第七章复数章节复习.pdf

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1、第七章复数章节复习 1 2020.02.13 满足条件 (a， b为实数 ) 复数的 分类 a bi为实数 _ a bi为虚数 _ a bi为纯虚数 _ 一 、 知识梳理 1.复数的有关概念 (1)定义：形如 a bi(a， b R)的数叫做复数 ， 其中 a叫做复数 z的 ， b叫做 复数 z的 (i为虚数单位 ). (2)分类： 实部 虚部 b 0 b 0 a 0且 b 0 2 (5) 模：向量 OZ 的模叫做复数 z a b i 的模，记作 或 ，即 | z | | a b i| ( a ， b R ). (3)复数相等： a bi c di (a， b， c， d R). (4)共轭复

2、数： a bi与 c di共轭 (a， b， c， d R). a 2 b 2 a c且 b d a c， b d |a bi| |z| 3 ( 6 ) 如何证明下列等式？ 设 z a b i ， 1 = a b i ， 2 = + | z | = | | = 2 + 2 , z = | | 2 = | | 2 ， | 1 2 | = | 1 | 2 | 提示： 设 z a b i ，则 z a b i ，所以 | z | a 2 b 2 ， | z | a 2 ( b ) 2 a 2 b 2 ， z z ( a b i)( a b i) a 2 ( b i) 2 a 2 b 2 ，所以 |

3、z | 2 | z | 2 z z . 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 22 2 2 2 2 2 2 2 2 12 1 1 2 ( ) ( ) iz z a bi c di ac bd bc ad z z a b c d a c a d b c b d z z ac bd bc ad a c a d b c b d z z z z = + + = + + = + + = + + + = + + = + + + = ( 6) 如何证明下列等式？ 设 z a b i ， 1 = a b i ， 2 = + | z | = | | =

4、2 + 2 , z = | | 2 = | | 2 ， | 1 2 | = | 1 | 2 | （ 7 ） 如何 在复数集范围内 方程 ？ 5 6 2.复数的几何意义 复数 z a bi与复平面内的点 及平面向量 (a， b)(a， b R)是 一一对应关系 . 3.复数的运算 (1)运算法则：设 z1 a bi， z2 c di， a， b， c， d R. OZ Z(a， b) ( ) ( ) ia c b d + ( ) ( ) ia c b d b c a d + + 2 2 2 2 i a c b d b c a d c d c d + + 7 (2)几何意义：复数加减法可按向量的平

5、行四边形或三角形法则进行 . 如图给出的平行四边形 OZ 1 ZZ 2 可 以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即 OZ ， Z 1 Z 2 . OZ 1 OZ 2 OZ 2 OZ 1 8 二、典型例题 深度剖析 PART TWO 9 题型一 复数的概念 A . 35 B . 35 C. 35 i D . 35 i 自主演练 1.若复数 z满足 (1 2i)z 1 i， 则复数 z的虚部为 所以 z 1 i 1 2i ( 1 i )( 1 2i ) 5 1 3i 5 ， 因此复数 z 的虚部为 35 ，故选 B. 解析 因为 (1 2i)z 1 i， 10 2. 复数 2 i 1 i 的共轭

6、复数是 A. 3 2 1 2 i B. 3 2 1 2 i C. 3 2 1 2 i D. 3 2 1 2 i 解析 由复数 2 i 1 i 2 i ( 1 i ) ( 1 i )( 1 i ) 3 i 2 3 2 1 2 i ， 所以共轭复数为 32 12 i ，故选 D. 11 解析 a 2i 2 i ( a 2i )( 2 i ) ( 2 i )( 2 i ) 2 a 2 ( a 4 ) i 5 ， 复数 a 2i 2 i 为纯虚数， 3.已知复数 是纯虚数 (i是虚数单位 )， 则实数 a等于 A. 4 B.4 C.1 D. 1 a 2i 2 i 2a 2 0且 a 4 0， 解得 a

7、 1.故选 C. 12 命题点 1 复数的乘法运算 1. (1)(2018全国 )(1 i)(2 i)等于 A. 3 i B. 3 i C.3 i D.3 i 题型二 复数的运算 解析 (1 i)(2 i) 2 2i i i2 3 i. 13 (2)i 2 3i 等于 A.3 2i B.3 2i C. 3 2i D. 3 2i 解析 i(2 3i) 2i 3i2 3 2i， 故选 D. 14 3 4i 5 3 5 4 5 i. 2 (1)(20 18 全国 ) 1 2i 1 2i 等于 A. 4 5 3 5 i B. 4 5 3 5 I C. 3 5 4 5 i D. 3 5 4 5 i 解析

8、 1 2i 1 2i ( 1 2i ) 2 ( 1 2i )( 1 2i ) 1 4 4i 1 ( 2i ) 2 命题点 2 复数的除法运算 故选 D. 15 即 z 25 15 i ， 故选 A. A . 2 5 1 5 i B. 2 5 1 5 i C . 2 i D . 2 i (2)已知 i为虚数单位 ， 复数 z满足 iz 2z 1， 则 z等于 解析 由 iz 2z 1， 得 (2 i)z 1， 解得 z 1 2 i ( 2 i ) 5 ， 16 3 (1) 已知 z (1 i) 1 7i(i 是虚数单位 ) ， z 的共轭复数为 z ，则 z 等于 A. 2 B.3 4i C.5

9、 D. 7 故 z 3 4i | z | 5 ，故选 C. 命题点 3 复数的综合运算 解 法 1 z 1 7i 1 i ( 1 7i ) ( 1 i ) 2 3 4i ， 17 法 2 ： |z | = | z | , | 1 2 | = | 1 | 2 | , | ( 1 + ) | = | | | 1 + | = | 1 + 7 | = 50 故 | | = | z | 5 ，故选 C. (2) 对于两个复数 1 i ， 1 i ，有下列四个结论： 1 ； i ； 1 ； 2 2 0 ，其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D. 4 解析 对于两个复数 1 i， 1 i， (1

10、i)(1 i) 2， 故 不正确； 1 i 1 i ( 1 i )( 1 i ) ( 1 i )( 1 i ) 2i 2 i ，故 正确； i 1 ，故 正确； 2 2 (1 i)2 (1 i)2 1 2i 1 1 2i 1 0， 故 正确 .故选 C. 18 题型三 复数的几何意义 1(1)复数 z满足 (2 i)z 则 z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 4i ， 解析 (2 i) z 3 4i 9 16 5 ， 2 i (2 i) z 5 2 i ， 5 z 5 2 i ， z 2 i ， z 在 复平面内对应的点为 2 ， 1 ，在第四

11、象限，故选 D. 19 (2)如图所示 ， 平行四边形 OABC， 顶点 O， A， C分别表示 0， 3 2i， 2 4i， 试求： AO ， BC 所表示的复数； 解 AO OA ， AO 所表示的复数为 3 2i. BC AO ， BC 所表示的复数为 3 2i. 20 对角线 CA 所表示的复数； 解 CA OA OC ， CA 所表示的复数为 (3 2i ) ( 2 4 i) 5 2i. B点对应的复数 . 解 OB OA AB OA OC ， OB 所表示的复数为 (3 2i) ( 2 4i) 1 6i ， 即 B点对应的复数为 1 6i. 21 OC x OA y OB ， (

12、3 ) 已知复数 z 1 1 2i ， z 2 1 i ， z 3 3 2i ，它们所对应的点分别为 A ， B ， C ， O 为坐标原点，若 OC x OA y OB ，则 x y 的值是 _. 解析 由已知得 A( 1,2)， B(1， 1)， C(3， 2)， (3， 2) x( 1,2) y(1， 1) ( x y， 2x y)， x y 3 ， 2 x y 2 ， 解得 x 1 ， y 4 ， 故 x y 5. 22 1 . 已知 复数 z 满足 z 2 12 16i ，则 z 的模为 A.20 B.12 C.2 5 D.2 3 解 法 1： 设 z a bi， a， b R， 则

13、由 z2 12 16i， 得 a2 b2 2abi 12 16i，则 a 2 b 2 12 ， 2 ab 16 ， 解得 a 4 ， b 2 或 a 4 ， b 2 ， 即 | z | a 2 b 2 16 4 2 5 . 故选 C. 题型四 复数与其他知识的综合 23 法 2 ： | 2 | 12 2 + 1 6 2 = 20 , | z | 2 5 . 故选 C. 2. 3. 24 2.(1) = 4 , = 4 4 2 = - 2 . (2) = 23 , = 3 23 4 = 3 4 23 4 3 . 1 = 3 + 2 , . 2 = 3 2 3 + 2 + 3 2 = 2 , p=

14、12 3 + 2 3 2 = 2 , q= 26 4.已知集合 M 1， m,3 (m2 5m 6)i， N 1,3， 若 M N 3， 则实 数 m的值为 _. 解析 M N 3， 3 M且 1M， m 1,3 (m2 5m 6)i 3或 m 3， m2 5m 6 0且 m 1或 m 3， 解得 m 6或 m 3， 经检验符合题意 . 25 5.若复数 z=-2i,(m z)2所表示的点在第一象限 ， 求实数 m的取值范围 . 解 因为 z 2i， m R， 所以 (m z)2 (m 2i)2 m2 4mi 4i2 (m2 4) 4mi， 又因为复数 (m z)2所表示的点在第一象限 ， 所以 m 2 40 ， 4 m 0 ， 解得 m 2 ， 所以解得 m0 ， 1 a 0 ， 所以 1 a b， 则 a ib i； 若 a R， 则 (a 1)i是纯虚数； 若 z i， 则 z3 1在复平面内对应的点位于第一象限 . 其中正确的命题是 _.(填上所有正确命题的序号 ) 解析 由复数的概念及性质知 ， 错误； 错误； 若 a 1， 则 a 1 0， 不满足纯虚数的条件 ， 错误； z3 1 ( i)3 1 i 1， 正确 . 巩固练习 37 今日作业 课本：第 94页 -95页 复习参考题 7 38