直斯近线若 lim = 8 或 lini = sXT 式于 _X-T则工=口为曲线卜=了 (X)的一条垂直渐近线，2.水平渐近线若 Um f(x) = ；b.f 或 liin f6i) = b1+曲哭TF 则y = b是曲线y = f(x)的-条水平渐近线.liin /(j )= bai+oe11111 /(J)-ZFX = b JlT-K3.斜淅近线若 lim = a =# 01Ik x或 lim工

13、0if x则y = m + ii是曲线y = f(x)的一条斜渐近线d五曲率设曲线y = f(x),它在点JVf(x.y)处的仙率n ,若史壬o,则称丑=一为V)处(?)平*的曲率半徐，企财点的法线上，凹向这一边取一点。， 使MD = R .则称D为曲率中心，以D为圆心，氏为半径的圆周称为曲案圆,第四章不定积分_基本积分表:-ln|cosx| + Cj sec xdx = ln|sec x + tgx + C j esc xdx = ln|csc x - c?gx| + C f dx1尤八J= arctg +C。2+尤2 aaf dx 1 i x-a 八J=In+ Cx2 -2 2a x +

14、af dx 1a + x 八J=In+ C-x2 2a a-xf dx . xJ ,= arcsm + Cv2 -x2。f dx f 力 厂J= J sec2 xdx = tgx + CCOS2 xdx 厂J= J csc2 xax = -ctgx + Csin 2 xf secx- tgxdx = secx + Cicscx-ctgxdx = -cscx+C axdx = - + CIn J shxdx = chx + Cf chxdx = shx + Cf dx 、/J ,- = ln(x + /x2 a2 ) + C】X2 12n-1n 一 2+ ln(x +wx2+q2)+ Cf J“

15、2 一 xzdx = Ja2 一尤 22Q2 1；厂In 尤 +、尤 2。2 +C 2+ arcsm + C2 a二换元积分法和分部积分法J f ET () V(f)dx = t f (u) duu y(X)j f (x) dx =!f f 甲(t 肿(t )dt_1t =P ( X )换元积分法(1) 第一类换元法(凑微分)：分部积分法Judv=uv-(2) 第二类换元法(变量代换):使用分部积分法时被积函数中谁看作u(X)谁看作v(X)有一定规律。记住口诀，反对幕指三为u(x)，靠前就为u(x)，例如J exarcsinxdx，应该是 arcsinx为u(x)，因为反三角函数排在指数函数之

16、前，同理可以推出其他。三有理函数积分有理函数：f ( *)=其中P (x )和。(x)是多项式。简单有理函数：P ( x )P ( x ) f (*)=床/ (*)= EP (x)(x + a)(x + b)P (x)(x+a )2 + b1、“拆”； 2变豚(三角代换、倒豚、根式代换等).第五章定积分一概念与性质定义:f(x)dx = lim% f G )Ax, a人rO .、i=12、性质:（10条）f，（x）办=六工）办kzM+kifi 底=&亦国+从*（弁）办如-】口 一（2） J /（X）石=0(3)(3) f f(x)dx = f fkHx + f /(x)t?x ( c 也可以在

17、a.bJa J由Jc之外) b , /(x) ( x 6),贝I(6) 设67 6 , m /(x) M(7 x 6)r 则m(b a) f(xdx M& 口)Ja(7) 设a )满足 1)伊(，)在口,另(或0。)上连续； 2 ) w(cr)= “ ,甲J3)= b ,且当 a f /3 时 ci(t)b,则 f/(职工切2. 定积分的分部积分法i5tj/(x),vf(x)在o，M 上连续，则J (工任所-二(x)v(x) /(才*(*)办 或 b= IJ(XV(JT)第六章定积分的应用（_）平面图形的面积1、：直角坐标：A = hf2（x）- f1（x）dx a1 r o八八 小2、极坐标

18、：A = 佃;（）- g2（。）d02 a 21（二）体积1、旋转体体积：a）曲边梯形y = f（x）,x = a,x = b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：匕=Lf 2（ x）dxxab）曲边梯形y = f （x），x = a,x = b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积：y, =J 7 2 xf ( x ) dx（柱壳法）2、平行截面面积改的立体：y = A（x）dx a（三）弧长1、直角坐标:S = jb J +顷(x)a v2、参数方程: s = Pj版，(t)2 + 虹(t)极坐标:s =j p(。) 2 + p，(。) 2 d 2 dx2 dt第七章微分方程()概念1、微分

19、方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关 系的方程.阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的 阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任 意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定 了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程g （y）dy f （x）dx，两边积分 j g（y）dy = j /（x）dx（三）齐次型方程空*（y）设=y则空力+x空dx x ， x ， dx dx dx （ x）. x dx * dv或dy 亍，设y，则 d V dy（四）T阶线性微分方程dy + P（ x） y = Q（ x）dx用常数变易法或用公式j Q

20、(x)e，P(x)dxdx + C（五）可降阶的高阶微分方程1、y (n) f (x),两边积分n次；2、y” = f (x,y)(不显含有y ),令y = p，则y” = p ;3、y = f (y,y)(不显含有x )，令y = p，则y = py（六）线性微分方程解的结构1、y , y是齐次线性方程的解，则5 + cy也是；12112 22、y , y是齐次线性方程的线性无关的特解，则Cy + Cy是12112 2方程的通解；3、y = Cy + Cy + y*为非齐次方程的通解，其中y , y为对 112 212成齐次方程的线性无关的解，y *非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分

21、方程二阶常系数齐次线性方程：y+py+qy =0特征方程：r2 + pr + q = 0，特征根：乍r2特征根通解_ r 丰r实根12y = C er1x + C er2xr = r = p_y = (C + C x) er1xr = a i |31,2y = ea x (C cos p x + C sin p x)（八）常系数非齐次线性微分方程数y + py + qy = f (x)1、f (x) = eMPx)0,久不是特征根设特解y* = xke% （x），其中k = 1,久是一个单根久是重根2、f(x) =em(P (x) cos g + P (x) sin g)特y* = xkeL（x）cos x + R（2）（x）sin x人+ O z不是特征根 m + O i是特征根其中 m = maxl, n , k = 0,1,