梁的弯曲应力

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1、- 31 -梁的弯曲应力第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有 弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正 应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分 布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面 的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截 面上的正应力6相关，而剪力只与剪应力 T相关。本章研究正应力6和剪应力T的 分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行 计算。并简要介绍一点的应力状态和强度 理论。8.1 梁的弯曲正应力- # -平面弯曲情 况下，一般梁横 截面上既有弯矩 又有剪力，如图 8.1所示梁的 AC、DB段。而 在CD段内，梁 横截面上剪力等+15（0）图8. 1- 31 -于零，而只有弯矩，这种情

2、况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力 公式。应综合考虑变形几何关系、物理关 系和静力学关系等三个方面。8.1.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对n3中性层中件轴(c)图E 2称截面的矩形截面 梁，在其中段的侧 面上，画两条垂直 于梁轴线的横线 mm和nn，再在两 横线间靠近上、下 边缘处画两条纵线 ab和 cd,如图 8.2(a)所示。然后按图8.1(a)所示施加荷载，使 梁的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以 观察到图8 .2(b)情况:（1）梁表面的横线仍为直线，仍与 纵线正交，只是横线间作相对转动。（2）

3、纵线变为曲线，而且靠近梁顶 面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。（3）在纵线伸长区， 梁的宽度减小， 而在纵线缩短区， 梁的宽度则增加， 情况 与轴向拉、压时的变形相似。根据上述现象，对梁内变形与受力作 如下假设：变形后，横截面仍保持平面， 且仍与纵线正交； 同时，梁内各纵向纤维 仅承受轴向拉应力或压应力。 前者称为弯 曲平面假设；后者称为单向受力假设。根据平面假设，横截面上各点处均无 剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不 存在剪应力。根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸 长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区， 其间必存在一长度不变的过渡层， 称为中 性层，如图8.2（c）所示。中性层与横截面 的交

4、线称为中性轴。 对于具有对称截面的 梁，在平面弯曲的情况下， 由于荷载及梁 的变形都对称于纵向对称面， 因而中性轴必与截面的对称轴垂直综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面 保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并绕 中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均 处于单向受力状态。胡I d市1图8. 3根据平面假设从梁中截取一 微段dx,取梁横截 面的对称轴为y轴， 且向下为正，如图8.3 (b)所示，以中性 轴为y轴，但中性 轴的确切位置尚待确定变形前相距为dx的两个横截面，变形后 各自绕中性轴相对旋转了一个角度 de， 并仍保持为平面。中性层的曲率半径为P，因中性层在梁弯曲后的长度不变， 所 以。心二;?d

5、= dx又坐标为y的纵向纤维ab变形前的 长度为ab = dx 二:?d ：变形后为- 5 - 31 -故其纵向线应变为( y)d审一:P ： y图8. 4_ WP P(a)可见，纵向纤维的线 应变与纤维的坐标y成正 比。2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态, 当应力小于比例极限时，由胡克定律知打=E ；将(a)式代入上式，得(b)这就是横截面上正应力变化规律的 表达式。由此可知，横截面上任一点处的 正应力与该点到中性轴的距离成正比，而 在距中性轴为y的同一横线上各点处的 正应力均相等，这一变化规律可由图 &4 来表示。3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由

6、 于中性轴的位置与中性层曲率半径的大 小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的 大小。这些问题需再从静力学关系来解 决。如图8.5所示，横截面上各点处的法 向微内力(7 dA组成一空间平行力系，而 且由于横截面上没有轴力，仅存在位于 x-y平面的弯矩M，因此，MF n = a 匚 dA = 0(C)M y = *Z： dA = 0(d)M z =人 V dA 二 0(e)以式(b)代入式(c)，得(f)A：dA =三 A ydA = 0PA严yzdA 二 0上式中的积分代表截面对Z轴的静 矩Sz。静距等于零意味着z轴必须通过截 面的形心。以式(b)代入式(d)，得(g) 式中，积分是横截面对y和z

7、轴的惯 性积。由于y轴是截面的对称轴，必然有I yz=0,所示上式是自然满足的。 以式(b)代入式(e),得M = y；：dA = E y2dA(h)式中积分y2dA 二 I zA(i)是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是，(h) 式可以写成1 M7 = ETZ(8.1)此式表明，在指定的横截面处，中性 层的曲率与该截面上的弯矩 M成正比， 与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，Elz 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故 Elz称为梁的抗弯刚度。再将式(8.1)代入式(b)，于是得横截面 上y处的正应力为（8.2） 此式即为纯弯曲正应力的计算公式。 式中 M 为横截面上的弯矩； Iz 为截面

8、对中性轴 的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距 离。当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故 产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应 力；弯矩为负时，则与上相反。在利用 （8.2）式计算正应力时，可以不考虑式 中弯矩 M 和 y 的正负号， 均以绝对值代 入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁 的变形来判断。应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的 情况下，以矩形梁为例建立的， 但对于具 有纵向对称面的其他截面形式的梁， 如工 字形、 T 字形和圆形截面梁等仍然可以 使用。同时，在实际工程中大多数受横向 力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯 矩，但对一般细长梁来说， 剪力的存在对 正应力分布规律的影响很小。 因此，（

9、8.2） 式也适用于非纯弯曲情况。& 1.2 最大弯曲正应力由式（8.2）可知，在y=ymax即横截在 由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最 大，其值为宀 MMmax 一 y max1 zI zy max式中，比值Iz/ymax仅与截面的形状 与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗 弯截面模量。用 Wz表示。即为W亘（8.3）ymax于是，最大弯曲正应力即为M f = W（&4）可见，最大弯曲正应力与弯矩成正 比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系 数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯 曲正应力的影响。- 13 -(a)d(b)图8, 6图8.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为w6(8.5)

10、Wz二d332(8.6)而空心圆截面的抗弯截面系数则为Wz二 D332(8.7)式中a=d/D，代表内、外径的比值。至于各种型钢截面的抗弯截面系数， 可从型钢规格表中查得(见附录)。例8.1图8.7所示悬臂梁，自由端 承受集中荷载F作用，已知：h=18cm， b=12cm，y=6cm, a=2m, F=1.5KN。计算A截面上K点的弯曲正应力图8. 7解先计算截面上的弯矩Ma - -Fa - -1.5 2 - -3kNm截面对中性轴的惯性矩Iz 12bh3120 180 5.832 107mm412则二k60 = 3.09MPaIz 5.832 10A截面上的弯矩为负，K点是在中 性轴的上边，

11、所以为拉应力。8.2平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变 形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。 反映截面形状和尺寸的某些性质的一些 量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇 到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性 矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何 性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知 道截面的一些几何性质。现在来讨论截面 的一些主要的几何性质。8.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为yc和zc（ C为 截面形心），将面积得每一部分看成平行 力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根 据合力矩定理可得形心坐标公式AzdAA ydAZC , yc 二（a）静矩又称面积矩。其定义如下，在图 8.8中

12、任意截面内取一点 M （z,y），围绕 M点取一微面积dA，微面积对z轴的静 矩为ydA，对y轴的静矩为zdA，则整个 截面对z和y轴的静矩分别为：图&8S z = A ydAS yAZdA(b)有形心坐标公A ydA 二 AyezdA = AzeA知：(c)Sz = A ydA = AyeSy 二 AzdA 二 Aze上式中yc和zc是截面形心C的坐 标，A是截面面积。当截面形心的位置已 知时可以用上式来计算截面的静矩。从上面可知，同一截面对不同轴的静 矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的 单位是长度的立方，用m3或cm3、mm3 等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴 的静矩为零。当截面由几

13、个规则图形组合而成时， 截面对某轴的静矩，应等于各个图形对该 轴静矩的代数和。其表达式为nSz = Ai yii彳(d)-15 -Sy 二Aizi(e)而截面形心坐标公式也可以写成 为A yi%= 、A(f)迟A乙* = A(g)8.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理在图8.8中任意截面上选取一微面积dA，则微面积dA对z轴和y轴的惯性矩 为z2dA和Y2dA。则整个面积对z轴和y 轴的惯性矩分别记为Iz和ly,而惯性积 记为Izy，则定义：2IzAy dA,ly =.AZ2dA(h)Izy = AzydA(i)-15 - 31 -极惯性矩定义为:l,= A2dA= A(z2 y2)dA =

14、lz ly(j)从上面可以看出，惯性矩总是大于 零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可 以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯 性矩的单位都是长度的四次方，用m4或 cm、mm等表示。同一截面对不同的平行的轴，它们的 惯性矩和惯性积是不同的。同一截面对二 根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同，但 它们之间存在一定的关系。下面讨论二根 平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。图8.9所示任意截面对任意轴对zb a 蠶图8. 9轴和y轴的惯性矩、 惯性积分别为2、Iy 和“ y。过形心C有 平行于z、y的两个 坐标轴z和y，截面对 z、y轴的惯性矩和惯 性积为lz、ly和Izy。对Ozy坐标系形 心坐标为C(

15、a,b )。截面上选取微面积dA， dA的形心坐标为- 23 -z = z ay = y b则按照惯性矩的定义有2 2ly，,2dA= A(z a)dA2 2二 z2dA 2a zdA a2 dAA A-A上式中第一项为截面对过形心坐标 轴y轴的惯性矩；第三项为面积的a2倍; 而第二项为截面过形心坐标轴 y轴静矩 乘以2a。根据静矩的性质，对过形心轴 的静矩为零，所以第二项为零。这样上式 可以写为2ly lyC a A同理可得:IzTzc b2A(k)IzcycabA也就是说，截面对于平行于形心轴的惯性矩，等于该截面 对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴 间距离的平方；而截J一50D-500-

16、CjJcIitno o卜b02007|r%亍(m)图 8. 10面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积，等于该面积对过形心二轴的惯 性积再加上面积乘以相互平行的二轴距 之积。这就是惯性矩和惯性积的平行移轴 定理。例8.2计算图8.10所示T形截面 的形心和过它的形心z轴的惯性矩。解(1)确定截面形心位置选参考坐标系ozy ，如图8.10所 示。将截面分解为上面和下面两个矩形部 分，截面形心C的纵坐标为Ai y iA1 yc 1 A2 yC 2“、A2 21000 10850 1600 104002600 02二 573mmZc = 0(2)计算截面惯性矩上面矩形与下面矩形对形心轴惯性矩分别

17、为13294Iz1 1000 1003 1000 100 277 7.75 109mm4 1213294Iz2 200 800800 200 173 =13.32 10 mm12lz =lz1 lz2 =21.1 109mm48.3梁的弯曲剪应力当进行平面弯曲梁的强度计算时，一 般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算的 主要因素，但在某些情况上，例如，当梁 的跨度很小或在支座附近有很大的集中 力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪 力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截 面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪 应力就不能忽略了。下面介绍几种常见截 面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。8.3.1矩形截面梁

18、的弯曲剪应力 图 81 11图8.11(a)所示矩形截面梁，在纵向 对称面内承受荷载作用。设横截面的高度 为h，宽度为b，为研究弯曲剪应力的分 布规律，现作如下假设：横截面上各点处 的剪应力的方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。有相距dx的横截面从梁 中切取一微段，如图8.12(a)。然后，在横截面上纵坐标为y处，再用一个纵向截 面m-n，将该微段的下部切出，如图 8.12(b)。设横截面上y处的剪应力为t , 则由剪应力互等定理可知，纵横面m-n上的剪应力t在数值上也等于T。因此， 当剪应力T确定后，T也随之确定。如图8.12(a)所示，由于存在剪力Fq, 截面1-1与2-2的弯矩将不相

19、同，分别为 M和M+dM因此，上述两截面的弯曲正应 力也不相同。设微段下部横截面m与n2的 面积为3 ,在该两截面上由弯曲正应力所 构成的轴向合力分别为 N与N2，则由微 段下部的轴向平衡方程工x=0可知，.bdx = bdx = Ni -N2由此得Ni N2T =bdx(a)Nr =；dA =I由图8-12(c)可知z3对Z轴的静矩，并用Sz式中，积分代表截面表示，因此有Ni止Iz(b)(M dM)Sz (M FQdx)Sz(c)将式(b)和式(c)代入式(a)，于是得I zb(8.8)式中：Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距;*而Sz则代表y处横线一侧的部分截面对匚y2)z轴的静距。对

20、于矩形截面，如图 8.13 所示，其值为Sz =b(y)挖 y)=2(4将上式及lz=bh3/12代入式(8.8)得00彫b/2b/2yh/2(a)卄h/20y(b)T fmaz图 8, 13%电)2bh h(8.9)由此可见：矩形截面梁的弯曲剪应力 沿截面高度呈抛物线分布(图8.13)；在截 面的上、下边缘(y諾)，剪应力T =0；在 中性轴(y=0),剪应力最大，其值为T =3电max2 bh(8.10)8.3.2工字形截面梁的弯曲剪应力工字形截面梁由腹板和翼缘组成。其 横截面如图8.14所示。中间狭长部分为 腹板，上、下扁平部分为翼缘。梁横截面 上的剪应力主要分布于腹板上，翼缘部分 的剪

21、应力情况比较复杂，数值很小，可以 不予考虑。由于腹板比较狭长，因此可以 假设：腹板上各点处的弯曲剪应力平行于 腹板侧边，并沿腹板厚度均匀分布。腹板 的剪应力平行于腹板的竖边，且沿宽度方 向均匀分布。根据上述假设，并采用前述 矩形截面梁的分析方法，得腹板上y处的 弯曲剪应力为：FqSzT =Izb式中,Iz为整个工字形截面对中性轴Z的惯性矩， Sz*为y处横线一侧的部分截面对该轴的 静矩，b为腹板的厚度。-24 -匚 k1HH.L 亠亠1y| Mb| , | ya| | yd|,| 因此| b a| | b d|即梁内的最在弯曲压应力b c,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉 应力 b

22、t,max, 究竟发生在b点处，还是c 点处，则须经计算后才能确定。概言之， a,b,c三点处为可能最先发生破坏的部 位。简称为危险点。(2)强度校核。由式(8.2 )得a,b,c三点处的弯曲正应 力分别为晋严 10 W9.8MPa8.84 106mm4M d yb= 28.3MPaM bYc= 33.6MPa由此得%,max a =59.8MPa ： jmax c =33.6MPa V & 】可见，梁的弯曲强度符合要求。例8.5悬臂工字钢梁AB图8.18(a), 长1=12m，在自由端有一集中荷载F，工字钢的型号为18号，已知钢的许用应 力a=170Mpa，略去梁的自重，(1)试计 算集中荷

23、载F的最大许可值。(2)若集中 荷载为45 kN，拭确定工字钢的型号。解(1)梁的弯矩图如图8 18(c)所 示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值Mmax=FI=1.2FNm由附录中查得，18号工字钢的抗弯 截面模量为Wz=185x 103mm3由公式(8.16)得61.2F54 106 Nmm170MPa-3.18 105mm3 =318cm3查附录可知，22b号工字钢的抗弯截 面模量为325cm3 ,所以可选用22b号工 字钢。例8.6例8.5中的18号工字钢悬臂 梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN。已知钢材的抗 剪许用应力t =100Mpa。试按剪应力校 核

24、梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的 剪应力分布图，并计算腹板所担负的剪 力 Fqi。解(1)按剪应力的强度校核。截面上的剪力Fq =26.2kN。由附录 查得18号工字钢截面的几个主要尺寸如 图8.佃(a)所示，又由表查得44 lzIz=166QX 10 mm ,- =154mm由公式(517),得腹板上的最大剪应力T maxFqIzSz)d26.2 汉 103(154 10冷(6.5 10；)= 26.2 106(N/m2)-26.2MPa ：100MPa可见工字钢的剪应力强度是足够的10.7(b)k)图 8, 19(2)沿腹板高度剪应力的计算。将工字钢截面简化如图 8.19(b)所 示，图

25、中hi=1802 X10.7=158 6(mm)bi=d=6 5mm由公式(8.14)得腹板上最大剪应力的近似值为Fq26.2 灯03-max33hib (158.6 10 )(6.5 10 )= 25.4 106 N/m2 = 25.4MPa这个近似值与上面所得 26.2Mpa比 较，略偏小，误差为3.9%。腹板上的最 小剪应力在腹板与翼缘的连接处，翼缘面 积对中性轴的静矩为Sz=(94佶如10?(譽字)10-87.3 10，(m3)由公式(8.8)得腹板上的最小剪应力为-minFqSz= 21.2 106N/m2 =21.2MPa得出了 T max和T min值可作出沿着腹板高度的剪 应力

26、分布图如图8.19(C)所示。(3)腹板所担负剪力的计算。腹板所担负的剪力Fq1等于图&佃(C)所示剪力分布图的面积Ai乘以腹板厚度 bi。剪力分布图面积可以用图8.19(c)中虚 线将面积分为矩形和抛物线弓形两部分， 得6_32_3Ai =(21.2 10 )(158.6 10 )(158.6 10 )3(26.2 -21.2) 106 J- 3890 103(N /m)由此得FQ1 =仙 =25.3 103(N) =25.3kN可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力Fq的96.6%。8.5提高梁强度的措施max前面已指出，在横力弯曲中，控制梁 强度的主要因素是梁的最大正应力，梁的 正应力强度

27、条件-max为设计梁的主要依据，由这个条件可看出，对于 一定长度的梁，在承受一定荷载的情况 下，应设法适当地安排梁所受的力，使梁 最大的弯矩绝对值降低，同时选用合理的截面形状和尺寸，使抗弯截面模量 W值 增大，以达到设计出的梁满足节约材料和 安全适用的要求。关于提高梁的抗弯强度 问题，分别作以下几方面讨论。8.5.1合理安排梁的受力情况在工程实际容许的情况下，提高梁强度的一重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。例如，图8.20(a)所示简以梁, 承受均布载荷q作用，如果将梁两端的 铰支座各向内移动少许，例如移动0.21，如图8.20(b)，则后者的最大弯矩仅为前 者的1/5。lli-vlIJv

28、iSC15(a)图 8, 20又如，图8.21(a)所示简支梁AB，在 跨度中点承受集中荷载 P作用，如果在梁的中部设置一长为 1/2的辅助梁CD 如图8.21(b),这时，梁 AB内的最大弯 矩将减小一半。1/2rBCV4i MfFl/4(a)剛LI ll jmFpV8Ff70M(b图 8. 21上述实例说明，合理安排支座和加载方式，将显著减小梁内的最大弯矩。8.5.2选用合理的截面形状从弯曲强度考虑，比较合理的截面形 状，是使用较小的截面面积，却能获得较 大抗弯截面系数的截面。截面形状和放置 位置不同Wz/A比值不同，因此，可用比 值Wz/A来衡量截面的合理性和经济性， 比值愈大，所采用的

29、截面就愈经济合理。现将跨中受集中力作用的简支梁为 例，其截面形状分别为圆形、矩形和工字 形三种情况作一粗略比较。设三种梁的面积A、跨度和材料都相同，容许正应力为 仃0MPa。其抗弯截面系数 Wz和最大承 载力比较见表8.1。表8.1几种常见截面形状的Wz和最大承载力比较截面形状尺寸Wz最大承载 力圆形d = 87 .4mmA=602cm向 =65.5103mm3324 4 .5kN矩形Ahb IIII B IIm 6 i m 62Booobh233 10010 mm 66 8 .0kN工字钢血2 8bA=61 .0 5cm 25 3 4 X1330 mm3 83kN从表中可以看出，矩形截面比圆

30、形截好，工字形截面比矩形截面好得多从正应力分布规律分析， 正应力沿截 面高度线性分布，当离中性轴最远各点处 的正应力， 达到许用应力值时， 中性轴附 近各点处的正应力仍很小。 因此，在离中 性轴较远的位置， 配置较多的材料， 将提 高材料的应用率。根据上述原则，对于抗拉与抗压强度 相同的塑性材料梁， 宜采用对中性轴对称 的截面，如工字形截面等。 而对于抗拉强 度低于抗压强度的脆性材料梁， 则最好采 用中性轴偏于受拉一侧的截面，便如 T 字形和槽形截面等。8.5.3 采用变截面梁一般情况下，梁内不同横截面的弯矩 不同。因此，在按最大弯矩所设计的等截 面梁中，除最大弯矩所在截面外， 其余截 面的材

31、料强度均未得到充分利用。因此， 在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴线的变 化情况，将梁也相应设计成变截面的。 横 截面沿梁轴线变化的梁，称为变截面梁。如图8 .22 (a) (b)所示上下加焊盖板的 板梁和悬挑梁，就是根据各截面上弯矩的 不同而采用的变截面梁。如果将变截面梁 设计为使每个横截面上最大正应力都等 于材料的许用应力值，这种梁称为等强度 梁。显然，这种梁的材料消耗最少、重量 最轻，是最合理的。但实际上，由于自加 工制造等因素，一般只能近似地做到等强 度的要求。图8 .22 (c) (d)所示的车图 5,22辆上常 用的叠 板弹 簧、鱼 腹梁就 是很接 近等强度要求的形式8.6应力状态与强

32、度理论861 应力状态的概念以前有关各章中求的应力，是选过所 求应力点的横截面上的应力， 这样求得的 应力实际上是横截面上的应力。 但过一点 可以选取无数个斜截面。 显然斜截面上也 有应力，包括正应力和剪应力， 其大小和 方向一般与横截面上的应力不同， 有时可 能首先达到危险值， 使材料发生破坏。 实 践也给于了证明。如混凝土梁的弯曲破 坏，除了在跨中底部发生竖向裂缝外， 在 其它底部部位还会发生斜向裂缝。 又如铸 铁受压破坏，裂缝是沿着与杆轴成45。角 的地方向。 为了对构件进行强度计算， 必 须了解构件受力后在通过它的哪一个截 面和哪一点的上的应力最大。 因此必须研 究通过受力构件内任一点

33、的各个不同截 面上的应力情况， 即必须研究一点的应力 状态。为了研究某点应力状态， 可围绕该点 取出一微小的正六面体单元体来研究。 因单元体的边长是无穷小的量，可以认 为：作用在单元体的各个方面上的应力都 是均匀分布的；在任意一对平行平面上的 应力是相等的、且代表着通过所研究的点- 44 -并与上述平面平行的面上的应力。 因此单 元体三对平面上的应力就代表通过所研 究的点的三个互相垂直截面上的应力， 只 要知道了这三个面上的应力， 则其他任意 截面上的应力都可通过截面法求出，这 样，该点的应力状态就可以完全确定。 因 此，可用单元体的三个互相垂直平面上的 应力来表示一点的应力状态。图 8.23

34、 表示一轴向拉伸杆，若在任 意 A 两点处各取出一单元体，如选的单 元体的一个相对面为横截面， 则在它们的 三对平行平面上作用的应力都可由前面 的公式算出，故可以说 A 点的应力状态 是完全确定的。 其它点也是一样。 又如图 8.24 表示一受横力弯曲的梁， 若在 A、B、 C 、D 等点各取出一单元体，如单元体的 一个相对面为横截面， 则在它们的三对平 行平面上的应力也可有前面的公式算出， 故这些点的应力状态也是完全确定的。- # - 31 - 49 -图 8. 23图 8. 24根据一点的应力状态中各应力在空 间的不同位置，可以将应力状态分为空间 应力状态和平面应力状态。全部应力位于 同一

35、平面内时，称为平面应力状态；全部 应力不在同一平面内，在空间分布，称为 空间应力状态。过某点选取的单元体，其各面上一般 都有正应力和剪应力。根据弹性力学中的 研究，通过受力构件的每一点，都可以取 出一个这样的单元体，在三对相互垂直的 相对面上剪应力等于零，而只有正应力。 这样的单元体称为主单元体，这样的单元 体面称为主平面。主平面上的正应力称为 主应力。我们通常用字母（T 1、（T 2和63代 表分别作用在这三对主平面上的主应力， 其中61代表数值最大的主应力， 代表 数值最小的主应力，容易知道，在图8.23 中的点A及图8.24中的A、C两点处所 取的单元体的各平行平面上的剪应力都 等于零，

36、这样的单元体称为主单元体，主 平面上的正应力即为主应力。实际上，在受力构件内所取出的主应 力单元体上，不一定在三个相对面上都存 在有主应力，故应力状态又可分下列三 类：（1）单向应力状态。在三个相对面 上三个主应力中只有一个主应力不等于零。如图8.23中点A和图8.24中A C 两点的应力状态都属于单向应力状态。（2）双向应力状态（平面应力状态）。 在三个相对面上三个主应力中有两个主 应力不等于零。如图 &24所示B、D两 点的应力状态。在平面应力状态里，有时 会遇到一种特例，此时，单元体的四个侧 面上只有剪应力而无正应力，这种状态称 为纯剪切应力状态。例如，在纯扭转变形 中，如选取横截面为一

37、个相对面的单元体 就是这种情况。（3）三向应力状态（空间应力状态）。其三个主应力都不等于零。例如列车车轮 与钢轨接触处附近的材料就是处在三向 应力状态下，如图&25所示。通常我们也将单向应力状态称为简 单应力状态，而将二向应力状态及三向应 力状态称为复杂应力状态。要进行构件的强度分析，需要知道确 定的应力状态中的各个主应力和最大剪 应力以及它们的方位。求解的方法就是选 取一单元体，用截面法截取单元体，利用 静力平衡方程求解各个方位上的应力。具 体求法和相关规律可参阅相关资料。限于 篇幅，这里不再赘述。&6.2强度理论- 48 -各种材料因强度不足而引起的失效 现象是不同的。塑料材料，如普通碳钢

38、， 以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的 标志。 脆性材料， 如铸铁， 失效现象是突 然断裂。在单向受力情况下， 出现塑性变 形时的屈服极限（T s和发生断裂时的强度 极限T b,可由实验测定。T S和T b可统 称为失效应力。失效应力除以安全因数， 便得到许用应力 T ,于是建立强度条件 可见,在单向应力状态下, 失效状态 或强度条件以实验为基础是容易建立的。 因为一方面构件内的应力状态比较简单, 另一方面要用T T 接近这类构件受 力情况的试验装置求失效应力值比较容 易实现。实际构件危险点的应力状态往往不 是单向应力状态。 实现接近复杂应力状态 下的实验,要比单向拉伸或压缩困难得 多,有的

39、是很难用试验的办法来确定失效 应力的。况且,复杂应力状态中应力组合 的方式和比值, 又有各种可能。 如果像单 向拉伸一样, 靠实验来确定失效状态, 建- 49 -立强度条件，则必须对各种各样的应力状 态一一进行实验， 确定失效应力， 然后建 立强度条件。由于技术上的困难和工作上 的繁重，往往是难以实现的。经过人们大量的生产实践和科学试 验，人们发现，尽管失效现象比较复杂， 但经过归纳，强度不足引起的失效现象主 要有两种形式：一种是断裂，包括拉断、 压坏和剪断； 另一种是塑性流动， 即构件 发生较大的塑性变形，从而影响正常使 用。但是，要确定哪一种材料在达到危险 状态时必定是断裂或塑性流动， 那

40、一类构 件在达到危险状态时必定是拉断或是剪 断是不可能的。因为由同一种材料制成的 构件在不同的荷载作用下， 或者同一类构 件所处的荷载条件相同， 但材料不同， 所 达到的危险状态不一定都相同， 即失效的 情况不一定一样。 例如，低碳钢制成的构 件在单向应力状态下会发生明显的塑性 流动，即材料发生屈服， 但在复杂应力状 态下，有时会发生脆性断裂， 而无明显的 塑性流动。 又如受扭的圆杆， 若该杆由木- 50 -材做成，则沿纵截面剪断， 而由铸铁制成 时，则沿45o方向拉断。为了解决强度问题， 人们在长期的生 产活动中，综合分析材料的失效现象和资 料，对强度失效提出各种假说。 这些假说 认为，材料

41、之所以按某种方式失效， 是应 力、应变或变形能等因素中某一因素引起 的，可以根据材料受简单拉伸或压缩时达 到危险状态（失效状态） 的某一因素， 作 为衡量在复杂应力状态下达到危险状态 的强度准则， 由此建立起强度条件。 这些 假说通常称为强度理论。利用强度理论， 便可由简单应力状态的实验结果， 建立复 杂应力状态的强度条件。强度理论既然是推测强度失效原因 的一些假说， 它是否正确， 适用于什么情 况，必须由生产实践来检验。 经常是适用 于某种材料的强度理论， 并不适用于另一 种材料；在某种条件下适用的理论， 却又 不适用于另一种条件。下面只介绍了工程中常用的强度理 论及相应的强度条件。这些都是在常温、- 51 -