3.1.3空间向量的共线与共面问题

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1、2.1.3共线向量与共面向量共线向量与共面向量练习练习.已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线外为直线外 一点，且一点，且 ，求，求 的值的值.OPOAOBlAPa BO平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面内两个不共线的同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCA思考思考1：空间任意向空间任意向量量 与两个不共线与两个不共线的向量的向量 共面时，共面时，它们之间存在怎样它们之间存在怎样的关系呢？的关系呢？p

2、a b，ab二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:能平移到同一平面内的向量能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp abBCp PAO思考思考2：有平面有平面ABC，若，若P点在此面内，须满足什点在此面内，须满足什么条件？么条件？结论结论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内内 存在有序实数对存在有序实数对x,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,有有 APxAByAC(1)OPxOAyOBzOC xyz可

3、证明或判断四点共面c a b pAO然后证唯一性然后证唯一性/,/,/ABb BD a BCc 作作pOBBAOCODOE DCBxaybzc证明思路：先证存在性证明思路：先证存在性E注：注：空间任意三个不共面向量都可以构成空空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底间的一个基底.如：如：,abc 推论：推论：设点设点O、A、B、C是不共面的四点，则是不共面的四点，则对空间任一点对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使OPxOAyOBzOC OABCP例例1 1 在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、CDCD

4、的中点，求证：向量的中点，求证：向量 与与 、共面共面.理论迁移理论迁移EFuuu rB Cuuu rA Duuu rA AB BC CD DE EF F 例例2 2 已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD，从平面，从平面ACAC外一点外一点O O引向量引向量 ，求证：，求证：（1 1）E E、F F、G G、H H 四点共面；四点共面；（2 2）平面）平面AC/AC/平面平面EGEGOEkOA OFkOB OGkOC OHkODO OA AB BC CD DE EF FG GH H例：已知例：已知A、B、M三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABM外外的任一点的任一点O，确定在下列

5、各条件下，确定在下列各条件下，点点P是否与是否与A、B、M一定共面？一定共面？(1)3 OBOMOPOA(2)4 OPOAOBOM注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,xyMPxMAyMB （）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，例例平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.分析分析:要用要用a,b,c表示表示MN,只要结合图形只要结合图形,充充分运用空间向量加法分运用空间向量加法和数乘的运算律即可和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D

6、1C1MN解解:ABCDA1B1D1C1MN连连AN,则则MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DN=ADAN=AD+DN=ADNDND=（2 2 b+c)13=（a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例平行六面体中平行六面体中,点点MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用试用a,b,c表示表示MN.练习练习.空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB,OB=b,OC,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则

7、则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 1223231.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点O，,则则x的值为的值为()1()1()0()3()3AB

8、CDOMxOAOBOC11113333 1.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三

9、个向量都共面空间的任意三个向量都共面补充练习补充练习:已知空间四边形已知空间四边形OABC，对角线对角线OB、AC，M和和N分别是分别是OA、BC的中点的中点，点点G在在MN上上，且使且使MG=2GN，试用基底试用基底 表示向量表示向量 ,OA OB OC OGCOABMNG解：在解：在OMG中，中，OGOMMG 1223OAMN 12()23OAONOM 111633OAOBOC 4.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：(1)pxaybpab与与、共共面面;(2)pabpxayb与与、共共面面；(3)MPxMAyMBPMAB、共共面面；(4)PMA BMPxMAyMB、共共面面；A.1个

10、个B.2个个C.3个个D.4个个B5.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2 MAMBMAMB、.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555 OPOAOBOC(2)22 OPOAOBOC；小结作业小结作业1.1.向量平行、共面与直线平行、共面是向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移不同的概念，共线向量通过平移可以移到

11、同一条直线上，共面向量通过平移可到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上以移到同一个平面上.2.2.空间向量共线定理与平面向量共线定空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据是否共面的理论依据.3.3.利用空间向量共线定理和共面定理，利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法面和平行等问题，这是一种向量方法.作业：作业：P89P89练习：练习：1 1，2 2，3.3.