丛文龙版排列组合题型总结 站在巨人的肩膀上,稍作整理

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1、丛文龙排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。站在巨人的肩膀上，稍作整理。一 直接法、1 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位

2、有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252练习9由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（ ）A24个 B12个 C6个 D4个16（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字（1） 可组成多少个不同的自然数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？（3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？（4） 可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？（5） 可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？（6） 可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？解析：16（1）解：可组成6+5=46656个不同的自然数 （2）可组成个无重复数字的五

3、位数 （3）可组成个无重复数字的五位奇数（4）可组成个无重复数字的能被5整除的五位数 （5）可组成个无重复数字的且大于31250的五位数？（6）可组成个无重复数字的能被3整除的五位数？间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三

4、位数-=432（个）二 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。14名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（ ）A6A B3A C2A DAAA 5（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（B）1440种960种720种480种练习10、两男两女4个同学排成一

5、列照相，如果要求男女相间而立，则满足条件的方法数共有（）A4种 B8种 C12种 D6种 答案：B （注意）三 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：=576练习1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）2 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法

6、有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）20（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮20解：（1） （2） （3）=14021（12分）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；（48）(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；144(3)教师不

7、能坐在两端，且不能相邻四 闸板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？ 当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时 四者都相

8、加即可3不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的正整数解有（）4不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的自然数解有（ ）练习2有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）15、将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不少于该盒子的编号，则不同的放球方法共有_种（用数字作答）. 答案：91五 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，

9、故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种例24. 6本不同的书 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? (2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ (4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?512名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A B C D 练习：16本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两

10、个班，则分派方法的种数。六 合并单元格解决染色问题1345图1例7 （全国卷（文、理）如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论: ()当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 的全排列数 （）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法（）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法

11、由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）练习1（天津卷（文）将3种作物种植 12345 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120） 图3 图43如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图5：四个

12、区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5 图6 图75将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420） 19（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？七 递推法1.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想12步登

13、完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同

14、的方法。例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种（B）44种（C）36种（D）24种解：首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，

15、第个人不站在第个位置，所以有种站队方式。由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：，显然，再由递推关系有，故应选(B)九.几何问题 1四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29) (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有114例15正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 【

16、 共-12=70-12=58个】 （2）可以组成多少个四棱锥？（48个）十先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人33、（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理）现安排5人去三个地区做志愿者，每个地区至少去1人，其中甲、乙不能去同一个地区，那么这样的安排方法共有 种【答案：1149、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)某校高三级有三位数学老师，为便于学生询问，从星期一到星期五每天都安排数学教师值班，并且星期一安排

17、两位老师值班，若每位老师每周值班两天，则一周内安排值班的方案有 种. 答案：36例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？答案：361.安排三名老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有（210）种。2.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的分配方案（90种）。9.（湖北卷6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为D A. 540 B. 300 C. 180 D. 1503.将9个学生分配到甲乙丙三个宿舍，每个宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分配

18、方案（1130种）。例6在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 1856甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为 。428已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则符合这些条件的直线有 43 条。十一用转换法解排列组合问题（包括构造插空，捆绑；构造隔板；）例10某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解

19、 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20种例13. 马路上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 20种例12 从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。1.有3个相同的白球，4个相同的黑球，则能组成多少种不同的排法？（35）2.今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加区分，将9个球排成一列有（1260

20、）种4. 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）1. 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题=924（种）2.（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递方式有_22_种例7：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、

21、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有( A )（A）21种（B）42（C）24（D）273.6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题=126种例13 求（a+b+c）10的展开式的项数解 展开使的项为abc,且+=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题=66（种）例14 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比

22、赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a1,a2，,a5,欧洲队队员为b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）十二转化命题法例15 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的

23、15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）例16 圆周上共有n（n大于等于4）个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？十三概率法例17 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种十四除序法 例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77A

24、33=840种。答案：840种。 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）（2）十五错位排列例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1） n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排2）=n!(1-+-+例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种（B）44种（C）36种（D）24种练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）十六。圆桌问题20.8个人做圆桌共有多少组合？21.5个男孩，三个女孩围成一圈，其中三个女孩不相邻，则有多少种站法？21、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（ ）（A）24种（B）48种 （C）72种 （D）144种答案：C- 9 -