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1、惠州市2015届高三第二次调研考试 数 学 试 题 (理科） 2014.10 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束
2、后，将答题卡一并交回参考公式：如果事件互斥，则 如果事件相互独立，则一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.1设集合，集合，则()A B C D2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3双曲线的实轴长是()A2 B2 C4 D44设向量，则下列结论中正确的是()A B C D与垂直5为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则()A BC D6. 设平面与平
3、面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知,满足约束条件，若的最小值为1，则()A. B. C D8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为()AB C D二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9已知，则不等式的解集为 10曲线在点处的切线方程为
4、 11展开式中的常数项为 12锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于 13在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为_（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分14（极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则_.15（几何证明选讲）如图所示，的两条切线和相交于点，与相切于两点，是上的一点，若，则_.（用角度表示）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本题满分12分）设向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值17（本题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况
5、，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量；（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率18（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值19（本题满分分）设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，有.20(本题满分14分)如图，已知椭圆：，其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂
6、线与轴和轴分别交于两点，且、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由21.（本题满分分）已知，函数.（的图像连续不断）（1）求的单调区间；（2）当时，证明：存在，使；（3）若存在均属于区间的，且，使，证明.惠州市2015届高三第二次调研考试 理科数学答案与评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ABCDDABB1【解析】本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握由，解得，所以，又，所以，故选A.2【解析】本题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，复数z在复平面上对应的点的坐标
7、为，位于第二象限3【解析】本题考查双曲线方程及其简单几何性质。双曲线方程可变形为，所以.4【解析】；，故垂直5【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即5.5,5出现的次数最多，故5，5.97于是得.6【解析】若，又，根据两个平面垂直的性质定理可得，又因为，所以；反过来，当时，因为，一定有，但不能保证，即不能推出.7【解析】本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数的几何意
8、义为直线l：在轴上的截距，知当直线l过可行域内的点时，目标函数的最小值为1，则。8【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分9 10 11 12 1314 15559【解析】本题考查分段函数的性质及一元二次不
9、等式的解法，意在考查学生的分类讨论及化归能力及运算能力由，可得或，解得，所以原不等式的解集为10【解析】本题考查导数的几何意义。考查考生的求导运算及求直线方程的能力。由，则.所以，即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0)，所以切线L的方程为. 一般方程为 .11【解析】本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力，令，得，故常数项为.12【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力由正弦定理得，可化为，又，所以，又为锐角三角形，得.13【解析】本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力设等比数列的公比为由可得即所以，所以，数列的前
10、项和，所以，由可得，由，可求得的最大值为12，而当时，不成立，所以的最大值为12.14【解析】由可得圆的直角坐标方程为，圆心点的直角坐标为，所以.15【解析】如图所示，连接，则.故，.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本题满分12分）解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由， . （1分） ， .（2分） 及，得. 又，从而， .（4分） 所以 .（6分） （2） ， .（9分） 当时， 所以当时，取得最大值1 .（11分） 所以的最大值为. .（12分）17（本题满分12分）解：(1)根据频率分布直方图可知，重
11、量超过505克的产品数量为(件) .（2分）(2)的可能取值为0,1,2. .（3分） .（4分） .（5分） .（6分）012PY的分布列为 .（7分）(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.（8分） 令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则， .（10分） 故所求概率为.（12分）18（本题满分14分）解：（1）证明：因为， 由余弦定理得. .（2分） 从而，故. .（3分） 面面，.（4分） 又 所以平面. .（5分） 故. .（6分）（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则， .（
12、8分）设平面PAB的法向量为，则即因此可取 .（10分）设平面PBC的法向量为，则可取 .（12分）则故钝二面角APBC的余弦值为. .（14分）注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分。其它方法酌情给分。19（本题满分分）解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力（1）（解法一） 依题意，又，所以 （2分） 当， ，两式相减得整理得 ，即， （6分）又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所
13、以所以 （8分）（解法二） ， ，得， .（2分） 猜想 .（3分） 下面用数学归纳法证明： （1）当时，猜想成立； （2）假设当时，猜想也成立，即 .（4分） 当时，= ，.（5分） 时，猜想也成立 .（6分） 由（1），（2）知，对于，猜想成立。 ，当，也满足此式，故 .（8分）（2）证明：当； （9分）当； （10分）当， （12分）此时综上，对一切正整数n，有 （14分）20(本题满分14分)解：（1）因为、构成等差数列， 所以，所以. （2分） 又因为，所以， （3分） 所以椭圆的方程为. （4分）（2）假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直 设方程为 （5分）将其代入，整理得
14、（6分）设，所以 故点的横坐标为所以 （8分）因为 ，所以 ， 解得 ，即 （10分）和相似，若，则 （11分）所以 ， （12分） 整理得 （13分） 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 （14分）21.（本题满分分）解：（1） .(1分)令，解得 .(2分)当变化时，的变化情况如下表：0递增极大值递减.(3分) 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.(5分)（2）证明：当时，由(1)知在内单调递增，在内单调递减令 .(6分)由于在内单调递增，故，即.(7分)取，则.所以存在，使，即存在，使 .（9分）(说明：的取法不唯一，只要满足，且即可)（3）证明：由及(1)的结论知，从而在上的最小值为， .(10分)又由，知 .(11分)故即 .(13分)从而 （14分）
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