《数学数学期望》PPT课件.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,4.1 随机变量的数学期望；,4.2 随机变量的方差 ；,4.3 协方差和相关系数 ;,本章内容：,4.4 矩与协方差矩阵 .,分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.

2、v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,一. 数学期望(均值) 的定义,第一节 数学期望,直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能 取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。,例如， 1. 假定发生意外的概率是 0.001，则在购买保险的 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？ 2. 统计资料表明强烈地震的间隔服从参数 430 (天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？,引例 1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6

3、9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1.离散型随机变量的数学期望,引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出,问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？,解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。,分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分别为 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为,由于概率是频率的稳定中心，以 表示甲的平均击中环数, 则,故认为甲射手的水平较高。,由于,可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。,定义 设离散型随机变量X的概率分布为,PX

4、 = xk = pk ， k =1,2,3,若级数,，则称级数和,为随机变量 X 的数学期望（或均值），,记作E（X）,随机变量 X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求,否则，称随机变量的数学期望不存在,关于定义的几点说明,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,(3

5、) 数学期望 完全由随机变量 的概率分布所确定.若 服从某一分布也称 是这一分布的数学期望.,解 易知,例1 设随机变量X的分布列为,求,若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分,解. 以 X 记这个项目 的投资利润。,平均利润为： E X = 50.3 + 00.6 + ( 10)0.1 = 0.5， 而同期银行的利息是 100.02 = 0.2 ， 因此从期望收益的角度应该投资这个项目。,利润 5 0 10 概率 0.3 0.6 0.1,例4.1.2 假设某人有 10 万

6、元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔不赚，但有 10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？,例3 设XP(), 求 E(X).,解 X的分布律为,E(X)=,例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为,某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望,解 设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50 min，,该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分

7、布列为,对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二趟9:10开”发生的概率, 即,解 候车时间X的分布列为,从而该乘客候车时间的数学期望为,例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为,某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望,求随机变量X和Y的数学期望,于是有,解 由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为,例3 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为,定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为,则,证明 关于X的边缘分布为,于是有,同理可得,定义 设连续型随机变量X的

8、概率密度为f(x)，若积分,说明：如果积分 不收敛 ，则称随机变量X的数学期望不存在。,收敛，则称积分值 为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即,2. 连续型随机变量的数学期望,试证X的数学期望不存在,证 因为,例4 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为,即 不收敛，所以X的数学期望不存在,例4 设XU(a, b), 求 E(X).,E(X)=,例4.1.4 假定乘客在公交车站等车的 时间 X ( 分钟) 服从参数 0.2 的指数分布， p (x) = 0.2 e 0.2 x ， x 0 问这个人的平均等车时间是几分钟？,解. 平均等车时间即是数学期望 E X ，因此,即平均需要等待

9、5 分钟。,求X的数学期望.,例5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为,解 由已知可得,例: 由5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为,1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；,6,2) 若将5个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；,解： 的分布函数为,1) 由前面知 的分布函数为：,N的概率密度为：,7,并联的平均寿命是串联的11.4倍,8,2),例6 设二维连续型随机变量的概率密度函数为,解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为,求E（X），E（Y）,于是有,定理2 设二维连续型

10、随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f (x, y), 则有,于是有,证 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为,3. 随机变量函数的数学期望,定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是X的连续函数，则有,(1) 若 为离散型变量，其概率函数为,(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x), 如果积分 收敛,则有,例：设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量Y=X2的数学期望,上式可见,即一般的有,证明： 设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章5中定理的 条件，由第二章知道随机变量Y=g(X)的概率密度为,于是，E（Y）=,当,恒0时，E（Y）=,当,恒0时，E（Y）=,(3) 如

11、果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj = pij i,j =1,2,3,如果 则Z=g (X,Y)的数学期望为,(4) 设二维随机向量（X，Y）为连续型随机变量，它的联合概率密度为f(x,y),若 收敛, 则Z=g (X,Y)的数学期望为：,所以,其中,求,例7 设随机变量 ，,例6 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力 W=kV2, (k为常数), 求W的数学期望,解 风速V的概率密度为,例8 点随机地落在中心为原点，半径为R的圆周上，并对弧长是均匀分布，求落点横坐标的均值与方差。,例9 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设

12、乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,例12,解,因此所求数学期望为,例10 一次事故发生在一条长为L的道路上的点X服从均匀分布，在事故发生的时刻，救护车所在位置Y在这条道路上也服从均匀分布，假设X与Y相互独立，求事故发生点和救护车所在位置之间距离的数学期望。,例4 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,解,例8 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,求,解,求,求,解,例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，

13、则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?,解 设每年准备该种商品y t,得到平均利润为,则利润为,解,利润为,得到平均利润为,当y= 2400时， 取到最大值，故 每年准备此种商品2400 t，可使平均 利润达到最大,例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?,证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 PX=C=1，故由定义即得E(C)=C.,2. 设C为常数，X为随机变量，则

14、有E(CX)=CE(X),证 设X的密度函数为 ，则有,3. 设 为任意两个随机变量，都有,1. 设C为常数，则有E(C)=C,4. 数学期望的性质,进而有 E(kX+b)=kE(X)+b,3. 设 X, Y 为任意两个随机变量，都有,证 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,则,推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有,4. 数学期望的性质,4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有,证 因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度函数满足,推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，有,所以,EX1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立

15、，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,EX2 设随机变量,相互独立，且均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,例11理发店里有甲乙丙三个顾客，假定理发店对三个顾客的服务时间都服从参数为 的指数分布，对甲和乙立即开始服务，在对甲或乙服务结束后开始对丙服务，对每个人服务所需的时间是独立的。求丙在理发店的等待时间与逗留时间（逗留时间等于等待时间与服务时间之和）的数学期望,例3 若XB(n,p),求E(X),解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,上述两例中很难求得X的分布律,进而用定义求得X的期望. 在此考虑了别的方法, 将X分解成数个随机变量之和 X=

16、 , 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量期望之和来求,这种处理方法具有一定的普遍意义, 称之为随机变量的分解法(decomposition method).,例12 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车班车就不停设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X),解 随机变量,=10.920,这表明班车平均停车约9次,例4.1.14 10个猎人正等着野兔过来，当一群野兔走来时，他们同时开了枪，但他们每个人都是随机地、彼此独立地选择自己的目标，如果每个猎人独立地射中其目标的概率均为p

17、,试求当10只野兔走来时，没有被击中而逃走的野兔数的期望值.,解 随机变量,例13:将n只球放入M只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望。,例13将n只球(1至n号)随机地放进n只盒子(1至n号)中去，一只盒子装一只球，将一只球放入与球同号的盒子中称为一个配对，设X为配对的个数，求E(X),例： 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立， 以X表示同时需要调整的部件数。试试用下列两种方法求X的数学期望和方差. (1)利用X的分布律; (2)利用分解法.,例:一套仪器有n个元件，第i个元件发生故

18、障的概率为pi (i=1,2, ,n),问整套仪器平均有多少元件发生故障?,某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1/9，1/10 ，1/15 且各车是否发生事故相互独立，求 (1)获赔的概率； (2)一年内该单位的平均获赔金额.,例14（票券收集问题）假设有N种不同类型的票券，每次获得其中的一种票券，无论它属于哪种类型都是等可能的。（1）现获得n张票券，试求其中所含的不同类型数的期望值，（2）为获得每种类型至少有一张的整套票券，试求所收集的票券数的数学期望。,性质 4 的逆命题不成立，即,若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立,反例 1,p j,pi,附,但,解,试验证 ，但X和Y是不独立的,解,试验证 ，但X和Y是不独立的,所以,X的边缘密度函数,同理可得Y的边缘密度函数为,显然有 ，故X和Y是不独立的,1.离散型,2.连续型,3.Y= g(X),4.Y=g(X, Y),小 结,