概率论与数理统计考试版

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1、P30.5. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从任取出一件，结果不是三等品，求取到一等品的概率为？解：P=0.6/(0.6+0.3)=2/37. 某保险公司把火灾保险的客户分为“易发”和“偶发”两类，该公司的统计资料表明“易发”客户占30%，一年内索赔的概率为10%；“偶发”客户占70%，一年内索赔的概率为2%，假设现有一客户向保险公司索赔，试分别求该客户为是“易发”和“偶发”客户的概率。解：记A表示投保的客户是偶发的客户；B表示客户向保险公司索赔的事件; 记C表示投保的客户是易发的客户：则：P（A）=0.7,P(C)=0.3,P(B|A)=0.02,P(B|C)=0.

2、1P(B)= P(B|A) P(A)+ P(B|C) P(C)=0.7x0.2+0.3x0.1=0.044同理：P(C|B)= P(B|C) P(C)| P(B)=003|0.044=5|22P42.3：将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息是A，问原发信息是A在概率是多少？解：以A记事件“收到信息为A”，以B记“传送信息为A”，记B的对立事件为C。P(B)=2/3,P(C)=1/3.P(A|B)=0.98,P(A|C)=0.01.则P(B|A)=P(A|B)P(B)

3、/P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)=196/197P43.6. 设某地区成年居民中肥胖者占10%, 不胖不瘦者占82%, 瘦者占8%, 又知肥胖者患高血压的概率为20%, 不胖不瘦者患高血压的概率为10%, 瘦者患高血压的概率为5%。试求：（1）此居民患高血压的概率。（2）从该地区任选一居民，发现此人是高血压病人，那么属于哪种体型的可能性最大？说出你的依据。解：患高血压概率P=0.10.2+0.820.1+0.080.05=0.02+0.082+0.004=0.106(2)高血压病人为肥胖者概率P(B)=0.02|0.106=10|53高血压病人为不胖不瘦概率P(C)=0.082|0

4、.106=41|53高血压病人为瘦者概率P(D)=0.004|0.106=2|53因此：属于不胖不瘦体型的可能性最大。P56.例2.P62.例3.P63,2.设随机变量X的概率密度为f（x）=Ae (-|x|) (-x +),求：（1）常数A；（2）P(-1X1)（1）-,+f(x)dx =-,0Aexdx+0,+Ae(-x)dx =A+A=1,则： A=1/2.（2）x=0时,F(x)=-,0(1/2)etdt+0,x(1/2)e(-t)dt =1/2+1/2-e(-x)/2 =1-e(-x)/2.代入P(-1X1)=F(1)-F(-1)=1-(1/2)(1/e)- (1/2)(1/e)=1

5、-1|e 3.试求：（1）常数a；（2）P（-1X0.5）；（3）X的分布函数F（x）（2）用积分（-1到0.5）3x2dx=1/8或者P（-1X0 F(x)=0 x=0试求：（1）X的概率密度函数（2）计算P（X3)解：（1）当x0时，F(x)=f(x)=( 1-e(-x2/2)=x e(-x2/2)当x0 f(x)= 0 x=0(2)P(x3)=F(3)= 1-e(-9/2)P71.5. 将温度调节器放置在存贮着某种液体的容器内，调节器设定在d，液体的温度X（单位：）是一个随机变量，且XN（d，0.52）（1）若d=90，求X小于89的概率；（2）若要保持液体的温度至少为80的概率不低于0

6、.99，问d至少是多少？解：（1）P（X89）=F（89）=（89-90）/0.5）=（-2）=1-（2）=1-0.9772=0.0228（2）由已知d满足0.99P（X80），即1-P（X80）1-0.01，P（X80）0.01（(80-d)/0.5）0.01=（-2.327）（(80-d)/0.5）-2.327d81.1635故d至少为81.1635P72.3某地抽样调查结果表明，考生的数学成绩（百分制）XN（72， 2）,且96分以上的考生占考生总数的2.3%，（1）考生数学成绩在60至84分之间的概率（2）5位同学中至少有一位同学成绩为60至84分的概率解：（1）因为F（96）=（96

7、-72）/）=1-0.023=0.9770=（2）所以=12；成绩在60至84分之间的概率：F（84）-F（60）=（(84-72)/1212）-（(60-72)/）=（1）-（-1）=2（1）-1=20.8413-1=0.6826（2）成绩不在60至84分之间的概率为1-0.6826=0.3174则5位同学中至少有一位同学成绩为60至84分的概率1- 0.31745=0.9968P77.6.P87.例2P109.3.若（X，Y）的分布律如下表所示，则a，b应满足关系为：a+b=1/3,若X与Y独立，则a=2/9 b=1/9 YX 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 a bP11

8、0.例1.P132.P141.A12. 设随机变量X的概率密度为f(x)=a+bx2,0x1;0,其他。已知E(X)=3/5，求：（1）a，b的值；（2）D（X）；解：B4. 随机变量X的概率密度为f(x)=a+bx，0x1/2)=5/8,求：（1）a，b.解: 密度函数f(x)=a+bx，那么分布函数 当0x1时，F(x)=1/2bx+ax+C(C是个待定的常数) 当x1时，F(x)=1 当x0时，F(x)=0 然后把x=0，1带入。F(0)=C=0，F(1)=1/2b+a=1 然后还有个条件Px1/2=1-Px1/2=1-F(1/2)=1-(1/8b+1/2a)=5/8 联立解得:a=1/

9、2，b=1P143.例1.P149.6. 设（X，Y）的联合分布律为： YX 0 1 0 0.3 0.21 0.4 0.1 求cov（X，Y），XY，D（X+Y）解：X，Y，XY的分布律分别为： X 0 1 P 0.5 0.5 Y 0 1 P 0.7 0.3 XY 0 1 P 0.9 0.1易知：E（X）=0.5，E（Y）=0.3，E（XY）=0.1，E（X2）=0.5，E（Y2）=0.3,D(X)= E（X2）- E（X）2=0.25,D(Y)= E（Y2）- E（Y）2=0.21,故：cov（X，Y）= E（XY）- E（X）E（Y）=0.1-0.15=-0.05XY=（cov（X，Y）/

10、D(X)D(Y)）=-21/21D（X+Y）= D(X)+ D(Y)+2 cov（X，Y）=0.25+0.21-（-0.05）x2=0.36P177.6. 设总体XN（0，1），从总体中取一个容量为6的样本(X1,X2.X6),令Y=（X1+X2+X3）2+（X4+X5+X6）2,试确定常数c，使得随机变量cY服从X2分布，并求该分布的自由度解：根据线性关系有：（X1+X2+X3）N（0,3），：（X4+X5+X6）N（0,3），所以 (1/3)*（X1+X2+X3)2X(1)(X是卡方分布符号)， (1/3)*（X4+X5+X6)2X(1)。 所以C=1/3.根据X2分布的可加性知其自由度为

11、2.2.设X1,X2，X3，X4是来自总体N（0，22）的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2 则当a=_1/20_,b=_1/100_时，X服从卡方分布，自由度为_2_.P179,三.1. 设X1,X2X9是来自正态总体N（0，22）的简单随机样本，求系数啊a，b，c，使Q=a（X1+X2）2+b(X3+X4+X5)2c(X6+X7+X8+X9）2服从卡方分布，并求其自由度。解：x1+x2N(0,8) x3+x4+x5N(0,12) x6+x7+x8+x9N(0,16) 由于x2分布定义为标准正态分布的平方和，因此a(x1+x2), b(x3+x4+x5), c(x6+x7+x8+x9)均服从N(0,1) 可得a=1/8, b=1/12, c=1/16 三个正态分布的和为3，因此自由度为3P181,例1.P205,2.设总体X服从0, 上的均匀分布，其中大于0为未知参数，X1,X2Xn为来自总体X的样本，则的矩估计量是-2X-（X为样本均值）。P206.解：矩估计：16