第十七章 勾股定理知识点总结复习课程

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1、第十七章勾股定理知识点总结第十七章勾股定理知识点总结基础知识点：1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在阪BC中，/C = 90。，贝Uc =a 2 + b 2 ， b = c 2 一 a 2 ， a = c 2 一 b）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2 :勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直

2、角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2 = a2+b2，则 ABC是以/C为 直角的直角三角形（若c2a2+b2，ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2 2, n为正整数）；2n + 1,2n2 + 2n,2n2 + 2n +1（ n 为正整数） m2 - n2,2mn,m2 + n2（ m n, m， n为正 整数）二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 1 .在 AABC 中，ZC

3、= 90。.（1）已矢口 AC = 6, BC = 8.求AB的长已知AB = 17 , AC = 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2 + b = c2解：（1） AB = -! AC 2 + BC 2 = 10c BC = J AB 2 AC 2 = 8匚题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的 高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数 学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接 利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2=AB2,即 AC2+92=152,所以

4、 AC2=144,所以 AC=12.例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.捉四解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知 ACD 中, ZACD=90,在RtAACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定 理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2,根据勾股定理， AC2+CD2=AD2设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5X2+1.52=（x+0.5） 2解之得x=2.故水深为2米.题型三:勾股定理

5、和逆定理并用一例题3如图3,正方形ABCD中是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB =1AB那么 DEF是直角三角形吗？为什么？4解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会 意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB = 4AB可以设 AB=4a,那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD、RtB EF和RtACDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再 利用勾股定理逆定理去判断 DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCD

6、E 中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a) 2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在 ADEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2.DEF是直角三角形，且乙DEF=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理 亍弋-、,的必练习题。图4题型四：利用勾股定理求线段长度一例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E, 将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细僻题过程如下：解：根据题意得RtADE丝RtAEF/.ZAFE=90, AF=

7、10cm, EF=DE设 CE=xcm,则 DE=EF=CD - CE=8 - x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，艮口 82+BF2=102,BF=6cm/.CF=BC-BF=10-6=4(cm) 在RtAECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（8-x） 2=x2+42二 64 - 16x+x2=2+16x=3（cm）,即 CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂宜一例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD 边，他测得AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD边与

8、AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截 取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm, 在AD上截取AN=9cm（想想为什么要设为这两个长度？），连结MN，测量MN的长 度。 如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直； 如果 MN=aW15，则 92+122=81+144=225, a2225,即 92+122，a2,所以乙A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题一一斗匚I例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5BC0 5 米的墙上，任何东西只要移至

9、5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC#MN,BCAN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题：例1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将AABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。变式1 ：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2、；3

10、,PC=4,求AABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三B上角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，AABC为等腰直角三角形，乙BAC=90, E、F是BC上的点，且乙且乙EAF=45,/ 试探究BE2. CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七:关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是AABC的中线，匕ADC=45，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求

11、BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米 /小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九:关于最短性问题 例5、如右图1-19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的 下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害 虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直 线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭 得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14, 结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有 面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？