复变函数与积分变换第2章解析函数

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1、第二章第二章 解析函数解析函数 2.1 解析函数的概念解析函数的概念 2.2 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系 2.2 初等函数初等函数 2.1 解析函数的概念解析函数的概念1.复变函数的导数复变函数的导数2.解析函数的概念与求导法则解析函数的概念与求导法则3.函数解析的一个充分必要条件函数解析的一个充分必要条件1.1.复变函数的导数复变函数的导数0000()()limlimzzf zzf zzz0000()()d()lim.d|z zzf zzf zfzzz即00()f zzzz2.1设函数在 的邻域内有定义,义定定是邻域内任意一点,若0()f zz存在且有限,则称在点 处可

2、导，记为0d()d|z zwfzz或()()f zf z若在区域D内处处可导,区域D则称在内可导.2().f zz：求的导数例例1 10()()()limzf zzf zfzz220()limzzzzz0lim(2)2.zzzz解：解：00Re()Re()limlimzzzzzxzz 00()()limlimzzf zzf zzz 证：明明00lim1zyz 当时,00lim0;zxz 当时,()Re()f zz故在在全平面处处不可导.()Re()f zz：求证：在在全平面处处不可导.例例2 22()|f zz：讨论在复平面的例3可导性。1111yizxyikixyzxyikiix 22000

3、0()()|f zzf zzzzzz：解解00000()()zz zzz zzzzzzz()ykxD=D令除原点外，与除原点外，与k的取值有关。故函数在除掉原点的的取值有关。故函数在除掉原点的复平面上不可导。复平面上不可导。0()()(|).f zzfzzz若在点 处可导,则：可可微微00()()()fzzf zzf zz称为在点 的微分，即在点 可微.0()f zz故在点 处可导与可微等价.注：可导连续，反之不成立。()0f zzz：问 在处是否连续？是否可导？例例4 4连续但不可导0()f zz设函数在 的邻域内处处可导,则称义定定2.22.20()()f zzf z在 处解析.若在区域D

4、内处处解析,则称()f z区域在D内解析.00()()f zzzf z若在 处不解析，则称 为的奇点.00()()f zzf zz在 处解析在 处可导,反之不成立。注注：()()f zf z但在区域内解析在区域内处处可导2.解析函数的概念与求导法则解析函数的概念与求导法则2()|0f zzz：函数在处可导但不解析。例例5 5：讨论下列函数在复平面上的解析性。例例6 62()()Re(),f zzg zz,故：解析，不解析0)(,)()()()()(1)()(2zgzgzfzfzgzgzgzf解析函数的运算：(),()()(),f z g zf zg z(1)设为区域D内的解析函数,则()()(

5、),()0)()f zf z g zg zg z(都解析,且()()()()f zg zfzg z()()()()()()f z g zfz g zf z g z()(2)()().g f zgf zfz复合函数的导数：(3).()f z反设为区域D内函数的导数：的解析函数1()0,()()fzzfz 且则存在,且11()()()fzf 52()41zzf zz例7：求函数的解析性区域及导函数。3.函数解析的充要条件函数解析的充要条件,uvuvxyyx 故有柯西黎上式称为曼方程。(,)(,)xxu x yv x yiuivxx000()()()limlimzxyf zzf zuivfzzxiy

6、(,)(,)yyu x yv x yiiuvyy ()f z设函数若解析，则.()(,)(,)f zu x yiv x y函数在区域D内一点定定理理2 2.1 1(,),(,)zxiyu x y v x y可导的充要条件是：在点(,)x y 处可微，并在该点处满足柯西黎曼方程。()().vvvxyoxoyxy (,),(,)(,)u x y v x yx y充分设在点处可性：微，并在该点处满足柯西黎曼方程,即()().uuuxyoxoyxy ,uvxyuvyx()()f zzf zui v ()().uuvvxyixiyxyxyoxoy ()()().uvixi yoxoyxx 0()()li

7、mzf zzf zuvizxx故()f zuivzxiy必要性：设在可导,则(),fzaibzxi y ()(|)ui vfzzz 22()a xb yi a yb xxy ()().uuxyoxoyxy ()().ua xb yoxoy 故 ()().vvxyoxoyxy ()()vb xa yoxoy ,uvaxyuvbyx ()(,)(,)f zu x yiv x y函数在区域D内解析的定定理理2.22.2(,),(,)u x y v x y充要条件是：在区域D内处处可微，并满足柯西黎曼(C-R)方程。例例8 判断下列函数在何处可导判断下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:2222(

8、)f zxaxybyi cxdxyy：设函数例例9 9,()a b c df z问取何值时，在复平面上解析。);sin(cose)()3yiyzfx1);2)Re()zzz24)|z解解：1),wzxiy由 得 ux,vy,所以1,0,0,1xyxyxyyxuuvvuv uv 在复平面内处处不可导,处处不解析；wz故2)由w=z Re(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以2,0,xyxyuxuvyvx当且仅当 x=y=0时,xyyxuvuv 因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.3223()33f zxx yixyiy：求证：函数在例例1010复平面上解析,并求其导函

9、数。()()f zf z：设在区域D内解析,且满足下列条件之一，则为常数。例例1111()0;R e()fzfz(1)(2)常 数;Im()()|fzfz(3)常 数;(4)|为 常 数;()fz(5)区 域 D内 解 析5 25 3P习 题 2.2(3)2.3(1)2.4(2)2.6作 业：(,)x y 若有二元实函数在区域D内有二阶义定定2.32.3连续偏导,且满足拉普拉斯方程220 xy22(,)x y则称为区调域D内的和函数.()(,)(,)f zu x yiv x y 设函数在区域D内解析,定定理理2 2.3 3(,),(,)u x y v x y则为区域D内的调和函数.2.2数调数

10、关解解析析函函与与和和函函的的系系(,),(,)x yx y 设为区域D内的调和函数,义定定2 2.4 4且满足柯西黎曼方程(,)(,)x yx y共轭调则称是的和函数.,xyyx：若是 的共轭调和函数,则 是问题的共轭调和函数吗？的共轭调和函数是什么？()(,)(,)f zu x yiv x y 函数在区域D内解析定定理理2 2.4 4(,)(,)v x yu x y的充要条件是：是的共轭调和函数.解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。(,)()x yf z：已知一调和函数,可求一解析函数，注注()(,)f zx y使以为实部或虚部.已知共轭调和函数中的一个

11、，可利用已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求方程求得另一个，从而构成一个解析函数。得另一个，从而构成一个解析函数。vvuudvdxdydxdyxyyx：方方法法一一00(,)(,)(,)x yxyuuv x ydxdyCyx故：uuvvdudxdydxdyxyyx：方方法法二二00(,)(,)(,)x yxyvvu x ydxdyCyx故：32(,)3u x yxxy例11：验证是调和函数,并求以(,)(),(0).u x yf zfi为实部的解析函数使(,)(cossin)xv x yeyyxyxy例12：已知为调和(),(0)0.f zuivf函数,求一解析函数使(),()1f

12、 zuivf ii 求一解析函数使22(1)(,);u x yxyxy已知22(,)v x yxyxy(2)已知,zxiy 对于复数义称定定2.52.5cossinzxeeyiy为指数函数.0,xy上式中当对任意的有cossiniyeyiy称为欧拉公式.2.3初等数函函性质：,;zzzeee(1)在全平面解析 且(2),|,zx iyxiyzxeeeeee且|()20,1,2,zArg eykk 12121122(3)cossincossinzzxxeeeiei12121212cos()sin();xxzzeie2(4)cos2sin21k iekik2zek i故函数的周期为(5)limzz

13、e极限不存在34ie 例：计算2.6()zef z定义 满足方程(z0)的函数ln|LnzziArgzln|arg2.zizk ilnln|arg,nzzizLz令 称为的主支ln2.Lnzzk i故,lnzxLnzx特别当时即为实对数函数.Lnz称为记作对数函数,(1),()(23).LnLniLni例14：求及1122LnLnLnzzzz1212Ln()LnLnz zzzd ln1dzzz,Lnz：在除去原点和负实轴的区解性域内解析析且nnLnzLnz1但nLnz,Lnzn性质：Lnzze定义2.7 函数(z0,为复常数)称为幂函数.性质：arg|.nninzzze(1)当 为正整数n时,

14、为一单值函数11arg21|.(0,1,1)zkinnnnzzekn(2)当,n为正整数时,为一n值函数2ln,0).(0,1,1)pkpziqqpp qqqeekq(4)当,(为互质整数，时,为一q值函数Im0)z(5)当 为无理数或复数(时,为无穷值函数.01z(3)当时,21151.iii例：求，2 和 的值22Ln122 1eecos(22)sin(22).(0,1,2,);k ikikk 解2Ln222eee,(0,1,2,)iik iiiikik 2,eii由此可见 是正实数 它的主值是eeee2.822izizizizi定义 函数与分别称为cossinzz余弦函数正弦函复变量z的

15、与记为与数eeeecos,sin.22izizizizzzi即cossinzz(1)与均为单性质：值函数；cossin2zz(2)与均为以为周期的函数；cossinzz(3)为偶函数，为奇函数；121212121212sin()sincoscossincos()coscossinsinzzzzzzzzzzzz(4)22sincos1zz(5)(6)sincos,cossin,zzzz 在复平面上解析，且 .sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz其他三角函数的定义：sin(12).i例16：求的值2Arc cosLn(1)zizz Arccos,

16、sin,tan.z Arcz Arcz显然是一个多值函数2ArcsinLn(1)ziizz 同理可定义：1ArctgLn21iizziz sin2cos(1 2).ArcArci例17：求及的值cos,cos.zArcz定义2.9 若则 称为复变量反余弦z的 记为函数,且6.双曲函数与反双曲函数：eeeeeesh,ch,th22eezzzzzzzzzzz定义2.10双曲正弦、余弦、正分别称为切函数。ssin,cos;hziiz chziz 性：(1质)tanthziiz(2),.shzchz chzshz(3)zzzzzzzzz11Ln21Arth)1Ln(Arch)1Ln(Arsh22反双曲正切反双曲余弦反双曲正弦5354P习 题 2.9(4)2.102.13(4)2.14(2)(3)2.作 业：16(4)