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1、数学建模培训,一阶偏微分方程模型,2,偏微分方程的相关概念,偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶。如：,等。,如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线性的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的。,3,定解问题：定解条件通常包括边界条件和初始条件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解问题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。,方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，则称该函数为方程在该区域内的解（古典解）。满足某些特定条
2、件的解称为特解，这些条件称为定解条件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解。,4,一阶线性偏微分方程,一阶齐次线性偏微分方程,(1),显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。,以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为,(2),5,常微分方程组,(3),称为方程(2)的特征方程组，每一条积分曲线,称为方程(2)的特征线。,6,若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组(3)的一个首次积分。,若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为,则特征方程组(3)的通解为,7,例1. 求解方程组,解：由,得,，因此得到一个首次,积分为
3、,再由,得,，因此得到另一个首次积分为,于是原方程的隐式通解为,8,由(3)可得,(4),若(4)的一个首次积分为,的一个首次积分。,于是得到方程组(3)的一个等价形式：,，则它也称为(3),9,对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：,证明从略。,定理1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。,定理2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连续可微函数 是(2)的通解。,10,例2. 求解方程,解：特征方程组为,或,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,，其中, 为任意二元连续可微函数。,11,齐次线性偏微分方程的Ca
4、uchy问题,(5),其中 f 为已知函数。,例3. 求解Cauchy问题,12,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的通解为,，其中, 为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,13,于是,从而原Cauchy问题的解为,14,非齐次线性偏微分方程,(6),其中 f , g为已知函数。,其特征方程组为,将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分，从而得到通解。,15,一阶拟线性偏微分方程,(7),其特征方程组为,(8),以两个自变量的方程为例。,设其首次积分为,，则(7)的隐式,通解为,16,例4. 求解方程,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中
5、 为任意二元连续可微函数。,17,例5. 求解Cauchy问题,解：特征方程组为,首次积分为,于是原方程的隐式通解为,其中 为任意二元连续可微函数。,将该解代入初始条件，得,于是有,，解得,再由初始条件得Cauchy问题的解为,18,带年龄结构的线性人口发展模型,线性模型的建立,考虑一个稳定社会的人口发展过程。设人口数量不仅和时间 t 有关，还和年龄 a 有关。若人口数量很大，假设按年龄连续分布。以函数 p(a, t) 表示人口在任意时刻 t 按年龄 a 的分布密度，则在时刻 t，年龄在区间a, a+da中的人口数量为 p(a, t)da，因此在时刻 t 的人口总数为,19,若不考虑死亡，则在
6、时刻 t+t，年龄在a, a+a中的人口数量 p(a, t+t)a，应等于在时刻 t，年龄在区间at, a+at中的人口数量p(at, t)a，即,令t0，有,因此 p(a, t)应满足,20,但实际上必须考虑死亡的影响。设(a)是单位时间内年龄在a, a+da中的人口死亡概率，则在时间段t, t+dt内，从年龄在区间adt, a中的人口成长为年龄在区间a, a+dt中的人口的过程中死亡人数为,于是,或,将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有,21,这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。,(1),方程 (1) 对应的初始条件为 ，这里p0(a) 表示初始人口分布密度。,要给出方程 (
7、1) 所对应的边界条件 p(0, t)，就需要考虑人口的出生情况了。假设男女比例基本平衡，生育率为(a)，则在时间段t, t+dt内出生的婴儿总数为,22,另一方面，在时间段t, t+dt内出生的婴儿总数应等于时刻 t+dt 在年龄区间0,dt中的人数p(0, t+dt)dt，即,或,令dt0，则得到边界条件,方程 (1) 与初始条件、边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型：,23,(2),同样，可建立带迁移的人口模型：,(3),其中 f (a, t) 为迁移率。,24,利用特征线法结合积分变换法，可以得出模型(2)及模型(3)的解。我们来求解(2)。,(2)的特征方程组为,由 知(2)
8、的特征线为,于是,由 知,25,对任意 t 0，a 0，点(a, t)必位于某条特征线 上。,当C 0即 t a 时，特征线位于直线 a = t 下方，此时有 从而,积分，得,26,当C a 时，特征线位于直线 a = t 上方，此时有 从而,积分，得,综上，有,其中,(4),27,若,为已知函数，则(4)即为(2)的解。,将(4)代入,，得到关于 的一个积,分方程，利用积分变换法则可以求出它。,28,非线性模型的建立,我们再考虑环境对人口的影响。设,表示 t 时刻的社会总人口数。考虑到人口的生存与其总容量有关，一般可用 (a, t, N(t) 表示死亡率，用 (a, t, N(t) 表示年龄
9、为 a 的社会人口在 t 时刻平均单位时间内的平均生育率，即生育率。我们再考虑人口迁移因素，设 f (a, t) 表示 t 时刻年龄为 a 的社会人口在单位时间、单位年龄内的迁移人数，则有更一般的非线性人口发展系统：,29,(4),30,偏微分方程的傅里叶变换解法,傅里叶变换及其基本性质,若 f(x) 在-l, l分段连续可导(逐段光滑)，则 f(x) 在(-l, l)可以展开为Fourier级数：,其中,31,将系数代入，并设 f(x) 在(, )内绝对可积，则整理可得,令,则,称 g() 为 f(x) 的傅里叶变换，记为Ff；称f(x)为g() 的傅里叶逆变换，记为F1f。,32,性质1,
10、性质2,性质3,性质4,其中定义卷积,性质5,33,例 求解定解问题,关于x进行傅里叶变换，记Fu=U，F=，则有,其解为,傅里叶变换法求解偏微分方程,34,于是原问题的解为,而,故,35,偏微分方程的拉普拉斯变换解法,拉普拉斯变换及其基本性质,设 f(t) 在t0有定义，若积分 (s=+i为复变量， 0)在s的某一范围内收敛，则称,为f(t)的拉普拉斯变换，记为Lf；反之，称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为L1f 。,特别地，,36,性质1,性质2,性质3 记,性质4,其中定义卷积,性质5,，则,推论,37,例 求解定解问题,解：关于 t 进行拉普拉斯变换，记Lu=U，则有,其解为,拉普拉斯变换法求解偏微分方程,38,于是原问题的解为,
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