20 矩阵特征值估计
《20 矩阵特征值估计》由会员分享,可在线阅读,更多相关《20 矩阵特征值估计(5页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
1、第二十讲 矩阵特征值估计特征值计算较困难,希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。一、 特征值界的估计定理1. 设,为A的任意特征值,则有其中,证明:设x为A的属于特征值的单位特征向量,即,则 将x写成 (表示不含ij) 不妨写为: 取等号的条件为,但,所以其它定理2. 设,为A的任意特征值,则有 其中,二、 盖尔圆法定义:设,由方程所确定的圆称为A的第i个盖尔圆,称为盖尔圆的半径。定理3:矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。证明:设,为A的某一个特征值,x为相应的特征向量,将x写成,设由,考虑行 对于A的特征值,一定存在,使落在A的第个盖尔圆中,对于每个特征值都有相同的结
2、论。定理4. 将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集,(一个子集由完全连通的盖尔圆组成,不同子集没有相连通的部分),对每个子集,若它恰好由K个盖尔圆组成,则该子集中恰好包含A的K个特征值。说明:盖尔圆相互重叠时重复计算,特征值相重时也重复计算证明:设,令,的特征多项式是u的多项式,其特征值是u的连续函数,观察u()变化的过程中特征值的变化,特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动,而不能跨出连通子集。由此可见,由K个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K个特征值。应该注意到:连通的这些盖尔圆中,有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值,而其它盖尔圆中可能无特征值。推论1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。推论2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。推论3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。(因为方阵转置后特征值不变)推论4. 盖尔圆半径变为,两个盖尔圆定理仍然成立。说明如下:相似矩阵与A具有相同的特征值,取 根据推论4,选取适当的使盖尔圆变大或变小,可以对特征值进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效,如对于那些对角线上由相同元素的矩阵,此时盖尔圆的圆心相同。作业:P261 2,3,4
- 温馨提示:
1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
2: 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
3.本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。