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1、8函数专题一种特殊的对应：映射9413-32-21-1304560901-12-23-3149123123456开平方求正弦求平方乘以2 （1） （2） （3） （4）1 对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。2 对应的形式：一对多（如）、多对一（如）、一对一（如、）3 3映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4注意映射是有方向性的。5符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。6讲解：象与原象定义。再举例：1A=1,2,3,4 B=3,4,5,6,7,8,9 法则：乘2加1 是映射 2A=N+ B=0,1 法则：B中的元素x 除以2得的余数
2、 是映射 3A=Z B=N* 法则：求绝对值 不是映射（A中没有象）4A=0,1,2,4 B=0,1,4,9,64 法则：f ：a b=(a-1)2 是映射一映射观察上面的例图（2） 得出两个特点： 1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象 （单射） 集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 （满射）即集合B中的每一个元素都有原象。 从映射的观点定义函数（近代定义）： 1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A B 这里 A, B 非空。 2A：定义域，原象的集合 B：值域，象的集合（C）其中C B f：对应法则 xA yB 3函数符号：y=f(x) y 是 x 的函数，简
3、记 f(x)函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1 2。 3。 4 5 关于复合函数设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。 fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1 gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11 例：已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1) 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式
4、时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求四、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。五、例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋
5、值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 1. 函数定义域的求法l 分式中的分母不为零；l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；l 指数式的底数大于零且不等于一；l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。l 正切函数 l 余切函数 l 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数yarccosx的定义域是
6、1, 1 ，值域是 0, ，函数yarctgx的定义域是 R ，值域是，函数yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) .注意，1. 复合函数的定义域。如：已知函数的定义域为（1，3），则函数的定义域。2.函数的定义域为,函数的定义域为,则函数的定义域为，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里： 已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域；或者说，已知函数的定义域为(3,4),则函数的定义域为_?2. 函数值域的求法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一
7、下吧.（1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例 求函数的值域（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数的值域。（3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数值域。,分母不等于0,即5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的
8、就是三角函数的单调性。例 求函数，的值域。10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数的值域三 基本函数的值域1、一次函数的值域为R； 2、二次函数； 3、反比例函数的值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是 四 求函数值域的方法1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1. 的值域；例2. 求 的值域； 、换元法： 形如；例3. 求函数的值域 4、判别式法：形如；例4 求函数的值域； 、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域
9、来确定原函数的值域。形如的函数用反函数法求值域；例 求函数y=值域。 、分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；例5求函数的值域； 、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，的值域 、数形结合法。例6求函数 （方法一可用到图象法） 一回顾与应用1若函数y=f(x)的值域是-2，3，则函数y=f(x)的值域是 （ ） A-2，3 B2，3 C0，2 D0，32函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是 .3函数的值域为 4定义域为R的函数
10、y = f(x)的值域为a，b，则f(x+a)的值域为 （ ）A2a，a+b B0，b-a Ca，bD-a，a+b5若函数f(x)=的值域是-1，1，则函数f 1(x)的值域是（ ）A B -1,1 C D 6函数y=x+的值域是 （ ） Ay|y By|y Cy|y0 Dy|y0 二题型举例1求下列函数的值域：（1） （2）2已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。3已知函数的定义域为R.(1) 求实数m的取值范围。 （2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。三课后练习1函数的值域是 ；函数的值域是 。2函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是 。3若函数的值域为R，则k的取值范围是（ ）A 0k1 B 0k1)，求b的值。7已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求f(x)的值域。 （2）若x-2,1时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。 8 旭日东升辅导中心专题
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