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1、定积分计算与积分和式 插值型求积公式 求积公式的代数精度 复合梯形公式 MATLAB求积分命令,数值分析 20,椭圆:,x =a cos t y =b sin t,0 t 2,2/18,其中,周长:,问题: 1. 定积分与线积分的计算? 2.重积分的数值计算? 3. 椭球面积的计算？ 4. 由离散数据计算三维体积？,3/18,4/18,定积分与积分和式,右矩形和,5/18,左矩形 梯形 右矩形 4.4429 4.8669 5.2908 4.6804 4.8924 5.1044 4.8139 4.8987 4.9835 4.8572 4.8996 4.9420,数值求积公式的一般形式,Rf 数值
2、求积公式余项 x0, x1, , xn 求积结点 A0, A1, , An 求积系数,例1. 梯形公式:,6/18,A0 = (b a )/2 A1 =(b a )/2,插值型求积公式 对 a，b做分划: a x0 x1 x2 xnb,令,7/18,Lagrange插值,插值型求积公式的余项,例2. 梯形公式的误差( 余项 ),即,8/18,例3. 取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b a ),A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6,即著名的 Simpson 公式,9/18,定义: 对不高于m次的多项式P(x),求积公
3、式余项,10/18,(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.,所以, Rxk = 0, (k = 0,1,2,n),类似有: Simpson公式具有3阶代数精度,对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式,11/18,解: 取f(x)= 1, x, x2 若求积公式准确成立,则有,容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一公式只具有2次代数精度,12/18,取等距结点xj = a + jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精确度。,Newton-Cotes公式代数
4、精度至少为n,13/18,复合梯形求积公式,将积分区间a,b n 等分.取 h=(b-a)/n . xj=a+jh,14/18,15/18,取,递推，得,给定允许误差界0,当,时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.,16/18,T1 T2 T4 Tn T2n,f=inline(sqrt(7782.5*sin(x).2+59621550*cos(x).2); T=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2); n=1;h=pi/2;e=1;k=0; while e0.01 s=0.5*(T+h*sum(f(.5*h:h:pi/2); e=abs(s-T);T=s; n=2*n;h=h/2;k=k+1 end 4*T,ans=4.8707e+004, (循环次数k= 2),复合梯形公式计算,17/18,L=48707(公里),MATLAB求定积分命令 quad(fun, a, b),高阶求积分命令q = quad8(fun,a,b) 重积分计算命令dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax),18/18,f=inline(x.3./(exp(x)-1); q(1)=quad(f,eps,1); for k=1:4 q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1); end,
数值分析20定积分计算与积分和式
