两道有特色的概率问题

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1、“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方种不同的方法，在第二类方案中有法，在第二类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是种不同的方法，这是分类加法分类加法计数原理计数原理;完成一件事需要两个步完成一件事需要两个步骤，做第一步有骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有n种不同的方法那种不同的方法那么完成这件事共有么完成这件事共有N=mn种不同的方法，种不同的方法，这就是这就是分步乘法分步乘法计数原计数原理理”如完成沿图如完成沿图1所示的街道从所示的街道

2、从A点出发向点出发向B点行进这件事点行进这件事(规定规定必须向北走，或向东走必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从会有多种不同的走法，其中从A点出发点出发到某些交叉点的走法数已在图到某些交叉点的走法数已在图2填出填出（1）根据以上原理和）根据以上原理和图图2的提示的提示，算出从算出从A出发到达其余交叉点的出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从的空圆中，并回答从A点出发到点出发到B点的走法点的走法共有多少种？共有多少种？（2）运用适当的原理和方法算出从）运用适当的原理和方法算出从A点出发到达点出发到达B点，点，并禁止通过交叉点并禁止通过交叉点

3、C的走法的走法有多少种有多少种?(3)现由于交叉点现由于交叉点C道路道路施工，禁止通行施工，禁止通行 求如求如任选一种走法，从任选一种走法，从A点点出发能顺利开车到达出发能顺利开车到达B点点(无返回无返回)概率是多少概率是多少?分析：分析：(1)完成从完成从A点到点到B点必须向北走，或向东走，点必须向北走，或向东走，到达到达A点点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和故使用分类加法计数原理，由此算出从叉点的数字之和故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达点到达其余各交叉点的走法数，填表如图其余各交叉点

4、的走法数，填表如图1，所以从，所以从A点到点到B点的走法共有点的走法共有35种种 (2)方法一方法一:可先求从可先求从A点到点到B点，并经过交叉点点，并经过交叉点C的走法数，再用从的走法数，再用从A点到点到B点总点总走法数减去它，即得从走法数减去它，即得从A点到点到B点，但不经过交叉点点，但不经过交叉点C的走法数的走法数 完成从完成从A点出发经点出发经C点到点到B点这件事可分两步，先从点这件事可分两步，先从A点到点到C点，再从点，再从C点到点到B点点 使用分类加法计数原理，算出从使用分类加法计数原理，算出从A点到点到C点的走法是点的走法是3种，见图种，见图2；算出从；算出从C点到点到B点的走法

5、为点的走法为6种，见图种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从再运用分步乘法计数原理，得到从A点经点经C点到点到B点的走法有点的走法有36=18种种(3)如图如图4从从A点到点到B点点但不经过但不经过C点点的走法数为的走法数为35-18=17种种 方法二：由于交叉点方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行道路施工，禁止通行，故视为相邻故视为相邻道路不通，可删除与道路不通，可删除与C点紧相连的线段运用分类加法计点紧相连的线段运用分类加法计数原理，算出从数原理，算出从A点到点到B点并禁止通过交叉点点并禁止通过交叉点C的走法有的走法有17种种 从从A点到各交叉点的走法数见图点到各交叉点的走法数见图4

6、 从从A点到点到B点并禁止经过点并禁止经过C点的走法数为点的走法数为35-18=17种种 P(顺利开车到达顺利开车到达B点点)=答答:任选一种走法，顺利开车到达任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是点的概率是 17351735两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的有两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区的有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，度，也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘车方案，甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先车方案，甲无论如何总是上开来

7、的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来的时候，他不上车，而是仔观察后上车，当第一辆车开来的时候，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆车好，细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就上他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就上第三辆车。如果把三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，第三辆车。如果把三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面请尝试着解决下面的问题：的问题：1、三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？、三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？2、你认为甲、乙两人采用的方

8、案，哪一种方案使自己乘、你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？坐上等车的可能性大？为什么？分析：分析：三辆车开来的先后顺序有六种可能性且六种顺序三辆车开来的先后顺序有六种可能性且六种顺序出现的可能性相同。出现的可能性相同。（1）三辆车开来的先后顺序有）三辆车开来的先后顺序有6种可能，分别是：（上、种可能，分别是：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）上）、（下、中、上）、（下、上、中）.（2）由于不知道任何信息，所以只能假定）由于不知道任何信息，所以只

9、能假定6种顺序出现种顺序出现的可能性相同，我们来研究在各种可的可能性相同，我们来研究在各种可能的顺序之下，甲、乙两人分别会能的顺序之下，甲、乙两人分别会上哪一辆车。由上表不难得知，甲上哪一辆车。由上表不难得知，甲乘上、中、下三辆车的概率都是乘上、中、下三辆车的概率都是1/3；而乙乘上等车的概率是而乙乘上等车的概率是 1/2 ，乘中等车的概率是，乘中等车的概率是1/3 ，乘下等车的概率是乘下等车的概率是 1/6。所以乙采取的方案乘坐上等车的所以乙采取的方案乘坐上等车的可能性大。可能性大。张老汉为了与客户签订购销合同，需对自己的鱼塘中的鱼张老汉为了与客户签订购销合同，需对自己的鱼塘中的鱼的总量进行

10、估计，他采用了这样的方法：第一次捞出的总量进行估计，他采用了这样的方法：第一次捞出 100 条鱼，称得重量为条鱼，称得重量为 184kg，并把每条鱼作上记号放入水，并把每条鱼作上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出 200 条，称得重条，称得重量为量为 416 kg，且带有记号的鱼有，且带有记号的鱼有 20 条。条。张老汉采张老汉采用这样的方法是否可靠？为什么？用这样的方法是否可靠？为什么？张老汉的鱼塘中大张老汉的鱼塘中大约共有鱼多少条？共重多少约共有鱼多少条？共重多少 kg？可靠，这样是随机抽样可靠，这样是随机抽样1000条，条，共重共重2000kg

11、2kg 共重共重210002000kgx184416100200田忌赛马是一个为人熟知的故事田忌赛马是一个为人熟知的故事.传说战国时期，齐王与田忌各有上、传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜一次，赢得两局者为胜.看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要忌的谋士

12、了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强强（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）解：（解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜出阵，田忌才能取胜.（2）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率率P=1/6.