《数学概率论》PPT课件.ppt

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1、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量 第五节 两个随机变量的函数的分布,二维随机变量： 设E是一个随机变量,样本空间S=e, 设X=e和Y=e是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变量.,1 二维随机变量,X(e),S,e,Y(e),注:二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X 和Y有关,且 还依赖于两者的相互关系.,设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。,分布函数(联合分布函数),1) F(x,y)是变量

2、 x 和 y 的不减函数,即 对任意固定的y, 当x2 x1时,有F(x2, y) F(x1 ,y); 对任意固定的x ,当y2 y1时,有F(x, y2) F(x ,y1). 2) 0 F(x,y) 1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 . 3) F(x,y)关于 x右连续, 关于 y右连续, 4) 对于任意x1 x2 , y1 y2 ,有 F(x2, y2)-F(x2, y1)+ F(x1,y1)-F(x1,y2)0,分布函数F(x,y)的性质:,二维离散(X,Y)的分布律(联合分布律): (X,Y)的所有可能取值(xi , yj ),

3、i, j=1, 2,二维离散型随机变量:,(X,Y)的所有可能取值是可列队或可列无限多队.,满足,分布函数,例1 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.,1/4 0 0 0 1/8 1/8 0 0 1/12 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/16 1/16,返回,解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji.,例 某产品件,其中有件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数, 试求(X,Y)的分布律,(X,Y)的所有取值为(i, j), i,j=0,1

4、由乘法公式有,解,二维连续型随机变量,定义4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y), 若存在一个非负函数f (x, y)，使得对任意x, y ，有则称(X,Y)为二维连续型随机变量， f (x,y)称为(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度,性质,例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1) 确定常数C; (2) 求概率PX+Y 1; (3)求F(x,y),1,解 (1),D,当x y, 0 y 1时，,(3),当x0 或 y0 时, F(x,y) = 0,当x y1, 0 x1 时，,v=u,1,0,u,v,当y 1, 0 x 1时，,当 x 1, y 1 时，

5、,当x y, 0 y 1时，,(3),0, 当x0 或 y0 时,当x y1, 0 x1 时，,当y 1, 0 x 1时，,1, 当 x 1, y 1 时，,F (x,y) =,例4 设二维随机变量具有概率密度 求 ()分布函数F(x,y)；（）PXY解,设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,.Xn是定义S在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,.Xn )为定义在S上的n维随机向量或n维随机变量 对个任意实数x1,x2,xn ，令 称为n维随机变量(X1,X2,.Xn )的分布函数 类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质,概念的推广

6、：,定义1 设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y),2 边缘分布,一、 边缘分布函数,(X,Y)关于X的边缘分布函数,(X,Y)关于Y的边缘分布函数,注 边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函F(x,y)唯 一确定:,若(X,Y)分布律为,二 、 离散型随机变量的边缘分布律,(X,Y)关于X的边缘分布律,(X,Y)关于Y的边缘分布律,1,X,Y,例1,离散型随机变量的边缘分布律列表,三、 连续型随机变量的边缘概率密度,设(X,Y) 概率密度为f (x, y)，则,由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为,同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为,分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边

7、缘概率密度,均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若 (X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在域G上服从均匀分布,二维常见分布,例2 设(X,Y)在域 G: x2+y2 r2, y0上服从均匀分布，求其边缘概率密度.,例2 设(X,Y)在域 G: x2+y2 r2, y0 上服从均匀分布，求其边缘概率密度,x,解,o,x,y,-r,r,r,x,o,y,-r,r,r,o,x,-r,r,二维正态分布,设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,其中 是常数，且 ，则 称(X,Y)服从参数为的，记为,二维正态分布图,二维正态分布剖面图,即X和Y的边缘分布均为正态分布:,解,例 设 ,求(X,Y)的边缘概

8、率密度.,定义1 设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为,对固定i , 若,4.3 条件分布,对固定 j, 若,-在条件X=xi 下,随机变量Y的条件分布律,-在条件 Y=yj 下,随机变量X的条件分布律.,例1 将两封信随机往编号为1,2,3的三个信箱内投.以X表示第一个信箱内信的数目，Y表示第二个信箱内信的数目，求X和Y的联合分布律及条件分布律 解 据题意(X,Y)的所有可能取值为(i, j), i, j=0,1,0 1 2,Y,X,条件分布律用表格表示:,1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0,0 1 2,4/9 4/9 1/9,4/9 4/9 1/9,0 1 2,i

9、,1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 0 1 0 0,PX=i|Y=0 PX=i|Y=1 PX=i|Y=2,二连续型随机变量的条件分布,定义给定y，设对于任意的 0， 若对于任意实数x，极限 存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X的 条件分布函数,记为,或,类似可定义 .,设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度f(x,y)在(x,y)处连续，边缘概率密度fY(y) 连续， fy(y)0, 则 在条件Y=y的条件概率密度为: 类似可以定义 ，和,推导,(fY(y)0),(fX(x)0),返回,例2 设(X,Y)的联合概率密度如下，,对于任意给定的值x (0x1),在X=x条件下

10、,有,y,x,O,1,1,解,求条件概率密度.,对于y (0y1), 在Y=y条件下,有,特别：在Y=y=1/2条件下,有,y,O,1,1,4 相互独立的随机变量,定义 设F(x, y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数若对所有x, y ，有,X与Y相互独立的条件等价于:,(离散型),(连续型),则称随机变量X与Y是相互独立的.,定理 设随机变量X与Y相互独立,令 其中 为连续函数，则U与V也相互独立,两个重要结论：,二维正态随机变量 X与Y相互独立,图,例2 学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在79时,设两人到达的 时刻相互独立，求两人到达教室的时间

11、相差不超过5分钟 的概率.,解 设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻, 则,由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为,若对任意实数 ，均有,则称 相互独立.,推广:,设 n维随机变量 的分布函数为,设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y的分布函数为,5 二维随机变量的函数的分布,一、 Z=X+Y 的分布,Z=X+Y 的概率密度:,卷积公式,当X,Y 相互独立时,例1 设 XN(0, 1), YN(0, 1)且X与Y相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。,Z=X+YN(0,2).,解,(1) 若 且相互独立， 则 X+Y 仍服从正态分布，且,(2) 若 且相互独立， 则,一般结

12、论：,例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1,R2相互独立，它们的概率密度均为,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,例3 设X1, X2相互独立分别服从参数为1, ; 2, 的 分布, 即X1, X2的概率密度分别为,试证：X1 + X2服从参数为 1+2, 的分布.,注 函数:,例3 分布：若随机变量X的概率密度为,分布的性质： 若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互独立，则 X1 + X2 (1+2, ) .,注 函数:,则称X服从参数为, 的分布.记为 X(, ).,当 z 0 时,证：,A,亦即Z=X1+X2服从参数为1+2, 的分布,A的计算：,注 函数:,

13、若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为i, (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n, 的分布.,一般结论：,设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函 数分别为FX(x),FY(y). 求 M=maxX,Y及 N=minX,Y 的分布函数.,二、最大值、最小值的分布,对任意实数z,设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则 M=maxX1,X2,Xn与N=minX1,X2,Xn的分布函数分别 为,推广：,特别，相互独立且具有相同的分布函数F (x)时，有,例 5 设系统L由两个相互独立的子系统L组成,其寿命分别为X, Y 其概率密度分别为 其中0,0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联时 系统L的寿命Z的概率密度,解,(1)串联系统：此时有Z=minX,Y,(2) 并联系统：此时有Z=maxX,Y,