《随机事件及其概率》PPT课件.ppt

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1、第一节 随机事件及其运算,第二节 随机事件的概率,第三节 条件概率,随机事件及其概率,第一章,第四节 事件的独立性,第一章 随机事件及其概率,教学要求：,1、掌握随机试验,样本空间和随机事件的概念; 熟悉事件之间的关系与运算；,2、正确理解随机事件的概率定义,熟记概率性质；,3、熟练掌握古典概型的三类问题： (1).摸球问题；(2).分房问题；(3).随机取数问题.,4、掌握条件概率和有关条件概率的三个公式： 乘法公式、全概率公式和贝叶斯(逆概率)公式.,5、掌握随机事件和随机试验的独立性概念,并能熟练运用；,6、了解事件的互逆,互不相容(互斥)和相互独立三者之间的关系.,学时数：10,第一节

2、 随机事件及其运算,一、基本概念, 随机试验 ,具有下列特性的试验称为随机试验(记为E )：,3、试验可以在相同条件下重复进行.,1、试验的可能结果不止一个,但能事先明确试验的所有可能的结果;,2、进行某一次试验之前,不能确定哪个结果会发生;,不满足3的试验称为不可重复的随机试验;同时满足1,2,3的称为可重复的.,复合试验 ,由一串(简单)试验依次各做一次所组成的试验.,记为:,例1.1: 设有如下试验:,掷一枚硬币,观察正(H)反(T)出现的情况;,袋中有编号为1, 2, , n 的n个球,从中任取一个球,观察球的编号;,一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有区间0,3)上诸数字,在桌面上旋

3、转它,当它停下来时,观察圆周与桌面接着处的刻度;,将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的情况;,显然, 上面给出的四个试验都是随机试验,它们均 满足定义,且,是复合试验.,随机事件,在一次试验中,可能发生也可能不发生,而在大量的重复试验中具有某种统计规律性的事情称为随机事件(简称事件),常以大写字母A, B, C的表示.,必然事件,每次试验中必然发生的事情. 记为S(或 ),不可能事件,每次试验中必然不发生的事情. 记为,注 意:,（i）必然事件与不可能事件本来是描述绝对型现象的,但为了方便,把它们看作特殊的随机事件;,（ii）基本事件是最简单的随机事件,试验中的任何事件都是由基本事件组成的.,基

4、本事件,试验的每一个可能的结果.(也叫样本点)记为e.,例1.2 在E1中, A=出现正面是随机事件,且是基本事件; 在E2中, A1=取的号码数小于3是随机事件, A2=取的号码数大于0是必然事件, A3=取的号码数小于1是不可能事件, A4=取的号码是n是基本事件.,样本空间,在随机试验E中, 基本事件(样本点)的全体所组成的集合称为样本空间,记为S(或 ).,例1.3 求例1.1试验的样本空间：,E1的样本空间 S1=H,T; E2的样本空间 S2=1,2,n;,E3的样本空间S3=0 , 3); E4的样本空间 S4= (H T T), T H T), (T T H), (H H T)

5、, (H T H), (T H H), (H H H), (T T T),解：,例1.4 袋中有5只球. 其中有三只红球, 编号为1, 2, 3; 有二只黄球, 编号为一, 二.现从中任取一只球, E1: 观察颜色; E2: 观察号码. 试分别写出E1和E2的样本空间.,解:,E1的样本空间S1=红, 黄;,E2的样本空间S2=1, 2, 3 ，一, 二.,注 意:,（i）样本空间是由随机试验决定的,不同的试验具有不同的样本空间;,（ii）样本空间可以是各种对象的集合,即可以是数集也可以不是数集.,二、事件之间的关系与运算,设E是随机试验, S是样本空间, 也表示必然事件,表示不可能事件,也表

6、示空集. A, B, Ai(i=1, 2, )是E的事件.,1. 子事件:,若A发生, 则B发生. 称A是B的子事件.,2. 相等事件:,3.和(并)事件:,表示A与B中至少有一个发生的事件.,推 广:,可列个(或有限个)事件中至少有一个发生的事件称为这可列个(或有限个)的和事件.记为:,4. 积（交）事件:,表示A与B同时发生的事件.记为:,推 广 :,有限个(或可列个)事件同时发生的事件称为有限个(或可列个)事件的积事件. 记为:,5. 差事件:,表示A发生而B不发生的事件. 记为: A - B,6. 互不相容事件:,若A与B不能同时发生, 即AB=, 则称A与B是互不相容事件(或称为互斥

7、事件).,7. 对立事件:,若A与B中有且仅有一个发生,即AB=S且AB=,则称A与B是对立事件,或B是A的对立事件,A的对立事件记为 (A,B互为对立事件).,注 意:,（i）事件是由基本事件组成的,故它是样本空间的子集,事件之间的关系与运算完全与集合之间的关系和运算一致, 请见下表:,（ii）事件运算的性质完全相同于集合运算的性质.,事件运算的规则,设A、B、C为三事件，则：,1. 交换律:,2.结合律:,3.分配律:,设Ai是有限个或可列个事件, 则:,4.(隶莫根定理):,特别有:,设A, B为任意二事件, 易证:,(1).,(2).,(3).,(4).,(5).,例1.5 设A, B

8、 , C为三事件,试用事件的运算关系表示下列事件:,(1)A, B C 都发生; (2)A, B , C都不发生; (3)A, B, C中至少有一个发生; (4)A, B, C中最多有一个发生; (5)A, B, C中至少有两个发生; (6)A, B, C中最多有两个发生.,解:,(1),A, B, C都发生 =,(2)A, B, C都不发生 =,都发生,ABC,(3)A, B, C中至少有一个发生 =,(4)A,B,C中最多有一个发生=A,B,C都不发生或只有一个发生,(5)A,B,C中至少有两个发生,(6)A,B,C中最多有两个发生,注 意:,（i）我们所考虑的事件的运算是对同一个试验中的

9、事件而言的;,（ii）事件A不发生, 则它的对立事件一定发生;,（iii）只要事件A包含的基本事件出现，就说A发生.,例1.6 E: 某地区有100人是1920年出生的，考察到2010年还有几个人活着. (1) E的样本空间是什么？ (2)设A=只有5人活着； B=至少有5人活着; C=最多有4人活着. 则A与B, A与C, B与C是否互不相容？A, B, C的对立事件是什么？,解（1）,e0=无人活到2010年, e1=有1人活到2010年, e2=有2人活到2010年, e100=有100人活到2010年,这就是E的所有可能结果(基本事件),E的样本空间有上面101个基本事件构成,即:,(

10、2),由于:,故A与B相容, A与C, B与C都互不相容, 且:,第二节 随机事件的概率,一、概率的统计定义,设事件A在n次重复独立试验中发生了rA次,则比值rA/n叫做n次试验中A发生的频率,记作:,W (A) = r A / n,由定义知频率具有如下性质:,1.频率,注 意:,（1） 频率越大,A发生的可能性越大，并且，频率具有稳定性，即当试验次数n充分大时，频率w(A)在0, 1上的某一个确定的数p附近摆动，即以p为“稳定中心”，这时 w(A)p.,（2） A发生的可能性大小称为A的概率.由频率的特性知，事件发生的可能性大小是事件本身所固有，不以人们主观意志而改变的客观属性，于是我们可以

11、借助于频率来定义概率.,2.概率的统计定义,定义1 随着试验次数n的增大,事件A发生的频率w(A)在0, 1上某一个数p附近摆动,则定义事件A的概率为p,记为P(A)=P.,3.概率的性质,设E为试验, S为样本空间, 也表示必然事件, 表示不可能事件, A, B, Ai (i=1,2, )表示事件,则有:,(3)若Ai(i=1,2,)是有限个两两互不相容事件,则有:,二、古典概率,1.古典概型,设E是试验，S是E的样本空间，若满足,(1) S只含有有限多个样本点; (有限性),(2)每个基本事件发生的可能性相等.(等可能性),则称E为古典概型或等可能概型.,2.概率的古典定义,3.古典概率的

12、性质,三、几何概型,具有下列特点的概率问题称之为几何概型:,(1),有一个可度量的几何图形S, 试验E看成在S中随机地投掷一点, 即S为样本空间. 而事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.,(2),事件A的概率与A的度量L(A)成正比.,(其中:L表示测度, 即度量, 指长度, 面积或体积. ),几何概率也满足非负性,规范性,有限可加性.,定义3 在几何概型下,事件A的概率定义为,四、概率的公理化定义,定义4 设A是一非空集合, 且S=e, F是S的一些子集(不必是全体子集)所组成的集类,如果满足下面条件:,则称F为S上的一个事件域(代数),称F中的集A为事件.,定义5,设P(*)是事

13、件域F上的实值集函数,对每一事件A赋予一个实数P(A),若P(*)满足下面三条件:,(1).,对任意事件AF, 有0 P(A). (非负性),(2).,P(S)=1. (完备性),(3).,(可列可加性),则称P(A)为A的概率.这时称三元总体(S, F, P)为概率空间.,（ii）概率的统计定义和公理化定义都未给出计算概率的具体公式,而在实际应用中,有些特殊的概率是可以用简单公式来计算的,如古典概率.,注意:,（i）概率的统计定义直观, 具体, 但不够严格,不便于理论研究;公理化定义严格,便于理论研究,但比较抽象,对农科学生只需了解此定义.,概率的性质,B,A,证明:,一般加法公式中的求和号

14、“”是对一切满足1ijtn 的下标进行的.即积事件中各事件的排列次序是按下标由小到大排列的,这样, n个事件按下标排列虽有n!种排法,但只取其中一种即A1A2An. 由此可计算出一般加法公式中,含有总项数:,注意:,例1.8 某城市共发行A,B,C三种报纸.调查表明居民家庭中订购C报的占30%.同时订A,B两报的占10%,同时订A,C及B,C两报的各8%,5%.三报都订的占3%.今在该城中任找一户.问该户(1)只订A,B两报;(2)只订C报的概率各为多少?,1.,古典概型是一种非常重要的概率模型,在概率论发展的初期曾经是主要的研究对象,今天仍是学习概率统计的基础.在实际问题中如何判断一个试验是

15、否是古典概型呢?有限性往往比较容易判断,主要是等可能性的问题.在样本空间中,当没有理由认为某些基本事件发生的可能性比另一些基本事件出现的可能性大时,我们可以认为每个基本事件出现的可能性相等,即都等于1/n.,古典概率的计算,按古典概型公式计算出的概率符合概率的统计定义,即是频率的“稳定中心”;同时P(A)满足公理化定义的三公理.,2.,3.,古典概率的计算步骤:,(1). 弄清随机试验是什么? (判断有限性和等可能性);,(2). 样本空间S是怎样构成的? (对于复杂问题,只要求求出基本事件的个数n),(3). 考察所讨论的事件A. (求出A所含的基本事件个数r);,(4). 利用公式P(A)

16、= r/ n , 计算出P(A).,一、 摸球问题 (产品的随机抽样问题 ),例1.9 袋中有5个红球, 3个黄球, 从中一次随机地摸出两个球, 求摸出的两球都是红球的概率.,解:,E: 从(5+3)个球中等可能地任取两球, 观察颜色. S含有基本事件数为:,设 A=所取二球全红, 则A含有的基本事件个数为:,例1.10 袋中有编号为1, 2, , 10的十个球,从中一次任意取出三个球,试求取出的三球中恰好是一个编号小于5, 一个编号大于5, 一个编号等于5的概率.,解:,E: 从10个球中任取三个观察编号. S含有的基本事件数为:,设 A=所取三球中,一个小于5,一个大于5,一个等于5,则A

17、含有的基本事件数为:,例1.11 某人有5把钥匙,其中有2把房门钥匙,但忘了开房门的是哪二把,只好逐把试开.问此人在三次内打开房门的概率是多少?,解:,E: 从5把钥匙中任意选三把(每次一把)逐把试开放门(试后不放回). S含有的基本事件总数为:,设 A=三次内打开房门, = 三次都打不开房门 则 含有的基本事件数为:,例1.12 盒中有6只灯泡,其中有2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:,A=取到的二只都是次品 B=取到的二只中正、次品各一只 C=取到的二只中至少有一只正品,解:,E: 从6只灯泡中有放回地抽取2只,观察正品与次品出现情况. S含有的基本

18、事件总数为:,A含有的基本事件数为:,设 B1=第一次取正品,第二次取次品 B2=第一次取次品,第二次取正品 B=B1B2, 显然B1与B2互不相容,例1.13 将例1.12中的有放回地抽取两次,改为无放回地抽取两次,其它条件不变,试求A, B, C的概率.,解:,E: “从6只灯泡中无放回地抽取两次,每次一只,观察正品与次品发生的情况”. S含有的基本事件总数为:,A含有的基本事件数为:,B含有的基本事件数为:,*例1.14 将例1.12中的取法改为一次抽取二只,其它条件不变,试求A, B, C的概率.,解:,E: “从6只灯泡中,一次取出二只,观察正品与次品发生的情况”. S含有的基本事件

19、总数为:,A含有的基本事件数为:,B含有的基本事件数为:,注 意:,从产品中任抽一件进行检验之后放回原产品中,再抽一件进行检验,以至进行数次,这种抽取产品的方式叫有放回抽样,若每次抽取的产品都不放回原产品中,则叫无放回抽样.,例1.15 袋中有a 个白球, b 个黑球,从中任意地连续一个一个地摸出k+1个球(k+1a+b),每次摸出的球不放回袋中,试求最后一次摸到白球的概率.,解: S含有的基本事件总数为:,设 A=在摸出的k+1个球的排列中,最后一个是白球, 则A含有的基本事件数为:,注 意:,例1.15中所求事件的概率与k无关，即每一次摸到白球的概率是一样的，这是抽签问题的模型，即抽签时各

20、人机会均等，与抽签的先后顺序无关，所以抽签不必争先恐后.,二、分房问题(球在盒中的分布问题),例1.16 将张三, 李四, 王五3人等可能地分配到三间房中去,试求每个房间恰有一人的概率.,解:,E:将三人等可能地分配到三间房中去. S含有的基本事件总数为:,设 A=每个房间恰有一人,则A含有的基本事件数为: 3!=6,例1.17 将n个人等可能的分配到N(nN)间房中的每一间去,试求下列事件的概率:,A=某指定的n间房中各有一人; B=恰有n间房各有1人; C=某指定的一间房中恰有m个人(mn),解:,E: 将n个人等可能地分配到N间房中去 则S含有的基本事件总数为:,A含有的基本事件数为:,

21、又B含有的基本事件数为:,C含有的基本事件数为:,注 意:,分房问题中的人与房子一般都是有个性的,处理这类问题是将人一个一个地往房间里面分配(看成复合试验).处理实际问题时,要分清什么是“人”,什么是“房”,不可颠倒.常遇到的分房问题有: n个人的生日问题; n封信装入n个信封的问题(配对问题).分房问题有时也叫球在盒中的分布问题.,例1.18 某年级有10名大学生是1986年出生的,试求下列事件的概率:,(1).,至少有两人同年同月同日生;,(2).,至少有一人在十月一日过生日.,解:,E: 考察10人的生日是一年中的哪一天(将10人的生日分配到一年的365天中去). S含有的基本事件总数为

22、:,(1).,设 A=至少有二人同年同月同日生;,= 没有任何二人的生日是同一天,则 含有的基本事件数为:,(2).,设 B=至少有一人的生日在十月一日;,=无一人的生日在十月一日.,含有的基本事件数为:,例1.19 电话号码是由0, 1, 2, 9等10个数字中的任意i个(i=1,2,3,4,5)数字所排列成的五位数(包括0排在首位),求号码由完全不同的数字组成的概率.,故样本空间S含有的基本事件总数为:,设 A= 号码由5个完全不同的数字排列而成 则A含有的基本事件数为:,解:我们可以把电话号码的五个数看成5个人, 而把0,1,2,3,.9等10个数字看成10间房,三、随机取数问题,例1.

23、20 在0-9这十个数字中无重复地任意取4个数字,试求所取的4个数字能组成四位偶数的概率.,解:,E: 从十个数字中任取4个进行排列 则S含有的基本事件总数为:,设 A=排成的是四位偶数,则A含有的基本事件数为:,例1.21 从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中等可能地, 有放回地连续抽取3个数字,试求下列事件的概率:,A=三个数字完全不同; B=三个数字中不含1和5; C=三个数字中5恰好出现两次; D=三个数字中至少有一次出现5.,解:,E: 从5个数字中有放回抽取3个数字.则S含有的基本事件总数为: 53,考察A: 相当于从5个数字中任意选取3个进行排列,故A含有的基本事件数为:A5

24、3,考察B: 三个数字中不含1和5,只能在2, 3, 4三个数字中选取,每次有3种取法,故B含又的基本事件数为: 33,考察C: 三个数字中5恰好出现两次,可以是三次中的任意两次,出现的方式有 种,剩下的一次只能从1, 2, 3, 4中任取一个数字,有4种取法,故C含有的基本事件数为:,考察 : =三个数字中,5一次也不出现,说明三次抽取都是在1, 2, 3, 4中任取一个数字,故 含有43个基本事件.,例1.22 从1-100的一百个整数中任取一数,试求取到的整数能被6或8整除的概率.,解:,E: 从1, 2, 3, ,100中任取一数.显然S含有100个基本事件,设 A=取到的数能被6整除

25、，B=取到的数能被8整除，C=取到的数能被6或8整除,显然:,考察A: 设100个整数有x个能被6整除,则6x100,故x=16即A含有16个基本事件;,考察B: 设100个整数中有y个能被8整除,则8y100,故y=12即B含有12个基本事件;,考察AB: 能被6整除又能被8整除的数就是能被24整除的数,设共有z个,则24z100,故z=4.即AB含有4个基本事件.,例1.23 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0 , 5) 上诸数字, 在桌面上旋转它, 求当它停下来时, 圆周与桌面接触处的刻度位于区间2 , 2.5上的概率.,解:,S = 0 , 5) , A= 2 , 2.5 , L(

26、S) =5-0=5, L(A)=2.5-2=0.5,几何概率的计算,例1.24 (约会问题) 甲乙二人相约上午7点到8点之间于某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离去. 试求两人能会面的概率.,解:,设 x , y 分别表示甲乙二人到达会面地点的时间,则能会面的充要条件是:,如果把以60为边长的正方形看成样本空间S, 则A=两人能会面就是不等式所表示的区域,如右图所示.,y,o,20 60,60 20,A,x,m,0,第三节 条件概率,一、条件概率,定义1 设试验E, S是E的样本空间, A, B是E的事件, 且P(A) 0,则称 :,为事件A已发生的条件下, B发生的条件概率.,1

27、.条件概率的定义,注 意 :,(i)条件概率满足概率的三公理, 具有概率的一般性质;,(ii)对于古典概型, 若S由n个基本事件组成, A由m个基本事件组成( m 0), AB由k个基本事件组成, 则:,这时, 把作为条件的事件A=SA看作缩减的样本空间.,(iii)定义可推广到:,2.条件概率的性质,例1.26 验证条件概率满足概率的三公理.,证:,(1),(2),(3),例1.27 袋中有16个球,颜色与材料如下表所示:,现从中任意摸取一个球, 若已知摸到的是红球, 那么这红球是木质球的概率是多少?,解1:,E : 从16个球中人取一个, 观察颜色和材料. 则S含有16个基本事件. 设A=

28、摸到的是红球, B=摸到的是木质球 题中要求的概论率是P(B/A),木质球,玻璃球,红球,2,4,3,7,黄球,解2:,因为S含有16个基本事件, A含有5个基本事件, AB含有2个基本事件,二、乘法公式,设E是试验, S是E的样本空间, A, B, Ai(i=1,2,n) 是E的事件, 且P(A) 0, (或P(B) 0), P(A1A2An-1) 0, 则有:,例1.28 一批灯泡共100只,次品率为10%. 不放回抽取三次, 每次一只, 求第三次才取得合各格品的概率.,解:,设Ai=第i次取得合格品, i=1, 2, 3. 显然所求的概率是 P(第一次取次品且第二次取次品且第三次取合格品

29、),例1.29 七人抓阄, 其中6张空票, 1张戏票. 求每个人抓到戏票的概率是多少?,解 1:,设 Ai=第i个人才抓到戏票 Bi=第i次抓到戏票. i=1, 2, 7,解2:,本题可理解为, 一次一次把七张票无放回地取完, 则样本空间为:,最后一人取得戏票为:,例1.30 某人有5把钥匙,其中有2把房门钥匙,但忘了开房门的是哪二把,只好逐把试开.问此人在三次内打开房门的概率是多少?,三、全概率公式,定义2 设E是试验, S是样本空间(或必然事件), B, Ai是E的事件(i=1, 2, n), 且满足:,(1),(2),四、逆概率公式,定理2 (贝叶斯公式)在全概率公式的条件下, 若P(B

30、) 0则有 逆概率公式(简称逆概公式):,注意:在全概和逆概公式中的Ai是导致试验结果的各种原因, P(Ai) (i=1, 2, n) 是各种原因发生的概率, 称为先验概率, 一般是由实际经验给出的. P(Ai/B)称为后验概率, 它反映了试验之后各种原因Ai发生的概率的新结果, 是P(Ai)的修正值. 凡是已知试验结果, 要找某种原因发生的可能性, 即已知信息, 问信息来自何方的问题, 可用逆概公式来解决.,例1.32 设甲箱中有a个白球, b个红球, (a 0, b 0), 乙箱中有c个白球, d个红球(c0,d0). 从甲箱中任取一球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一球, 试求从乙箱中取到

31、的球为白球的概率.,解1 :,设B=从乙箱中取到的球为白球, B是试验结果. A1=从甲箱中取出的球为白球 A2=从甲箱中取出的球为红球,白a, 红b,白c, 红d,A1=从甲箱中取出白球,A2=从甲箱中取出红球,B=从乙箱中取白球,解2 :,设A1=从乙箱中取出的球原是甲箱中的 A2=从乙箱中取出的球是原在乙箱中的 显然,例1.33 某仓库有同样规格的产品6箱, 其中有3箱, 2箱和1箱依次是由甲, 乙, 丙三个厂家生产的, 且三厂的次品率分别为1/10, 1/15, 1/20. 现从这6箱中任取一箱, 再从取得的一箱中任取一件, 试求取得的一件是次品的概率.,解:,设 B = 取得的一件是

32、次品 A1= 取得的一件是甲厂生产的,A2 =取得的一件是乙厂生产的 A3 =取得的一件是丙厂生产的,由题意得:,在6箱产品中, 甲, 乙, 丙三厂分别占3/6, 2/6, 1/6, 即有:,故由全概率公式得:,例1.34 在例1.33中, 若已知取得的一件是次品, 试求所取得的产品是丙厂生产的概率.,解:,A1, A2, A3, B 如例1.33所设事件，依题意， 已知结果B已发生, 要求第三个原因发生的概率，则用逆概公式：,例1.35 设用一种化验来诊断某种疾病, 患该病的人中有90%呈阳性反应, 而未患该病的人中有5%呈阳性反应,该人群中有1%的人患这种疾病.若某人做这种化验呈阳性反应,

33、则他患这种疾病的概率是多少?,第四节 事件的独立性,一、事件的独立性,定义 1 设 Ai (i=1, 2, n)是E的事件, 若对任意一组数k1, k2, ks(2sn; 每组数k1, k2, ks取1, 2, n中s个不同的值)有:,则称事件A1, A2, An相互独立.,(1)必然事件S与任意事件B相互独立,(2)不可能事件与任意事件B相互独立,显然,注意:,（i） 若Ai(i=1, 2, n)中任意多个事件的积事件的概率等于每一个的概率之积, 则称Ai相互独立,故定义的等式是一组等式,包含有:,个等式.,（ii） 若A1, A2,An中任意两个事件是相互独立的, 则称A1, A2,An两

34、两独立, 相互独立一定两两独立; 反之不然.,（iii）事件的独立性常常不是根据定义来判别的, 而是根据实际问题来判断.,其余两个同理可证.(略),由事件的独立性可以推出下列命题:,例1.36 设某种型号的炮,每一门(只发射一枚炮弹)击中 敌机的概率为0.6.现有若干门同时发射,问要以99%的 把握击中敌机,至少需要配置几门炮弹?,例1.38 袋中装有a个白球, b个黑球, 每次有放回地从中任意取一个, 直到取得白球为止. 试求取出的黑球数恰好是k的概率.,解:,E : 从a+b个球中有放回地任意取一个, 直到取得白球为止.设 Ai= 第i次取得白球,i=1,2, ,显然,又设 B=取出的黑球

35、数恰好是k 则 B=前k次取到黑球, 第k+1次取到白球,由于是有放回抽样, 故每次取到白球或黑球是相互独立的，则：,二、可靠性问题,可靠度 指系统能正常工作的概率.,假设系统中各元件能否正常工作是相互独立的,1.串联系统,1,2,n,2.并联系统,1,2,n,例1.39 一个混联系统 如图所示,由5个元件组成,每个 元件可靠度为p,求系统可靠度,1,3,2,4,5,三、n重贝努里试验,1.重复独立试验,如果一个试验在相同条件下可重复进行n次,各次试验中每个结果出现的概率保持不变,且每次试验的结果 相互独立,则称这n次试验为n重独立试验.,特别地,当试验只有两个结果,即事件 出现或 出现,其概

36、率分别为 则称 这样的n重独立试验为n重贝努里试验.,如:抛掷硬币,观察正面与反面;,有放回地抽查产品,观察正品与次品;,射击时中与不中.,2.二项概率公式,例1.40 设一批产品数量很大,其中一级品率为0.3.现从中 抽取5件 样品.求: (1)5个样品中恰有2个一极品的概率; (2)5个样品中至少有2个一极品的概率.,例1.41 从一个工厂的产品中进行重复抽样检查,共取 200件.检查结果其中有4件次品.问该厂废品率0.005 是否可信?,解:这是一个200重的贝努里试验.不妨假定废品率为 0.005,则200件产品中恰抽到4件次品的概率为:,这表明,在200件产品中抽到4件次品的概率0.015(小概率),属于小概率事件,而它竟然发生了.我们认为,废品率为0.005不可信.,例1.42 设每次射击打中目标的概率为0.001,如果射击 5000 次,试求打中目标的概率.,这表明,虽然小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,而在多次重复试验下,却很容易发生.,第一章小结,1.计算概率的常用公式:,2.概率为零的事件未必是不可能事件,概率为1的事件 也未必是必然事件.,3.相互独立与互不相容的区别与联系,