数列通项的求法

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1、 数列通项的求法数列通项的求法yyyy年年M月月d日星期日星期W1 1 用叠加法求数列的通项用叠加法求数列的通项即利用即利用 求求an n.若数列满足若数列满足 其中其中f(n)f(n)是易是易求和数列，那么可用累差法求求和数列，那么可用累差法求an n 例例1 1 求数列求数列1 1，3 3，7 7，1313，2121，的一个通项公式的一个通项公式解：解：),()()(123121nnnaaaaaaaa*),)(1Nnnfaann;21312aa;43723 aa;671334 aa).1(21naann,)1()1(321 21nnnaan以上以上n n-l-l个等式左右两边分别相加，得个

2、等式左右两边分别相加，得21,nann且且n n=1=1时，时，al l=1=1适合上式适合上式，总结总结 我们应验证我们应验证n n=l=l时，时，al l=1=1适合适合21.nann2 2 用叠乘法求数列的通项用叠乘法求数列的通项v即利用即利用 若数列若数列 an n 满足满足 其中其中数列数列f(n)f(n)前前n n项积可求，则可用累商法求项积可求，则可用累商法求an nnnnnaaaaaaaaaaa求,.13423121),)(*1Nnnfaann 例例22在数列在数列 an n 中，中，求通项求通项an n解：解：,1,211nnannaa,1,211nnannaa3241231

3、234,1231nnaaaanaaaan123121.nnnaaaaaaaa).2(2123122nnnn,21a*).(2Nnnan又又3.借助于等差、等比数列求通项公式：借助于等差、等比数列求通项公式：v例3.已知数列an中,a1=2,an+1=2an+3,求an4.4.利用数列前利用数列前n n项和项和S n n求通项公式：求通项公式：数列前数列前 n n 项和项和 S Sn n 与与 an n 之间有如下关系：之间有如下关系：.,)(nnnnnaSnSSaSa求求由此即可由由此即可由2111例例 4 已知已知 Sn=2 n2+n 1，求数列的通项公式，求数列的通项公式 an.解：解：a

4、n=Sn-Sn-1 =(2 n2+n 1)-2(n-1)2+(n 1)-1=4 n 1(n 2).a1=S1=2 12+1 1=2.)(21421nnaan数数列列通通项项公公式式为为 有时，所给数列的通项有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的正好是另外某一数列的前前 n 项和，只要求得此和，即可求得项和，只要求得此和，即可求得 an.例例 5 设数列设数列 a n 的前的前 n 项和项和 Sn 与与 an 的关系的关系是，是，Sn=k an+1(其中其中 k 是与是与 n 无关的实数，且无关的实数，且 k 0，k 1)，求这个数列通项公式，求这个数列通项公式.解：解：an+1=Sn

5、+1 Sn=(k an+1+1)-(k an+1)an+1=k an+1-k an.,nnakkak111由题设，由题设，S1=k a1+1，即，即 a1=k a1+1(S1=a1)，.ka111 a1 0 且且 an 0(注意注意k 0).11kkaann所以数列所以数列 a n 为等比数列为等比数列.)(nnnnkkkkka111111v练习.v数列an满足a1+2a2+3a3+na n=n(n+1)(n+2),求an 例例 6 在数列在数列 a n 中，中，a1=1，且，且 n a n+1=(n+1)an+2n(n+1)(n=1，2，3，)，求数列的通项公式求数列的通项公式.),(321

6、211nnanann解：由题设条件，得解：由题设条件，得1,2.nnnnabbbn令则.,21111公公差差为为为为等等差差数数列列，首首项项abbn bn=1+2(n 1)=2n-1.12 nnan数列的通项公式为数列的通项公式为 an=n(2n 1).1171(*)1.nnnnaaaanNa例在数列中，若，且，求数列的通项公式1111 11nnnnnaaaaa：由 有解111 1 11 1,1,nnnnaaaa即是以为首项 为公差的等差数列11,.nnnaan所以 v1.数列an中，an+2=2an+1-an+2,求anv2.数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an=an-1+bn-1

7、+1,bn=an-1+bn-1+1(n2),cn=a n+b nv(1)求证c n为等差数列v（2）求an 小小 结结v数列的通项公式可以看作项数数列的通项公式可以看作项数n n的函数，求数列的通的函数，求数列的通项也就是求函数解析式要学会项也就是求函数解析式要学会“模式分析，层次解决模式分析，层次解决”的解题策略，将求数列通项的方法与具体的数列模型的解题策略，将求数列通项的方法与具体的数列模型对应起来：对应起来：1 1 型，用累加法：型，用累加法：2 2 型，用累乘法：型，用累乘法：)(1nfaann.)()()(112211aaaaaaaannnnn)(1ngaann112211.aaaa

8、aaaannnnn3 3 型型(p、q为常数为常数)方法方法l l：先变形为：先变形为 再根据等比再根据等比 数列的相关知识求数列的相关知识求an n方法方法2 2：变为：变为 先求先求 的通的通 项，再用累加法求项，再用累加法求an n方法方法3 3：先用累加法求先用累加法求 再求再求an nqpaann1),1(11pqappqann),(11nnnnaapaa1nnaa111,nnnnnaaqppp,nnpa4 4 型型(p为常数为常数)方法：变形得方法：变形得 则则 可用累加法可用累加法求出，由此求求出，由此求an n 5 5“已知已知S Sn n求求an n”型，利用型，利用n n2

9、 2时，时，an n=S=Sn n-S-Sn-1.n-1.)(1nfpaann,)(111nnnnnpnfpapannap如果以上方法都还不能得到解决，可以尝试利用如果以上方法都还不能得到解决，可以尝试利用“归纳归纳猜想猜想证明证明”的思想方法去解决。的思想方法去解决。v 归纳法（只作介绍即可）：归纳法（只作介绍即可）：11711(*).nnnnaaaaanN例在数列中，若，且，求数列的通项公式.21111111121aaaa，解解：由由题题设设条条件件，得得,31211211223aaa,41311311334aaa,51411411445aaa.nan1可以猜想可以猜想这是不完全归纳这是不

10、完全归纳法法,解选择解选择,填空填空题可用题可用v 下面用数学归纳法证明上面的结论：下面用数学归纳法证明上面的结论：v 当当 n=1 时，公式显然成立时，公式显然成立.kaknk1时时公公式式成成立立，即即假假设设当当.11111111kkkaaaknkkk时时，当当所以当所以当 n=k+1 时公式也成立时公式也成立.由由、可知，公式对任何正整数可知，公式对任何正整数 n 都成立都成立.nan1数数列列的的通通项项公公式式为为 注：注：“观察观察猜想猜想证明证明”是求数列通项公式的基本是求数列通项公式的基本方法之一，通过观察前面的若干项，来发现通项公式的构造方法之一，通过观察前面的若干项，来发现通项公式的构造规律，而后再用数学归纳法加以证明，我们把这种求通项公规律，而后再用数学归纳法加以证明，我们把这种求通项公式的方法称为归纳法式的方法称为归纳法.这是我们以后将学习的内容这是我们以后将学习的内容,现在不做要求现在不做要求.