数学模型与数学建模4.4-差分方程模型ppt课件

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1、4.4 差分方程模型在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，这些模型往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。本节主要介绍几种常见的差分方程模型，即蛛网模型、减肥模型和差分形式的人口模型。4.4.1 4.4.1 差分方程及其平衡点的稳定性差分方程及其

2、平衡点的稳定性以 表示时间，规定 只取非负整数。表示第一期初，表示第二周期初等等。记 为变量 在时刻 时的取值，则称 为 的一阶差分，称 为 的二阶差分。类似地，可以定义 的 阶差分 。tt0t1ttyyttttyyy1ty2121()2tttttttyyyyyyy tytyntny由 、及 的差分给出的方程称为 差分方程，其中含 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 。ttytytyty02tttyyy012tttyyy满足差分方程的序列 称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时

3、，则称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。例如，考察二阶差分方程：。显然 与 均是它的特解，而 则为它的通解，其中 ，为ty02ttyysin/2tytcos/2tyt12sin/2cos/2tyctct1c2c任意常数。类似于微分方程，称差分方程 （4.4.1）为 阶线性差分方程，当 时称其为 阶非齐次线性差分方程，而 （4.4.2）称为方程（4.4.1）对应的齐次线性差分方程。011()()()()tntnntat ya t yat yb t n0)(tbn011()()()0t nt nnta t ya t ya t y 若（4.4.1）中所有的

4、 均为与 无关的常数，则称其为常系数差分方程，即 阶常系数线性差分方程可写成 （4.4.3）其对应的齐次方程为 （4.4.4）()ia ttn011()t nt nnta ya ya yb t 0110tntnnta ya ya y 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。下面主要介绍常见的几类差分方程平衡点及其稳定性判别方法。（1）一阶线性常系数差分方程 （4.4.5）,2,1,0,1kbaxxkk在式（4.4.5）中令 得到的代数方程 ，称该方程的根 称为差分方程（4.4.5）的平衡点。如果 时 ，则称平衡点

5、是稳定的，否则是不稳定的。由式（4.4.5）得:（4.4.6）xxxkk1baxx/(1)xbak xxkx0()1()1,1,2,kkkxa xbaak 即方程（4.4.5）的解可表为 （4.4.7）其中 由初始值 确定。显然，由式（4.4.7）可知差分方程（4.4.5）的平衡点稳定的充要条件是 （4.4.8）()1,1,2,kkxcabakc0 x|1a 一般地，对于 维向量 和 阶常数矩阵 构成的方程组 （4.4.9）其平衡点稳定的条件是 的特征根（）均有 （4.4.10）即特征值均在复平面上的单位圆内，这个结果可由将 化为对角阵（或Jordan矩阵）得到。n()kxnnA(1)()0k

6、kxAxAini,2,1 1|iA（2）二阶线性常系数差分方程 （4.4.11）该差分方程的平衡点为 ，设特征方程 的根为 和 ，则不难验证，方程（4.4.11）的通解可表示为 （4.4.12）02112kkkxaxax0 x0212aa12kkkccx2211其中常数 ，由初始条件 ，确定。由式（4.4.12）知，当且仅当 且 时方程（4.4.11）的平衡点才是稳定的。（3）非齐次线性差分方程 （4.4.13）方程（4.4.13）的平衡点的稳定性和方程（4.4.11）相同。1c2c0 x1x1|11|2bxaxaxkkk2112二阶方程的上述结果可以推广到 阶线性方程，即稳定平衡点的条件是

7、次代数方程的根 满足 （）。（4）一阶非线性差分方程 （4.4.14）方程（4.4.14）的平衡点 由代数方程 解出。为分析 的稳定性，将方程（4.4.14）的右nni1|ini,2,1)(1kkxfxx)(xfx x端在 点作Taylor展开，只取一次项，式（4.4.14）近似为 （4.4.15）则（4.4.15）是（4.4.14）的近似线性方程，也是（4.4.15）的平衡点。关于线性方程（4.4.15）的稳定平衡点的讨论已由（4.4.5）（4.4.8）给出，而当 时方程（4.4.14）与（4.4.15）平衡点的稳定性相同。x)()(1xfxxxfxkkx1|)(|xf于是得到当 时，非线性

8、方程（4.4.14）的平衡点 是稳定的；当 时，非线性方程（4.4.14）的平衡点 是不稳定的。1|)(|xfx1|)(|xfx4.4.2 4.4.2 个人住房贷款模型个人住房贷款模型个人住房贷款是指银行向借款人发放的用于购买自用新建住房的贷款，也称为个人住房按揭贷款。银行发放的个人住房按揭贷款数额，不高于房地产评估机构评估的拟购买住房的价值或实际购房费用总额的80%（以二者低者为准）。银行对于住房按揭贷款每月还款金额都有一套公式，但对于具体计算方法银行方面却很少给予详细的解释，所以很多人脑中都是一本糊涂账。目前商业银行常见的还款方式主要有等额本金还款法、等额本息还款法、双月供、到期一次还本付

9、息等。等额本金还款法是将借款总额按还款期数平均分配，每期归还本金数不变；等额本息还款法是指借款人每月以相等的金额偿还贷款，每月还款金额包括本月应还的本金和利息，在借款截止日期前全部还清本息。目前，个人住房按揭贷款绝大多数采用等额本金或等额本息还款法因此本节也主要针对这两种还款方式进行讨论。贷款年限：各个银行之间差别不大，最长期限为30年，每月还款一次。如贷款期限30年，每月还款一次，总共可分为360期进行分期还款。贷款利率：分为月利率和年利率，月利率=年利率 。个人住房贷款利率按照中国人民银行有关规定执行。根据中国人民银行2012年7月6日起执行12的贷款基准利率（见表4.4.1），5年以上的

10、商业贷款基准年利率是6.40%，则相应的月利率为5.33。贷款期间如遇中国人民银行调整利率，则贷款利率作相应调整。已发放的贷款，当年内不作调整，调整时间为下年度的1月1日，按照各档次利率执行新的利率规定。表表4.4.1 20124.4.1 2012年年7 7月月6 6日起执行的贷款基准利率日起执行的贷款基准利率每月还款金额：包括本金与当月利息，而当月的利息是上个月的剩余本金在本月内所产生的利息。贷款期限年利率（%）六个月以内（含六个月）5.60六个月至一年（含一年）6.00一至三年（含三年）6.15三至五年（含五年）6.40五年以上6.55模型模型1.1.等额本金还款模型等额本金还款模型等额本

11、金还款法，又称利随本清法、等本不等息还款法，就是借款人将贷款额平均分摊到整个还款期内，每期（月）归还，同时付清自上一个还款日至本次还款间的贷款余额所产生的利息的一种还款方式。设贷款额度为 ，月利率为 ，贷款期数（月）为 Arn第 期（月）应还款金额为 ，总利息为 ，第 期的利息为 ，第 期的应还本金为 。因为当月本金还款额=贷款本金/贷款期数（月数），即 ，则第 期应还款额相对于第 期而言，应减少了 ，即有差分方程 (4.4.16)ttyRttRttS/tSA nt1t/Ar n1ttyyA nr模型（4.4.16）为一阶线性常系数差分方程，其通解为 （4.4.17）也就是说，当月应还款额=每

12、月还款本金+当月利息 每月还款本金+剩余未还本金*月利率=应还本金+(贷款本金-已还期数*每月还款本金)*月利率.（4.4.18）1tyA nAtnA r1tRAtnAr而总利息 （4.4.19）等额本金还款法的优点在于不会产生所谓的复利，因为每个月本金所产生的利息均在下个月的还款日内全部偿还，但是由于一开始本金比较大，使得每个月的利息也很高，因此在还款初期每月所需要偿还的数额较大，但到后期随着本金减少，每期利息也随之减少，还款金额也将逐渐减少。111(1)2nntttRRAtnA rAr n模型模型2.2.等额本息还款模型等额本息还款模型等额本息还款法是指借款人每月以相等的金额偿还贷款本息，

13、每月还款金额包括本月应还的本金和利息，在借款截止日期前全部还清本息，但每月利息和本金所占的比例不同。由于每月还款额相同，显得相对简单、干脆，因此目前大部分借款人都采用这种还款方式。仍然设贷款额度为 ，月利率为 ，贷款期数为 ，总利息为 ，第 期的利息为 ，另外用 表示第 期尚欠银行的贷款额，第 期应还本金为 ，用 表示每期还款额，则第 期尚欠银行的贷款额到一个月后的本息之和为 ，则第 期仍欠银行的贷款额为 （4.4.20）ArnRttRtAtttSyt(1)tAr1t1(1)ttAAry该模型为一阶线性常系数非齐次差分方程，因为 ，所以可求解该差分方程，得到 （4.4.21）将 代入上式，得到

14、每期本息还款额为 （4.4.22）0nA 1(1)(1)tntAy rrr0AA(1)(1)1nnyArrr将式（4.4.22）代入式（4.4.21），得到 （4.4.23）则第 期的利息为 （4.4.24）且总利息=总还款额-总贷款额 （4.4.25）(1)(1)(1)1ntntAArrr t(1)(1)(1)1ntnttRArArrrr (1)(1)1(1)(1)1(1)1nnnnny A n ArrrA Anrrr 而 （4.4.26）可以看出，按照银行现行制度规定，等额本息还款法以复利方式计息，即所谓的“利滚利”，且银行在每月的还款额中，是先收取利息后收取本金的。等额本息法的特点是在整

15、个还款期内，每个月的还款额保持不变（遇调整利率除外），优点在于借款(1)(1)1tnttSyRArrr人可以准确掌握每月的还款额，容易记忆，省去许多麻烦。下面以借款人王先生的贷款信息来说明两种还款方法的差异性。王先生于2008年12月向银行申请了一笔住房贷款，贷款总额为30万元，贷款期限为30年（共360个月），年利率为5.94%，则相应的月利率为 。采用等额本息还款法和等额本金还款法，计算结果如表4.4.2所示。4.95r表表4.4.2 4.4.2 两种还款方法的还款结果（单位：元）两种还款方法的还款结果（单位：元）月份等额本息还款法等额本金还款法月还款额第i月归还利息第i月归还本金月还款额

16、第i月归还利息第 i月归还本金11787.101485.00302.102318.331485.00833.3321787.101483.50303.592314.211480.88833.3331787.101482.00305.092310.081476.75833.3341787.101480.49306.602305.961472.63833.3351787.101478.97308.122301.831468.50833.33 3591787.1017.561769.53841.588.25833.333601787.108.801778.29837.464.13833.33总计64

17、3354.34343354.34300000.00568042.50268042.50300000.00 由表4.4.2可以看出，贷款30万元，期限30年，在利率保持不变的条件下，等额本息还款法共需支付利息343354.34元，等额本金还款法利息为268042.50元，等额本金还款法少支付利息75311.84元，即等额本息还款要比相应的等额本金还款额外多支付28.1%的利息。另外，如果借款人在还款一段时间后资金充足想提前还款，等额本金还款法语等额本息还款法在还款总额上也同样有较大的区别。王先生与银行签订的房屋担保借款合同中第十八条规定（一般各商业银行的条款均大同小异）：“提前还款的贷款，应根据

18、本合同约定的利率和实际借用贷款的天数，按日计息，并按利息、本金的顺序结算。本合同中所指按日计息，即按贷款实际使用天数计息，其中日利息率=年利率/360”。王先生在还款10年（120期）后，手头资金比较充足，想将剩余贷款一次全部还清。为了简单起见，假设王先生在第120期还款后，立即到银行将剩余贷款全部还清，则上述两种还款方法各自所还金额如表4.4.3所示。表表4.4.3 4.4.3 提前还款条件下两种还款方法的还款结果提前还款条件下两种还款方法的还款结果结合表4.4.2，可以看出，无论是到期还款还是提前还款，等额本金还款法都比等额本息还款法节约很大一部分利息支出。产生这一结果的根本原因在于方法累

19、计已归还金额贷款本金余额总还款额等额本金还款法248747.50200000.00448747.50等额本息还款法214451.40250653.70465105.10对于等额本息还款法，银行在每月还款额中，总是先收取剩余本金利息，后收取本金。从表4.4.2可以看出，采用等额本息还款法，在还款初期，每月还款额中，利息占了绝大部分，本金减少的速度相当缓慢；到还款后期，随着本金的减少，在每月还款额中，利息占的比重才逐渐降低。随着利息在月还款额中的比例随剩余本金的减少而降低，本金在月还款中的比例因而升高，但月还款总额始终保持不变。但是等额本金还款法由于每月归还相同的本金，本金以相同速度递减，本金递减

20、速度相对于等额本息还款法要快，故能够减少利息支出。如果简单地从利息支出的角度去看，等额本金还款法似乎更优越一些，但是如果从动态的角度看，可能未必如此。因为资金是具有时间价值的，即相同数额的资金在不同的时间点上其价值是不相同的，如2000年的1000元资金与2010年的1000元资金其价值显然是不同的。因为2000年的1000元起码存放在银行会得到利息，到2010年将获得大于1000元的价值而产生名义上的增值。考虑通货膨胀、物价上涨等因素，2000年的1000元与2010年的1000元其购买力也是有区别的。另外，若考虑工资上涨、收入增加等因素，个人的偿还能力也会不同。今天每个月偿还2000元可能

21、要占家庭月收入的1/5，10年以后可能只占1/10或更少。将10年前的工资水平与今天的工资水平做一下简单对比就可以看出差距。等额本金还款法总的利息支出确实比等额本息还款法少，但是在还款初期，每月还款额要比相同期限的等额本息还款法高，给还款人造成的压力也必将大，而恰恰是还款初期是借款人资金最为困难的时候。总之，选择何种还款方式或是否提前还款，应该根据个人实际收入情况而定。一半而言，对于经济实力较好的消费者可以首选等额本金还款法，毕竟这可以节约较大一笔利息支出，而对于刚刚参加工作的年轻人，可以考虑等额本息还款法，这可以使自己在还款初期的压力减轻很多，等到有了一定的经济实力以后再选择全部或者部分提前

22、还贷。4.4.3 4.4.3 蛛网模型蛛网模型在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品。一段时间之后，随着产量的下降，带来供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产，又会出现商品过剩，价格下降。实际上这种现象可以用蛛网模型来解释。记第 期商品的价格、数量、需求量、供应量分别为 ，则第 期商品的产量 取决于前一期的价格 ，即有供给函数 ，而第 期商品的需求量 又取决于当期的价格 ，即有需求函数 。若 ，则称此时的 为均衡点，记为 ，对应的价格为 。根据函数 与 的性质，分下列三种情形进行讨论：tdsttttPQQQ、tstQ1tP

23、1()sttQf PtdtQtP()dttQg PsdttQQQeQePfg（1）需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值。当市场受到干扰（如恶劣的气候条件）偏离原有的均衡状态以后，实际产量由均衡水平 减少为 。根据需求曲线，消费者愿意以价格 购买全部产量 ，于是，实际价格上升为 。根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为 ；在第二期，生产者为了出售全部产量 ，接受消费者支付的价格 ，于是实际价eQ1Q1P1Q1P2Q2Q2P格下降为 。根据第二期较低的价格 ,生产者将第三期的产量减少为 ；在第三期，消费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是实际价格又上升为 。

24、根据第三期的较高的价格 ，生产者又将第四期的产量调整为 。依此类推，如图4.4.1（a）所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点所代表的水平。由此可见，图2P2P3Q3P3Q3P3P4Q4.4.1（a）中均衡点 状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态 时，经济体系中存在着自发的因素，能使价格和产量自动恢复到均衡状态。在图4.4.1（a）中，产量与价格变化的路径就形成了一个蜘蛛网似的图形，因此该模型也称为蛛网模型。eQ,eeP Q从图4.4.1（a）中还可以看到,只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时，才能得到蛛网稳定的结果,

25、相应的蛛网被称为收敛型蛛网。除第一期受到外在原因干扰外,其它各期都不会再受新的外在原因干扰,从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量。按照动态的逻辑顺序,生产者片面地根据上一期的价格决定供给量,消费者被动地消费生产者提供的全部生产量,而价格则由盲目生产出来的数量所决定。图图4.4.14.4.1（a a）收敛型蛛网）收敛型蛛网 图图4.4.14.4.1（b b）发散型蛛网）发散型蛛网 图图4.4.14.4.1（c c）封闭型蛛网）封闭型蛛网（2）需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值。当市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态，假定在第一期由于某种原因的干扰，实际产量由均衡水平 减少为 。根据需

26、求曲线，消费者愿意支付价格 购买全部产量 ，于是实际价格上升为 ，根据第一期较高的价格水平 ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为 ；在第二期，生产者为了出售全部产量 ，接受消费者支付的价格 eQ1Q1P1Q1P1P2Q2Q2P于是实际价格下降为 。根据第二期较低的价格 ,生产者将第三期的产量减少为 ；在第三期，消费者愿意支付 的价格购买全部的产量 ,于是实际价格又上升为 ；根据第三期的较高的价格 ，生产者又将第四期的产量调整为 。依此类推，如图4.4.1（b）所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越大，最后偏离均衡点所代表的水平。由此可见，图4.4.1（b）中均衡点所代表的均衡状态是不稳

27、定的。2P2P3Q3P3Q2P2P4Q从图4.4.1（b）还可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果。所以供求曲线的上述关系是蛛网不稳定的条件，当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，偏离原来的均衡点越来越远，相应的蛛网称为发散型蛛网。（3）需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时。市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似，故从略，其结果如图4.4.1（c）,由图4.4.

28、1（c）可以看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，供求曲线具有相同的陡峭与平缓程度时，蛛网以相同的幅度上下波动，相应的蛛网称为封闭型蛛网。模型模型1.1.线性蛛网模型线性蛛网模型设需求函数为线性函数，即 表示商品价格减少一个单位时需求量的上涨幅度；同时假设供给函数也为线性函数,即 表示商品价格增加一个单位时供给量的上涨幅度。这样蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表示：（4.4.27）,dttQP 1,sttQP 1;dsdsttttttQP QPQQ 这里 均为大于0的常数。由式（4.4.27）有 （4.4.28）故得到 （4.4.29）,

29、1ttPP 12tttPPP 221tP 2101ttP 011ttP 01ttP 又因为在市场均衡时，均衡价格为 ,所以，由式（4.4.28）可得均衡价格为 (4.4.30)均衡价格是一种理想状态，即在此价格水平下，每个人的需求都得到满足，而且不会有商品卖不出去。将式（4.4.30）代入式（4.4.29），得到 （4.4.31）1ttePPP eP001tttteeePPPPPP 下面分析（4.4.31），主要分为以下三种情形：（1）若 ,当 时,则此时 。也就是说,价格 随着时间的推移,其波动幅度愈来愈小,最终趋向于均衡价格 。事实上,此时需求价格弹性为 ,供给价格弹性为 ,当 时,可推得

30、 ,即供给弹性的绝对值/1 tetPP tPeP/()deeEPP/()seeEPP/()/()deeeesEPPPPE 小于需求弹性的绝对值(需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值),蛛网模型是收敛的。同时价格变动引起的下一期供给量的变动较小,从而对当期价格发生变动的作用较小,这意味着超额需求或超额供给偏离其均衡量的幅度以及每期成交价格偏离均衡价格的幅度,在时间序列中将是逐渐缩减的,并最终趋向其均衡产量 和均衡价格 。另外，根据式（4.4.8），也能得到（4.4.29）的稳定性。eQeP（2）若 ,当 时,则此时 。这说明,需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值时,或供给弹性较大

31、而需求弹性较小时,市场价格将振荡至无穷大,蛛网模型是发散的。在发散型蛛网中,价格变动引起的供给量的变动大于价格变动引起的需求量的变动。当出现超额供给时,为使市场上供给者卖出所有的产品,要求价格大幅度下跌,这将会导致下一期的供给量减少,以致该期出现大量的供给/1 ttP短缺,供给的严重不足导致价格大幅度上扬,由此导致下一期供给量大幅度增加和价格大幅度下跌。在这种情况下,一旦失去均衡,以后各期的供给过剩或短缺的波动幅度以及成交价格波动的幅度,都将离均衡价格 越来越远。eP（3）若 ,当 时 为常数。这说明,需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时,即市场价格一旦偏离均衡状态,则以后各期的价格

32、及产量的变动序列就表现为围绕均衡值循环往复地上下振荡,既不进一步偏离,又不进一步逼近均衡价格 。此时即为封闭型蛛网模型。/1t0tPPeP 模型模型2.2.非线性蛛网模型非线性蛛网模型记第 期商品的数量为 ，价格为 ，需求函数表示为 ，单调递减；供给函数表示为 ，单调递增。如图4.4.2，当供需相等时，市场达到均衡状态，此时 和 相交于点 。ttQtP1,2,t()ttPF QF1()ttQG PGFG00(,)E PQ图图4.4.2 4.4.2 非线性蛛网模型中的供需函数非线性蛛网模型中的供需函数在进行市场经济分析时，取决于消费者对某种商品的需求程度和消费水平等因素，取决于生产者的生产、经营

33、等能力，当需求函数与消费函数已知时，可以根据 和 的曲线性质来判定在平衡点 的稳定性。一旦需求曲线和供应曲线确定下来,商品数量和价格是否趋向稳定状态,就完全由这两条曲线在平衡点 附近的形状决定。若 和 其中之一为非线性函数，则有FGFG00(,)E P Q00(,)E P QFG非线性差分方程：（4.4.32）此时平衡点 满足 。令 ，则 .根据式（4.4.26），将（4.4.32）在 点作一阶Taylor展开，即有 （4.4.33）1();()ttttPF QQG P00(,)E P Q0000(),()PF QQG P00|()|,1/()F QG P,0 00(,)E P Q00100(

34、);()ttttPPQQQQPP将式（4.4.33）中第一个式子代入第二个式子，得到 （4.4.34）根据式（4.4.8），差分方程（4.4.32）平衡点 稳定的充要条件为 。也就是说，稳定的充要条件为 ，即需求曲线 在点 处切线斜率的绝对值小于供给曲线 在该点的切线10(1)0ttQQQ00(,)E P Q100(,)E P Q1/F00(,)E P QG斜率绝对值；反之，不稳定的条件是 ,即 ，需求曲线 在点 切线斜率绝对值大于供给曲线 在该点的切线斜率绝对值。实际上，根据式（4.4.34）可以得到 00(,)E P Q11/F00(,)E P QG101ttQQQ 2100101111t

35、tQQQQQ 211011ttQQ 101001tttQQQQQ 显然，当 时，的充要条件是 。模型（4.4.33）中，的数值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购的状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么，就会比较大；反之，若这种商品为非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则 较小。的数值反映生产经营者对商品价格t0tQQ1的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么，就会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则 会较小。在大多数情况下,商品生产数量并不只是根据前一时期的价格决定,具有相当管理

36、经验的生产经营者在决定产品数量 时不会仅仅只参考前一期的价格1tQtP可能还会对前几期的价格做一定的比较和分析,尤其像生产者始终只是简单地把上一期价格作为本期价格预期并以此作为决定产量的依据，这种非理性假设与现实是极不相符的。例如，生产者在决定商品生产数量 时，不是仅根据前一时期的价格 ，而是根据前两个时期的价格 和 。为简单起见不妨设根据二者的平均值 来确定生产数量，1tQtPtP1tP1()/2ttP P于是模型（4.4.32）可表示为 （4.4.35）式（4.4.33）可修改为 ，其中 是平均价格上涨一个单位时 的增量。故得到二阶线性常系数差分方程 （4.4.36）11();2ttttt

37、PPPF QQG001010();(2)/2tttttP PQQQQPPP1tQ2102(1)tttQQQQ 根据4.4.1节内容，方程（4.4.36）的特征方程为 .特征根为 .当 时显然有 ,从而 ，在单位圆外。下面设 ，此时 ，要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 （4.4.37）02221,2()8)/4 82/4 22281,2/212,12这就是 点稳定的条件。与原有模型中 点稳定的条件相比，参数 ，的范围放大了。可以想到，这是因为生产者的管理水平和素质提高，对经济的稳定起着有利影响的必然结果。00(,)E P Q00(,)E P Q 习习 题题1.用Matlab求解下列常微分方程.

38、（1）；（2）；（3）（4）（5）.1dy dxx y20yyy038,2xdy dxyy200(1)2,1,3xxx yxy yy2222,00.5,(0)1yyxxxy 2.用Matlab求解下列常微分方程组.（1）;（2）;（3）253ttdx dtxyedy dtxye020210cos,224,0tttdx dtxdy dtt xdx dtdy dtyey00324,230,0tttdx dtxdy dtye xdx dtxyy3.在饮酒驾车模型中，若每天喝酒一次，每次喝的酒量相等，每次开始喝酒的时间固定，且在相等时间内喝完，并假设酒是在较长时间内匀速喝下去请构建此时酒精在人体内的积

39、累函数，并利用该函数推导在喝酒数量和喝酒时间确定的情况下，司机驾车不会违章的时刻表4.结合黄灯管制模型，尝试建立十字路口最佳绿灯时间模型5.从经济角度看，渔场捕鱼模型的建立，不应当单纯追求产量最大，而应该考虑效益最佳如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并假设鱼的销售单价为 ，单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数 ，试建立最大利润下的渔场鱼量模型pc6.渔场捕鱼模型中，若将Logistic模型改成Gompertz模型：，其中 与Logistic模型中的 意义相同，试讨论此时渔场鱼量的平衡点及其稳定性，并求最大持续产量、捕捞强度和鱼量水平lnd xNrxd tx,r N,r

40、 N7.SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称非典型性肺炎）是二十一世纪第一个在世界范围内传播的传染病SARS的爆发和蔓延对我国的经济发展和人民生活产生了很大影响，请利用互联网数据模拟SARS传播过程，具体要求：（1）用4.2节传染病模型来模拟SARS传播过程，并评价其合理性和实用性（2）尝试建立新的传染病模型，说明其可靠性，并对卫生部门所采取的措施进行评价，如提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响作出估计8.两种群相互竞争模型中，若 初始条件 ，试画出 以及相轨线的图像1212121.3,0.8,1.8,2.

41、5,1.7,1.1rrNN(0)1.1,(0)2.2xy()()x ty t、9.随着社会经济的快速发展，人口发展也出现了一些新的情况，例如失独现象失独现象是指独生子女意外亡故，家里老人父母由谁来养老送终引发的社会问题请仿照丁克现象的人口模型，通过数据搜集与整理，建立基于失独现象的人口模型10.求解下列偏微分方程：222(1,),01,(,0)sin(),(0,)0,0tuuutxu xx utetxx11.在扩散模型中，扩散系数和吸收系数均为常数，而案例中人脑是有复杂结构的区域，因此常数假设与实际情况不完全符合，另外，夜间与白天对这两个系数的影响也不一定相同，即除时间因素外，还应考虑药物浓度，因此脑中药物分布的数学模型可能是函数系数的非线性偏微分方程，尝试建立基于时间因素和药物浓度的脑中药物分布模型12.在利率市场化过程中，尤其在利率上升预期存在的情况下，个人住房贷款借款人不会出于再融资动机提前偿付，而会发生出于节约利息支出动机的提前偿付，这种提前偿付会对银行利息收入发生重要影响，并干扰银行的利率风险管理试建立银行个人贷款提前偿付数学模型并讨论还款方式