《复变函数吉大》PPT课件.ppt

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1、1,2,课程说明及考核办法, 课程说明 面向通信学院的必修课，40学时. 周学时3，实际授课13次左右. 学时所限，基本上按教材内容授课. 考核办法 课程结束后，统一组织考试. 成绩为百分制，无平时成绩.,3,第一章 复数与复变函数, 本章主要内容 复数的概念； 复数的性质，运算； 复平面点集及区域； 复变函数的定义、极限、连续.,4,第一节 复数极其几何表示, 复数的概念 由实数 x、y 和虚数单位 i 构成的数 z = x + i y 称为复数(Complex number). 全体复数记为C . i 称为虚数单位， i 2 = 1. x 称为复数的实部，记为 x = Re(z) y 称为

2、复数的虚部，记为 y = Im(z),5, y 0 时，又称z = x + i y为虚数， 若同时x = 0 称z = i y 为纯虚数. y = 0 时，称 z = x 为实数.R C . 两个复数相等是指它们的实部与虚部 分别相等.（与向量相等定义相同） 与实数不同，一般来说，任意两个复 数不能比较大小.（同向量的定义） 复数的历史(参考),6, 从复数 z = x + i y 的定义可知，复数是 由一对有序实数 (x , y) 惟一确定的., 于是可建立全体复数和xOy平面上的全 部点之间的一一对应关系., 称 xOy 平面的x 轴为实轴，y 轴为虚轴. 把和复数建立了一一对应关系的平面

3、称 为复平面或 z 平面., 复数的几何表示,7, 在复平面上，把复数 z = x + iy 和平面 点P(x , y)当作同义语。, 复数 z = x + i y 还可以用以原点为起点, P (x , y)为终点的向量 来表示., 向量的长度称为 z 的模或绝对值.,8,当z 0时，向量 与正实轴的夹角称 为复数的辐角，记为 则有,当z 0时，若1为复数 z 的一个辐角， 则1+2n 也是复数 z 的辐角，因此， 任何一个复数 z 0 都有无穷多个辐 角，记为,当z = 0时,z= 0，辐角不确定.,9, 满足 的辐角0称为Arg z的 主值，记作0 = arg z. 于是有, 复数的三角表

4、示式与指数表示式, 利用直角坐标与极坐标的关系,称为复数 z 的三角表示式.,10,利用欧拉公式： 又可以得到,称为复数的指数表示式.,复数的各种表示法可以相互转换，可 根据需要使用不同的复数表示式.,11,复数的运算,加法和减法,两个复数 ，,乘法,复数运算方法与多项式 (运算律)相同.,12,共轭复数,称 为 的共轭复数,共轭复数有下列性质,z 与 关于实轴对称.,13,复数除法,14,复数三角表示式与指数表示式的积商,设有两个非零复数 z1、z2.,乘法,15,定理 两个复数乘积的模等于它们模的 乘积, 两个复数乘积的辐角等于它们辐 角的和.,注意 由于辅角的多值性，上式中的等式是两个无

5、限集合意义下的相等，即对于Arg(z1z2)的任一值，一定有Argz1及Argz2的各一值与之对应，使得等式成立；反过来也是一样 .,16,除法,定理 两个复数商的模等于它们模的商， 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.,17,复数的幂,上式又称为棣莫弗公式 ( r = 1 ).,(n为整数),18,复数的方根,若复数 wn = z ，则称复数 w 为 z 的 n次 方根，记为 . 设,则有,19,复数 w 为 z 的 n次方根为, 可得到n个不同的值，在几何上， 这n个值是以原点为中心， 为半径的 圆的内接正n边形的n个顶点.,20,例题,已知 ，求z 的值.,解,列出各值(略),21,求方程

6、 的根.,解,列出各值(略),22,复球面及无穷大,复球面(参见教材，引入惟一无穷远点),无穷远点与无穷大,复平面上，与原点距离为无穷大的点， 我们称之为“无穷远点”，记为.,关于无穷远点，我们规定其实部、虚 部、辐角无意义，并且规定，复平面上 有惟一的“无穷远点” ， .,复平面加上无穷远点称为扩充复平面.,23,第二节 复变函数,区域的概念,邻域,复平面上，以 z0 为中心，以 0为半径 的圆的内部的点的集合 称为点z0的一个邻域,这里讲的定义, 本质上与高数中的相同.,24,内点与开集,设G为一点集，z0为G中的任意一点. 若存在点 z0 的一个邻域完全包含在G 内，则称 z0 为G的内

7、点.若G内的每个 点都是它的内点，则称G为开集.,区域,设点集D满足下列两个条件：D是开集； D是连通的，即D中任何两点都可以用 一条完全属于D的折线连接起来. 则称D为一个区域（连通的开集）.,25,与区域相关的几个概念,设D为一个区域，若点P的任意邻域内， 既有属于D的点，也有不属于D的点， 则称P为D的边界点.,区域D与它的边界一起构成闭区域或闭 域，记作 .,D的所有边界点称为D的边界.,若存在正数M, 使区域D的每个点 z 都满 足 ，则D称为有界区域，否则称 为无界区域.,26,区域举例,圆盘| z z0 | r 是无界区域，又是无穷远 点的一个邻域.,27,若 x(t) 和 y(

8、t) 是两个连续实变函数，则 x = x(t)，y = y(t) (a t b ) 代表一条平面连续曲线.,如果令,平面曲线的概念,那么这条曲线就可以用一个方程来表 示，称为平面曲线的复数表示式.,28,若在a t b上 都是连续的, 且 , 则称此曲线 为光滑曲线.,由几段光滑曲线连接而成的曲线称为按 段光滑曲线.,曲线C : z = z(t) (a t b) 为一条连续曲 线，z(a)与z(b )分别是C 的起点和终点. 对于满足a t1 b，a t2 b 的 t1和 t2， 当t1 t2而有z(t1) = z(t2)时，点z(t1)称为曲 线C的重点.,29,没有重点的连续曲线，称为简单

9、曲线.,起点和终点重合，即满足z(a) = z(b )的 简单曲线称为简单闭曲线 .,一条简单闭曲线C 把复平面分成两个区 域：一个是有界的，称为C的内部；另 一个是无界的，称为C的外部，C为它们 的公共边界.,设B为一区域，若属于B的任何简单闭 曲线的内部都属于B，则B称为单连通 区域.非单连通区域称为多连通区域.,30,复变函数的概念,复变函数 设G是一个复数集合.若对于G中的每 一个复数 z = x + i y，按照某一法则， 有复数 w = u + i v 与之对应，则称复数 w 是复变数 z 的复变函数, 记作w = f (z)., G称为复变函数f (z)的定义域. 对应于G 中所

10、有z 的一切 w 值所构成的集合称为 复变函数f (z)的值域.,31,若z的一个值对应着w的一个值，则称 f (z)为单值函数. 若z的一个值对应着w的两个或两个以 上的值，则称f (z)为多值函数. 如无特别声明，我们所讨论的函数都 是指单值函数. 设 z = x+iy, w=u+iv, 则函数w= f (z)变为 w= f (z) = f (x+iy)= u(x,y)+iv(x,y) = u+iv 所以，一个复变函数w= f (z)，就相当于 两个二元实变函数 u=u(x,y)，v= v(x,y).,32,举例 若w = z2，则由 z = x + iy , w = u + iv , 得

11、 u + iv = ( x + iy )2 = (x2 y2 ) + i (2xy) 因而 w = z2 相当于,33,在高等数学中，常常把实变函数用几 何图形来表示，利用几何图形来帮助 我们理解和分析函数的性质. 对于复变函数，由于它反映了两对变 量u、v 和x、y 之间的对应关系, 因此 就不能用同一个平面内的几何图形来 表示复变函数，需要通过两个复平面 上的点集之间的对应关系来表示复变 函数.,映射,34,若用z平面上的点表示自变量z，用w平 面上的点表示函数w , 这样函数w=f (z) 在几何上, 可以认为是定义域在 z 平面 上的点集G 到值域在w平面上点集f (G) 上的映射.

12、若G中的点 z 被w=f (z)映射成f (G)中的 点w，则称w为z的象，称z为w的原象.,35,和实变函数一样，复变函数也有反函 数的概念. 设函数w = f (z) 的定义域为G，其值域 为f(G), 则对于f (G)中的每一点w必有G 中的一个或几个点z与之对应. 这样在 f (G) 上就确定了一个函数 z = (w) 称它为w = f (z)的反函数.,反函数,36,复变函数的极限,设w = f (z)在z0的某去心邻域内有定义， A是一个常数, 若对于任意给定的0, 存在0， 当0 z z0 时，有,则称A为f (z)当z 趋向于z0时的极限,记作,37,应该注意，定义中z 趋向于

13、z0的方式是 任意的，即不论 z 从什么方向，以何 种方式趋向于z0，f (z)都要趋向于同一 个常数 A.,38,极限的计算定理,设 则,定理的证明略(一个复变函数的极限是 两个二元实变函数的极限).,39,实变函数中关于极限的运算法则，对于 复变函数来说也成立.,极限的运算法则,定理: 若 ,40,复变函数的连续性,若 ，则称f (z)在 z0处连续，若f (z)在区域D内处处连续，则称 f (z)在D内连续., 处连续的充要条件是 在(x0 , y0)处连续.,41,连续函数的和、差、积、商为连续函数. 连续函数的复合函数为连续函数.,函数f (z)在曲线C上 z0 点处连续是指,在闭曲

14、线或包括曲线端点在内的曲线段 上连续的函数 f (z), 在曲线上是有界的， 即存在一正数M，在曲线上恒有,42,第二章 解析函数, 本章主要内容 复变函数的导数； 解析函数的概念； 函数解析的充要条件； 初等函数.,43,第一节 解析函数的概念,复变函数的导数,设函数 w = f (z) 定义在区域 D内，z0与 z0+z 均是 D内的点.若极限,存在，则称 f (z)在 z0可导，这个极限值 称为f (z)在 z0的导数，记作,44,注意，复变函数的导数的定义，虽然 在形式上和实变函数的导数的定义类 似, 但实质上却有很大的差别.,在复变函数的导数的定义中，在复平 面上 z 0 方式是任意

15、的；而在一元 实变函数的导数定义中，只要求x在 实轴上沿左与右两个方向趋于零. 因此 复变函数的导数要求更严格.,若f (z)在区域D内处处可导，则f (z)称 在D内可导.,45,例题,求 f (z) = z2 的导数.,解,46,对于复平面内的任意一点 z,由于上式的极限不存在，函数不可导.,函数的 f (z) = 的导数是否存在？,47,现在以两种特殊方式让 z 0，分别 计算极限值.,当z + z 沿 x 轴方向趋于z 时， 即 x 0 , y = 0时，则,当z + z 沿 y 轴方向趋于z 时， 即 x = 0 , y 0时，则,48,复变函数可导与连续的关系,和一元实变函数一样，

16、若函数w = f (z) 在z0处的可导，则f (z)在z0处必连续.,证明 由导数的定义有,49,即 f (z) 在z0处连续.,50,复变函数的求导公式,由于复变函数导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全相同，而 且极限的运算法则也相同. 因而实变函数中的求导法则都可以推广 到复变函数中来. 现将几个求导法则罗列于下,51,w = f (z)与z = (w)是互 为反函数的单值函数.,52,解析函数的概念,若函数 w = f (z) 在 z0 的某邻域内处处可 导，则称 f (z)在 z0 处解析.,若f (z)在区域D内处处可导，则称f (z)在 D内解析或称f (z)是D内

17、的解析函数.,函数在区域内解析与在区域内可导是两 个等价的概念. 函数在一点处解析和在一点处可导是两 个不等价的概念.函数在一点处可导， 不一定在该点处解析.,53,若f (z)在 z0 处不解析，则称点 z0 为函数 w = f (z)的奇点,函数解析性举例,函数 f (z) = z2在复平面上处处可导，所 以在复平面上是解析的.,函数 f (z) = 在复平面上处处不可导， 所以在复平面上处处不解析.,54,讨论函数 f (z) = z 2 解析性.,因为,55,若z = 0，则当 z0时上式的极限为零.,若z 0，令 z沿直线 y = kx 趋于零, 则,由 k 的任意性可知, 上式不趋

18、于一个确 定的值，即当 z0时，极限不存在.,56,所以函数 f (z) = z 2只在z = 0处可导， 而在其它点不可导.由解析的定义，它 在复平面内处处不解析.,因为 w 在复平面内除 z = 0 外处处可导,讨论函数 w = 解析性.,所以函数除z = 0 外处处解析； 而z = 0是它的奇点.,57,解析函数的运算,根据求导法则，不难证明如下结论,两个解析函数的和、差、积、商(除去 分母为零的点)都是解析函数. 解析函数的复合函数仍是解析函数.,由上述结论可知,所有多项式在复平面内是处处解析的.,58,任意一个有理分式函数(多项式的商) 在分母不为零的点处是解析的. 使分母为零的点是它的奇点.,59,