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1、差分方程常用解法1、 常系数线性差分方程的解 方程 （1） 其中为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程 （2） 为方程（1）对应的齐次方程。 如果（2）有形如的解，代入方程中可得： （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。 显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下：（1） 若（3）有k个不同的实根，则（2）有通解： ，（2） 若（3）有m重根(即m个根均为)，则通解中有构成项： （3）若（3）有一对单复根 ，令：，则（2）的通解中有构成项： （4） 若有m 重复根：，则（2）的通项中有构成项: 综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成
2、方程（2）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为： 如果能得到方程（1）的一个特解：，则（1）必有通解： + （4）方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果为n 的m次多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为n的m次多项式；如果b是r重特征根时，可设特解：，将其代入（1）中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法(复变函数和几分变换) 对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的例1 设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根： 故：为
3、方程的解。 由条件得：解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得： 由条件得 由F（z） 在中解析，有 所以，3、二阶线性差分方程组设，形成向量方程组 （5）则 （6） （6）即为（5）的解。 为了具体求出解（6），需要求出，这可以用线性代数的方法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。 （2）将A 分解成为列向量，则有 从而，（3） 或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（1）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（3）所有的 特征根满足 （2）一阶非线性差分方程 （7） （7）的平衡点由方程决定， 将在点处展开为泰勒形式： （8） 故有：时，（7）的解是稳定的， 时，方程（7）的平衡点是不稳定的。
差分方程的解法
