映射(逆映射)

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1、逆映射(扩展资料)在映射一节中我们介绍了映射与一一映射的概念，并将以此为基础学习函数的概念对于一一映射还可以进一步做一点研究如图： 图（1） 图（2） 容易看出，图中(1)表示的映射是在 作用下， 到 上的一一映射，图(2)所示的映射是在 的作用下集合 到集合 上的一一映射，在映射 的作用下的象与原象，分别是在映射 的作用下的原象与象，由此引出一个新概念称为逆映射定义:设 是集合 到集合 上的一一映射，如果对于 中每一个元素 ，使 在 中的原象 和它对应，这样得到的映射称为映射 的逆映射，记作 由定义不难看出只有一一映射才有逆映射，若 是一一映射，则 也是一一映射，刚才图中(1)(2)， 就是

2、 的逆映射对于逆映射，它对于我们后面所学的反函数概念的理解有很大的帮助，也可以帮助我们认清反函数与原来函数之间的关系探究活动（1） 整数， 偶数， ，试问 与 中的元素个数哪个多?为什么?如果我们建立一个由 到 的映射对应法则 乘以2，那么这个映射是一一映射吗?答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射（2）设 ， ，问最多可建立多少种集合 到集合 的不同映射?若将集合 改为 呢?结论是什么？若将集合 改为 ，结论怎样?若集合 改为 ， 改为 ，结论怎样?从以上问题中，能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有 个元素，集合B中含有 个元素，那最多可以建立多少种集合 到集合 的不

3、同映射?答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射 有 个 习题精选（1）设集合 ， ，从 到 的对应法则 不是映射的是( ) （2） 已知映射 ，其中集合 ，且对任意 ，在 中和它对应的元素是 ，则集合 中元素的个数最少是_（3）设集合 ， 下列四个图象中，表示从 到 的映射的是( ) （4）已知从 到 的映射 ，则 的原象是_ （5）已知从 到 的映射是 ，从 到 的映射是 ，其中 ，则从 到 的映射是_（6）已知集合 ， ，且 是由 到 的一一映射，求 的值答案：(1) ；(2) 4；(3) ；(4) 或 ；(5) ；(6) 典型例题例1 下列集合 到集合 的对应中，判

4、断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?(1) ，对应法则 (2) ， ， ， ， (3) ， ，对应法则 取正弦(4) ， ，对应法则 除以2得的余数(5) , ，对应法则 .(6) ， ，对应法则 作等边三角形的内切圆分析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致，周全解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数)没有原象(2)是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数 (3)是映射，是一一映射，因为集合 中的角的正弦值各不相同，且集合 中每一

5、个值都可以是集合 中角的正弦值(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素(5)不是映射，因为集合 中的元素(如4)对应集合 中两个元素(2和-2)(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆边长不同，圆的半径也不同说明：此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求，特别是对于集合 ，集合 及对应法则 有哪些具体要求，包括对法则 是数学符号语言给出时的理解 例2 给出下列关于从集合 到集合 的映射的论述，其中正确的有_(1)B中任何一个元素在A中必有原象；(2) 中不同元素在 中的象也不同 ;(3) 中

6、任何一个元素在 中的象是唯一的;(4) 中任何一个元素在 中可以有不同的象;(5) 中某一元素在 中的原象可能不止一个;(6)集合 与 一定是数集；(7)记号 与 的含义是一样的分析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助解： (1)不对 (2)不对 (3)对 (4)不对 (5)对(6)不对(7)不对 说明：对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来，对映射的认识更加全面，准确例3 (1) ， ， ， ， 在 的作用下， 的原象是多少?14的象是多少? (2)设集合 偶数，映射 把集合A中的元素 映射到集合B中的元素 ，则在映射 下，象20的

7、原象是多少？(3) 是从 到 的映射，其中 ， ， ，则 中元素 的象是多少? 中元素 的原象是多少?分析：通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象，而且明确求象与原象的方法解：(1)由 ，解得 ，故 的原象是6; 又 ，故14的象是 (2)由 解得 或 ，又 ，故 即20的原象是5(3) 的象是 ，由 解得 ，故 的原象是1说明：此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象，而求原象则需解方程或方程组在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时，对 和 的制约条件都是两条，应解方程组，且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解，有唯一解，无数解)其中第(3)小题集合 中的元素应是二元数(有序数对)，计算出的象必须写成有序数对的形式，所以求原象时必须先认清集合的特征5