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1、2020年9月8日星期二,1,概率论与数理统计,*大学理学院数学系,伯努利（Bernoulli）,柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov),2020年9月8日星期二,2,第四章 随机变量的数字特征,问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解随机变量的分布函数外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。,考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。,例如： 在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量,在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。,2020年9月8日星期二,3,第一节 数学期望,一、离散型随
2、机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、数学期望的性质,2020年9月8日星期二,4,一、离散型随机变量的数学期望,定义：设X是离散型随机变量，其分布律为,若级数 收敛，,则称级数 为X的数学期望，,记为E(X).,即,例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X).,解：因为X的分布律为,所以,2020年9月8日星期二,5,例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次；（2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。假定对所有
3、人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。,解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-qk。对于方法（2），每个人的血需化验的次数X是随机变量，其分布律为：,2020年9月8日星期二,6,关于最佳k的选择：,例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次；（2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这
4、些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。,2020年9月8日星期二,7,几种常见的离散型随机变量的数学期望,1. 0-1分布的数学期望,E(X) =p.,2. 二项分布的数学期望,E(X) =np.,2020年9月8日星期二,8,2020年9月8日星期二,9,3. 泊松分布的数学期望,4. 几何分布的数学期望,2020年9月8日星期二,10,一维离散型随机变量函数的数学期望,定义：设X是离散型随机变量，其分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,对任一实值函数g(),例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X2).,解：,2020年9月8日星期二,11,
5、例：由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布N(,1),内径小于10或大于12的零件为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元)与零件的内径的关系为,问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?,解：因为X (,1)，所以,从而,2020年9月8日星期二,12,由销售利润L和X 的关系得,因为,2020年9月8日星期二,13,E(L)取最大值。,所以,即,故当 时，销售一个零件的平均利润最大,2020年9月8日星期二,14,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,二维离散型随机变量函数的数学期望,2
6、020年9月8日星期二,15,例：设(X,Y)的分布律为,求E (XY).,解：,2020年9月8日星期二,16,二、连续型随机变量的数学期望,定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).,若积分 绝对收敛，,则称级数 为X的,数学期望，,记为E(X).,即,例：设X的概率密度为,解：,求E(X).,2020年9月8日星期二,17,例：设X的概率密度为,解：,求E(X).,2020年9月8日星期二,18,例： 设随机变量X的密度函数为：,已知E(X)=2，试求a，b的值。,所以：a=1/4, b=1,2020年9月8日星期二,19,几种常见的连续型随机变量的数学期望,1. 均匀分布的数
7、学期望,2. 指数分布的数学期望,2020年9月8日星期二,20,3. 正态分布的数学期望,2020年9月8日星期二,21,一维连续型随机变量函数的数学期望,定义：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).,则有,例：设一根长度为1的木棍被在(0，1)上服从均匀分布的点X所截，求包含点p的那段木棍的期望长度，其中 0 p 1.,解： X的概率密度为,若积分 绝对收敛，,2020年9月8日星期二,22,令L(X)表示包含点p的那段木棍的长度，则有,于是,即当p=0.5时，期望长度EL (X)最大.,2020年9月8日星期二,23,例： 设随机变量XN(0,1)，求E(X2), E(X3),
8、E(X4).,解：,2020年9月8日星期二,24,例： 设长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。,解：设乘客于每时X分到达车站,候车时间为Y,则,于是,=10分25秒,2020年9月8日星期二,25,定义：设连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x,y).,二维连续型随机变量函数的数学期望,若积分 绝对收敛，,则有,2020年9月8日星期二,26,解：,例：设(X,Y) 的概率密度为,求E(Y), E(XY).,2020年9月8日星期二,27,解：,例：设(X,Y) 的概率密度为,求E(Y), E(
9、1/XY).,2020年9月8日星期二,28,2020年9月8日星期二,29,例：设(X,Y) 的概率密度为,求E(X-Y), E(XY).,解：,2020年9月8日星期二,30,三、数学期望的性质,1. E(C)=C, C为常数;,证明:,2. E(CX)=CE(X), C为常数;,3. 设X和Y是两个随机变量，则有,E(X+Y)=E(X)+E(Y).,证明:,2020年9月8日星期二,31,4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有,E(XY)=E(X)E(Y),证明:,2020年9月8日星期二,32,例：设XB(n, p)，求E(X).,解：设,其中,因此，每个 服从0-1分布，且有,
10、于是,2020年9月8日星期二,33,例：设N个人将他们的帽子抛向屋子的中央，将帽子 充分混合后，每人随机地从中取出一顶，求刚好拿到自 己帽子的人数的数学期望,解：设X表示帽子和人刚好配对的人数，则有,其中,因此，每个 服从0-1分布，且有,于是,2020年9月8日星期二,34,例：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立),解：令,从而,本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的 数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方 法具有一定的普遍意义。,2020年9月8日星期二,35,概率密度分别为,例：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且它们的,求E(XY).,解：因为X和Y相互独立，所以,2020年9月8日星期二,36,内容小结,2020年9月8日星期二,37,作业,习题A,
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