利用空间向量解立体几何

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1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1数量积：a-b，abcos2. 射影公式：向量a在b上的射影为a-bb3直线Ax+By+C,0的法向量为

2、A,B),方向向量为-B,A)4.平面的法向量(略)二、用向量法解空间位置关系1平行关系线线平行o两线的方向向量平行线面平行o线的方向向量与面的法向量垂直面面平行o两面的法向量平行2.垂直关系第1页共12页A线面垂直线与面的法向量平行(共面与异面)两线的方向向量面面垂直两面的法向量垂直3.点面距离AxBy00三、用向量法解空间距离1.点点距离点P（x,y,z）与Q（x,y,z）的111距离为PQ=222（x一x）2+（y一y）2+（z一z）22121212.点线距离求点P(x,y)到直线lAx+By+C=0的距离:00方法：在直线上取一点Q(x,y,则向量PQ在法向量n=(A,B,上的射影PQ

3、nn即为点P到l的距离.求点P(x,y)到平面a的距离：00方法：在平面a上去一点Q(x,y)，得向量PQ计算平面a的法向量n，计算PQ在a上的射影，即为点P到面a的距离.四、用向量法解空间角1.线线夹角(共面与异面)线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2.线面夹角求线面夹角的步骤:第2页共12页先求线的方向向量与面的法向量的夹角,为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角e,只要在两条异面直线a

4、,b上各任取一个向量AA和BB，则角=9或n-0，因为e是锐角,所以cos9二AABB,不需要用法向量。AABB1、运用法向量求直线和设平面a的法向量为n二（x,y,1），则直线AB和平面a所成的角9的正弦值为sin9-cos（兀-9）=Cos|-2ABnABn21一二面角两个面的法向量为n,n，则或口-是所求121212第3页共12页是所求还是n-是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距n设异面直线a、b的公共法向量为n（x,y,z），在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、b的距d=ABcosZBAA=|ABn1|n|略证：如图EF为a、b的公垂线段a为过F与a平行的直线

5、在a、b上任取一点A、B,过A作AAEF,交a于A则AAn所以ZBAA=（或其补角）异面直线a、b的距离d=ABcosZBAA=|ABn|InI其中n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b（或图中的AE,BF）,及n的定义得解方程组可得n。2求点到面的距离_求A点到平面a的距离设平面a的法向量法为n（x,y,1）,在an的坐标由n与内任取一点B则A点到平面a的距离为d=1ABn1InIa第4页共12页下同)。述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此7-3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n=(x,y,1),在直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B

6、,则直线a到平面a的距离d=1ABn1|n|4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、B的公共法向量法为n(x,y,1),在平面a、B内各任取一点A、B,则平面a到平面B的距离d=1ABn1,InI三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、B,两个面a、B的法向量为n,n,12则all,oa丄n1a丄,oalln1，丄on丄n12,onlln12四、应用举例:例1:如右下图,在长方体ABCDABCD中，已知AB=4,AD=3,1111AA=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.1(1) 求二面角CDEC的正切值；1(2) 求直线EC与FD所成的余弦值.11解

7、：(丨)以A为原点，AB,AD,AA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，1则D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、n丄DE，DE(3,3,0),设法向量n(x,y,2)蓼C1,3,2),FD(4,2,2)与平面CDE垂直，则有13x一3y031?2)n丄EC卜1/.n(1,向量AA(0,0,2)与平面CDE垂直,n与AA所成的角0为二面角C-DEC的平面角11nAA1x01x0+2x26CO01InIx|AAIk1+1+4x0+0+431.Ian0*：(|)设EC与)FD所成角为畀11COSp例2：ECFD11IEClx|FDI11如图，已知四棱锥

8、P-ABCD，底面ABCD是菱1x(4)+3x2+2x22132+22x(4)2+22+2214形，NDAB=60u,PD丄平面ABCD,PD=AD,点匚为AB中点，点F为PD中点。(1)证明平面PED丄平面PAB；(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证明：(1).面ABCD是菱形,ABD是等边三角形,.ZEDB=30o,ZBDC=60o,如图建立坐标系D-ECP,设AD二AB=1,P(0，0，1)，E(23，0PB=J-1),PE=第6页共12页ZDAB=6Oo,又E是AB中点，连结BDZEDC=9Oo,0)，(B(322,0)则PF=FD=1,231n丄PB(x,y,1)(2，2，i

9、)=0x，y，1=022彳nsnn彳n丄PE33-门(x,y,1)(,0,，1)=0x一1=0、220,1)A(0DC(x,量为1)yn=PED的一个法向量为2x=3DCn=0即DC丄n.I平面PED丄平面PAB1),设平面FAB的法向量为n=(x,y,1-1)，由(1)知：F(0,0,1),2FB=(23，1，22），FE=（3，0，2（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为n=（2,0,31），2由nFB1nn丄FE13(x,y,，1)(232-2)=0n(兀,-1)(2,0,，2)=031x22310x+=0221x=，3y=0n1=（一1,0,-1)3二面角P-AB-F的平面角的余弦

10、值cos9=|cos|-nn=1nn1=5714第7页共12页）求直线AP与平面BCCB所成的角的大小（结果用反三角函数值表11示）；（II）设0点在平面DAP上的射影是H,求证:1（III）求点P到平面ABD的距离.1解：（丨）如图建立坐标系D-ACD,1A(4,0,0),B(4,=(-4,4,1),4,0),P(0,显然DC=为平面BCCB的一个法向量11直线AP与平面息CCB所成的角8的正弦值sir帕二|cos|=1642+42+14334233.e为锐角,AD=(-4,0,4)1由n丄AB,n丄AD1得4x：4on=(1,0,直线AP与平面BCCB所成的角e为arcsin433例4：在

11、长、宽、高分别为2,2,3的长方体ABCD-ABCD中,1111是底面中心求A10与B1C的距离。第8页共12页1A(2,2,，殛C(0,2,0)解：如图，建立坐标系D-ACD,则0-AO(1,1,3)BC(2,0,3)11AB(0,2,0)11OAB设A与BC的公共法向量为n(x,y,1),则(331)n(1)22A0与BC的距离为11=|ABn|d11|n|(0,2,0)(2，汀I22丿/3丫(32丿311232211例5:在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E、F分别是BC、11CD11的中点，求A到面BDFE的距离。1解：如图，建立坐标系D-ACD，则11,1,0),A11,0,1

12、),E(1,1,1)2BD(1,1,0)BE(1,0,1)AB(0,1,1)1D1C1设面BDFE的法向量为n(x,y,1),A1n丄BDnn丄BE(x,y,l)(-1,-1(x,y,1)(1,0,1)乙，xy1nx+102x2y2An(2,2,1)B1、如图，已知正四棱柱ABCD-ABCD,AB=1,AA=2,点E为CC中点,1111112、已知正方形ABCD,边长为1,过D作PD丄平面ABCD,且PD=1,E、F分别是AB和BC的中点，(1)求D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离第10页共12页（如图）3、在长方体ABCD-ABCD中，AB=4,BC=3,CC=21111（1）求证：平面ABC/平面ACD；D1C11112）求（1）中两个平行平面间的距离（3）求点B到平面ABC的距离。111A1DB1C4、如图,四棱锥S-ABCD中，SD丄底面ABCD,AB/DC,AD丄DC,AB=AD=1，第11页共12页第12页共12页1*133(III)设平面ABD的法向量为n=(x,y,1),1AB=(0,4,0)