第五章贝塞尔函数

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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数一 贝塞尔函数的引出0,20,0),(20,),()0,(0,20,1122222222ttRuRutRuuuauatu(,)(,)()utVT t TVaTV22TaTVV22令：02VV20Ta T(,)()()V 0112 22令：0 022(0)2()atT tAe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数0 022 2n,3,2,1,0nnBnAnnnsincos)0(,0)(,0222RRnx/xd)(dy 222,()0,(00)x

2、yxyxnyxRyRyddd)(dxxxyxxyd)(dn阶贝塞尔方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数n阶贝塞尔方程 2220 x yxyxny02210)(kkckkkcxaxaxaxaaxy0)()()1)(022kkckxanxkckckc0)()1()(02221122022kkckkccxaankcxancxanc0)(022anc0)1(122anc0)(222kkaankc令：cn cn10a 2(2)kkaaknk135.0aaa二 贝塞尔方程的求解n任意实数或复数0n 假设数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章

3、贝塞尔函数章贝塞尔函数)1(210nan01)(dxxeppx)()1(ppp1)1(当p为正整数时!)1(pp当p为负整数或零时)(p)2/1(20(1)()0!(1)2nmmnmxJxnmnm2(2)kkaaknkn阶第一类贝塞尔函数 令：22(1)02!(1)mmnmanmnm当n为正整数时(1)()!nmnm20(1)()0,1,2,!()!2nmmnmxJxnm nm20(1)()1,2,!(1)2nmmnmxJxnmnm cn 时数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数()cos()()sinnnnJxnJxY xn)()(xBYxAJynn2

4、0(1)()!(1)2nmmnmxJxmnmn阶第一类贝塞尔函数 1 n不为整数时，贝塞尔方程的通解()nJx()nJx和线性无关()()nnyAJxBJxcotcscAnBn n阶第二类贝塞尔函数（牛曼函数）)()1()(xJxJnnnn为整数时100,1,2(1)(1)mNnm sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn2 n为整数时，贝塞尔方程的通解()()nnyAJxBY x数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数0222 ynxyxyx20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn()()nnyA

5、JxBY xA、B为任意常数，n为任意实数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质1 有界性)(xJn)(xYn0 x)0(nY性质2 奇偶性)()1()(xJxJnnn)()1()(xYxYnnn三 贝塞尔函数的性质当n为正整数时 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数2220dd(1)()dd2!(1)mnmnnnmmxx Jxxxmnm mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJ

6、xJxYnn性质3 递推性 22120(1)222!(1)mnmnmmnm xmnm012122)(!2)1(mmnmnmnmnmxx)(1xJxnn)()()(11xJxxJnxxJxnnnnnn1()()()nnnxJxnJxxJx11()()()nnnnnnxJxnxJxxJx 1()()()nnnxJxnJxxJx 1d()()dnnnnxJxxJxx 1d()()dnnnnx Jxx Jxx 01d()()dJxJ xx 10d()()dxJ xxJxx112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章

7、贝塞尔函数章贝塞尔函数)()(dd1xYxxYxxnnnn)()(dd1xYxxYxxnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnn1d()()dnnnnxJxxJxx 1d()()dnnnnx Jxx Jxx 112()()()nnnnJxJxJxx11()()2()nnnJxJxJx例1 求下列微积分0d(1)()dJxx)(0 xJ)(1xJ001(2)()()JxJxx)(1)(11xJxxJ)(21)(21)(21)(212020 xJxJxJxJ)(2xJ00(3)3()4()JxJx)(4)(311xJxJ)(2)(2)(3201xJxJxJ

8、)()()(2)(33111xJxJxJxJ)(3xJ数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数2(4)()dxJxx xxJxxd)(212)(d112xJxx2111d)()(xxJxxxJxxJxxJd)(2)(11)(d2)(01xJxxJCxJxxJ)(2)(01)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn00(6)()cos dRJxx x RRxxJxxxxJ0000cos)(d|cos)(RxxxJxxJxRRRJ0000dsin)(cos

9、)(cos)(RxxxxJxxxJRRRJ0110dsin)(cos)(cos)(RxxxxJRRRJ010dsin)(cos)(RRRJRRRJsin)(cos)(1030(5)()dx Jxx)(d12xxJxxxJxxJxd)(2)(1213)(d2)(2213xJxxJxCxJxxJx)(2)(22131(7)()dnnxJxxttJtnnd)(1ttJtnnnd)(112)(d1112tJtnnnCtJtnnn)(121数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxY

10、nn性质4 初值 1)0(0J0)0(nJ(0)n)0(nY21)0()0(21)0(201JJJ0)0()0(21)0(11nnnJJJ1n)(2)()(11xJxJxJnnn性质5 零点 有无穷多个对称分布的零点)(xJn和)(1xJn的零点相间分布)(xJn的零点趋于周期分布，)()(1limnmnmm()()0nnmJ数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数20(1)()!(1)2nmmnmxJxmnm性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 122102(1)()32!()2mmmxJxmmmmmxmm22102)21(2121221121!)1(mmmmx

11、mm221012)21(12531!2)1(mmmmxm2210122!122)1(2102(1)21!mmmxxmxxsin2xxxJcos2)(21xxxxxxJnnnnsindd12)1()(2121xxxxxxJnnncosdd12)(21)21(210(1)221!mmmxmx数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数mnmmnxmnmxJ202)1(!)1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性质7 大宗量近似 241cos2)(nxxxJn241sin2)(nxxxYn0)(,0)(,xYxJxnn数学物理方程与特殊函数数学物理方

12、程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数性质8 正交性()()222()2()0110,d()(),22nnRmknnnnnmnmmkrJr JrrRRRRJJmk)()()(1xxJxnJxJxnnn1()()()nnnxJxnJxxJx()()()11()()()nnnnmnmnmJJJ()()0nnmJ()20nRmnrJr drR贝塞尔函数 的模()nmnJrR()1()nmmnmf rA JrR()202()11()d()2nRmmnnnmArf r JrrRRJ数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例2：证明 0212222 yxmyx

13、y的解为)(xJxym)()(1xJxxJxymm)()()()(12112xJxxJxxJxxJxymmmm )(1)(2)(212xJxxJxxJxmmm)()()(21)(1)(2)(22221212xJxxmxJxxJxxxJxxJxxJxmmmmmm)()()(222212xJxmxxJxxJxmmm)()()(222222xJmxxJxxJxxmmm)()()(2222tJmttJ ttJtxmmm 0数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例3：将1在 10 x区间内展成)()0(0 xJi的级数形式 1)0(0)(1iiixJC101)0(

14、0)0(010)0(0d)()(d)(xxJCxxJxxxJiiijj)0(002)0(d)(1jtttJj)(2)0(1)0(jjjJC1)0(1)0()0(0)()(21iiiiJxJxxJxxJCiijid)()(110)0(0)0(0 xxxJCjjd)(10)0(02)(21)0(21jjJC)0(012)0()(d1jttJj)(1)0(1)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例4：将

15、x在0 x2区间内展成)2()1(1xJi的级数形式 1)1(1)2(iiixJCx201)1(1)1(120)1(1d)2()2(d)2(xxJCxxJxxxxJiiijj)1(0123)1(d)(8jttJtj)(4)1(2)1(jjjJC1)1(2)1()1(1)()2/(4ijjiJxJxxxJxxJCiijid)2()2(120)1(0)1(1 xxxJCjjd)2(20)1(12)(2)1(22jjJC)1(0223)1()(d8jtJtj)(8)1(2)1(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()

16、(dd1xJxxJxxnnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数例5：将 21x在0 x1区间内展成)()0(0 xJi的级数形式 1)0(02)(1iiixJCx101)0(0)0(010)0(02d)()(d)(1xxJCxxJxxxJxiiijj)0(002)0(22)0(d)(/11jtttJtjj)()(4)0(21)0(22)0(jjjjJJC1)0(13)0()0(02)()(81ijjiJxJxxxJxxJCiijid)()(110)0(0)0(0 xxxJCjjd)(10)0(02)(21)0(21jjJC)0(012)0(22)0

17、()(d/11jttJtjjttJtjj)0(0124)0(d)(2)(2)0(22)0(jjJ)()()(24)0(21)0(0)0(1)0(2)0(jjjjjJJJ)(8)0(13)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数22222222211,02,0(,0)1,02(,)0,02,0uuuuauaRttuRu Rtt 1,1)0,(0,0),1(0,1,12222uttutuuatuTu Tr

18、TaT12 rTaT1202TaT022 rrr0)1()0(例5:解下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数1,1)0,(0,0),1(0,1,12222uttutuuatu022 rrr0)1(R)0(R002 rrlnBA002)()(00BYAJ)(0AJ0)()1(0AJ)0(n,3,2,1,2)0(nnn)()0(0nnnJA0222 02)j()j(00BYAJ0j222 02TaT022)0(nnnTaTtannneBT22)0(1)0(022)0()(ntannneJCu1)0(02)()0,(1nnnJCu)(21d)(1)

19、0(2110)0(02nnnJJC1)0(13)0()0(0)()(822)0(nnntanJeJun)(8)0(13)0(nnJ数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数22222221,0(,)0,(0,)0(,0)(,0)0,1,0uuuaR ttu R tuttuuRtR Tu TTaT12 12TaT02 TaT0222)0(,0)(R002 lnBA00A02)()(00BYAJ)(0AJ0()()RA JRn)1(,3,2,1,2)1(nRnn)()1(0RJAnnn022 1()0AJR 例6:解下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程

20、与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数22222221,0(,)0,0(,0)(,0)0,1,uuuaR ttu R ttuuRtR 02 TaT000A,3,2,1,2)1(nRnn)()1(0RJAnnn000 T000TC tD00000uTE tF 0022)1(nnnTaRTatRDatRCTnnnnn)1()1(sincos(1)(1)(1)0001cossin()nnnnnnuE tFEatFat JRRR)(sincos)1(0)1()1(RJAatRDatRCTunnnnnnnnn)(sincos)1(0)1()1(RJatRFatREnnnnn数学物理方程与特殊函数数

21、学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数22222221,0(,)0,0(,0)(,0)0,1,uuuaR ttu R ttuuRtR 00(1)(1)(1)01cossin()nnnnnnuE tFEatFat JRRR0)0,(u(1)001()0nnnFE JR(1)(1)20021(,0)()1nnnnauEFJtRRR(1)20202(1)2(1)01()d()2RnnnnJRRFa RJR(1)ntR令：00,0,1,2nFEn220001d12dRRRE 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第5 5章贝塞尔函数章贝塞尔函数(1)2250(1)2(1)04d()()nnnRt JtaJ3(1)(1)04()nnRaJ 2(1)(1)25(1)2(1)04()()nnnnRJaJ0)(2)()()1(1)1()1(2)1(0nnnnJJJ(1)21320(1)2(1)(1)021d()()nnnnRttJ taJ(1)1320(1)2(1)(1)022()d()nnnnRttJ ttaJ(1)2022(1)2(1)0(1)(1)021()d()nnnnnnRtFtJ ttaJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn