华罗庚给物理学家出的一道智力题

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1、华罗庚给物理学家出的一道智力题鲍得海记得大约是1992年夏天，在南开大学举办了一场“量子群国际会议”。在会议期间，郭老师给我们出了一道智力题，说是华罗庚老先生在1970年给“相对论批判小组”（其实是理论物理所的前身）的年轻人出的。郭老师认为这道智力题与当时国际上正热门的“辫子群”也许会有一些深刻的关联。题目是这样的：有N个黑棋子和N个白棋子，挨个摆成一条直线，黑子全部在一边，而白子全部在另一边。如果每次移动一对互相挨着的棋子并摆放到直线上（这对棋子移动时不能颠倒），如何在N次移动之后将全部棋子变成黑白相间的次序？为了这道题，我和戴建辉（昵称：阿呆）两人，足足忙了三天三夜！终于找到了通解！在常哲

2、的监督下，我们将一付围棋顺着地面一溜儿摆上，在规定的N次之后，果然实现了黑白相间！大家赶紧向郭老师汇报战果，郭老师笑笑：当时他只用了一个下午就解决了华老的这道智力题。应大家的强烈要求，二傻就在这里将答案解秘了啊？哈哈！首先，要解决这类问题，没有捷径可走，必须从最简单的特例开始探索。于是，我们开始试2个黑白子的情况，这个、这个。无解！太简单啦！然后，我们开始试3个黑白子（奇数）的情况（费时3分钟）：30123然后，我们开始试4个黑白子（偶数）的情况（费时15分钟）：401234没看出有啥规律？那，我们开始试5个黑白子的情况（费时60分钟）：5012345我们发现，5个黑白子的情况与3个黑白子的情

3、况，虽然都是奇数情况，它们却没有类似的操作规律！真麻烦嘢！那，我们再继续试试6个黑白子的情况（费时3小时）：60123456到此，我们再分析一下，可以发现：除了3的情况特殊之外，其它4、5、6的情况都有如下共性：（1） 第一步都是一样的！（2） 最后一步也是一样的！（3） 最后结果都是向右整体平移2格！但是，最最关键的第二步，到底应该挪动哪两个黑子，却没有规律可循。真麻烦嘢！那，我们只好再继续试试7个黑白子的情况（费时6小时）：701234567哎呀！最最关键的第二步，到底应该挪动哪两个黑子，还是没有规律可循。真麻烦嘢！那，我们只好再继续试试8个黑白子的情况（费时18小时）：801234567

4、8哎呀！最最关键的第二步，到底应该挪动哪两个黑子，还是没有规律可循。真麻烦嘢！那，我们再继续试试9个黑白子的情况？阿呆和阿瓜。这时候，阿呆突然冒出灵光：- 我们总是这么试，可能很难找到通解。也许应该观察系统中那些【不动点】，- 等找到所有【不动点】位置的规律之后，也许剩下的就好办了？找【不动点】？嘢！这个二傻是强项！立马发现以下规律：（1）3个子的情况，由于有太多异常，肯定是特例。（2）4个子的情况，不动点是【白1】&【黑3】（3）5个子的情况，不动点是【白2】&【黑2】（4）6个子的情况，不动点是【白1】&【黑1】【黑5】（5）7个子的情况，不动点是【白4】&【黑2】【黑6】（6）8个子的情

5、况，不动点是【白1】【白5】&【黑3】【黑7】看着这些规律，看着看着。惚兮恍兮、恍兮惚兮，二傻脑袋突然大冒傻气！原来真是有规律的！但是规律不是按照奇数、偶数（【模2】）来分类的，而是按照【模4】来分类的！这就是说：- 8个子的情况与4个子的情况是一类的！- 9个子的情况与5个子的情况是一类的！。而且，各【不动点】也是按照【模4】的规律一直排下去的。比如，我们可以猜到：- 对于9个子的情况，可以按照5个子的规律，其不动点应该是【白2】【白6】&【黑2】【黑6】。哈哈哈！哈哈哈哈！既然已经发现了这么多【不动点】，剩下的允许移动的成对的东东就很有限了。其规律就很好找了。嘢！当初和阿呆整出通解之后，二

6、傻很是得意！用密码将操作步骤记录在一个崭新的笔记本上，美其名曰【南谊密宗】！（因为当时我们是在南开大学的谊园里找到通解的）。可惜，后来，这本密宗被二傻弄丢了！通解也忘得一干二净了! 一晃十几年过去，去年在郭先生追悼会期间，又见到阿呆，二傻问他是否还记得郭先生给的那道华罗庚的黑白子问题的解法？他大眼一瞪：啊？忘记了！好像是【模4】和【不动点】规律，云云。今年，在写郭老纪念文章的时候，二傻又想起这道题，下决心非得把【南谊密宗】重新找回来不可！于是求助著名的【鬼门派】高手（鬼王、想尔、无维等），请他们用计算机程序把4、5、6、7、8、9、10、11个子的低阶情况帮二傻整出来，二傻就能重新发现通解！二

7、傻还发誓答应与他们分享“知识产权”。结果，结果。【鬼门派】在网上竟帮二傻找到了一个高人：【姑苏寒士】！按照【姑苏寒士】自己的说法，他也是在1970年听到华罗庚的这道题目，当时他还在蹲牛棚呢。二傻估计这位【姑苏寒士】现在也是理论物理学界的老高手吧？到底是谁呢？在网上看到他给出的极其简洁的证明，二傻觉得自己的【南谊密宗】立马失去存在的价值！真郁闷焉！所谓“天外有天、人外有人”也！【姑苏寒士】说了：他的证明可以自由传播，但是不能用于算命牟利。于是，二傻决定在【科网大学】给大家讲讲！只是不要用于骗钱哦？嘿嘿！根据4、5、6、7子特例的结果分析，我们知道，他们是有解的；而且，最终结果都是“系统整体最终向

8、右平移2个空格”。现在我们开始运用数学归纳法入下：【假设】：当N=时，系统“有解”（指在次移动之后完成从初始状态到最终状态的转化），而且最终结果是“系统整体都是最终向右平移2个空格”（这个假设至少对4、5、6、7子的特例是正确的），参看以下蓝色图示，假设黑白子各为个：初始状态：中间状态： 。最终状态： 则我们可以证明：在的情况下，系统也一定“有解”。证明过程如下：【】初始态：【】第一步：【】第二步：【】然后大家注意中间蓝色部分，根据假设，可以用步完成转变：【】倒一步：【】最终态：于是，在步时，确实完成了系统的转变！而且，最终结果也还是“系统整体最终向右平移2个空格”！所以，以上操作，可以对所有

9、自然数成立！（证毕！）。【后记】大家千万不要浅尝辄止哦？- 这可是华罗庚给物理学家们出的题目也！其深刻含义或其在物理学的潜在应用价值，正如【四色定理】一样，目前尚未得到充分的认识。不过，考虑到这种过程其实是一种双线【辫子】的编织过程，其中的操作元，既不是对易的，也不是反对易的。其实，它是一种特殊的【辫子群】结构！二傻喜欢称之为【天狼星辫子群】。直觉上，【天狼星辫子群】似乎可以有以下几方面的物理应用前景：- 【有序系统向无序系统的过渡】（比如：黑白墨水扩散模型）的直白演示。- 【离散系统最小作用量原理】（统计力学）的一维演示。- 【铁磁性物质ISING模型的解析解钥匙】。- 【超导原理的某种可能

10、机制】。- 【DNA双螺旋结构的最优解构法】。二傻老了！不中用了！不像你们，还年轻！希望【科网大学】的同学们，能够高举【天狼星辫子群】的旗帜，奋勇前进！。【补记】清华大学物理教授【文克玲】先生对该问题亦是早有研究，还借用量子力学中的【量子数】概念，非常简洁地证明了：“N阶【移棋换位】问题，最少需要N步才能实现”其证明过程，实在值得在此大力宣传！文先生的证明过程如下：定义：相邻两个棋子颜色不同，称为一个“反序”。显然，初始状态有一个反序，最终状态有（2N-1）个反序。目标：n次移动需要增加（2N-2）个反序。而第一次移动，至多增加一个反序；以后的每次移动，至多增加两个反序。所以，n次移动至多增加

11、（2n-1）个反序。因为要求：2n-1=2N-2所以必须：n=N-1/2而且由于: n是正整数于是结果：n(minimum)=N。 （证毕）如此一来，华老的问题就全部而且完备地得到解决了！【1】N阶【移棋换位】问题，N步一定可以解决！（而且可以给出具体算法）【2】N阶【移棋换位】问题，最少必须N步才能解决。【参考文献】：辫子群,纽结理论及统计力学（杨振宁、葛墨林著）5张志东2012-6-24 15:20很好的科普。 1）双线【辫子】的编织过程是不是正对应一个旋转变换？2）操作元既不是对易的，也不是反对易的，但是最后的黑白相间的结构是不是可以进行对易（或者反对易）操作了？博主回复(2012-6-

12、24 15:51)：多谢大呆鼓励！ （1）辫子的编织过程，确实是在高一维空间中的旋转变换。（与ISING有关吧？ ）（2）也不对易的。 6Lampinsect2012-6-24 15:23 表示没明白这个问题跟DNA最优结构有什么关系求详解博主回复(2012-6-24 15:52)：双线编织、碱基配对。大概是这么回事吧？云云、云云。 9王春艳2012-6-24 15:55 找【不动点】？嘢！这个二傻是强项！立马发现以下规律：（1）3个子的情况，由于有太多异常，肯定是特例。（2）4个子的情况，不动点是【白1】&【黑3】（3）5个子的情况，不动点是【白2】&【黑2】（4）6个子的情况，不动点是【白

13、1】&【黑1】【黑5】（5）7个子的情况，不动点是【白4】&【黑2】【黑6】（6）8个子的情况，不动点是【白1】【白5】&【黑3】【黑7】白是什么步调？不好意思，我仅限于看图说话级别，其它的懒得看了博主回复(2012-6-24 16:02)：从中间开始算起，【白1】就是最靠近黑子的那个，【白5】就是从【白1】往左走4格的那个。【黑1】就是最靠近白子的那个，【黑5】就是从【黑1】往右走4格的那个。10张志东2012-6-24 16:06 辫子的编织过程实际上与纽结的解纽结的过程类似的。辫子的头尾连接就是纽结，与拓扑理论有关，所以确实与ISING有关。 二傻的解题过程很高明，图示也非常清楚 博主回

14、复(2012-6-24 16:23)：【姑苏寒士】的数学归纳法十分高明！却不会出现【不动点】的“物理”概念。这也许就是数学与物理之间的那个奇怪的鸿沟吧？ 博主回复(2012-6-24 16:18)：哈哈！二傻最重要的贡献就是这里的“图示”表达法！不过，那个系统中的【不动点】概念，也是很有启发意义的。15文克玲2012-6-24 17:00 这叫“移棋换位”，记得在1956年以前就在什么书上看到过它的一般解法。学过量子力学以后，利用“反序”数的概念，我证明了2xN个棋子至少需要N步。博主回复(2012-6-24 17:14)：【移棋换位】！终于知道名字了。多谢！文先生的最小步骤数的证明，能给二傻

15、分享一下吗？这里的证明，只是证明了“N步一定可以完成”，并不知道“小于N步是否可以完成”？ 16王国强2012-6-24 17:19 不动点的出现在 N = K+4 上吧，即 模 4正好就是要证明成立的东西呀。当然，数学是不管你这个 4 在物理上跟什么对应，话说不动点本身也基本不是物理学的概念吧。博主回复(2012-6-24 17:39)：数学变换中的【不动点】，一定具有极大的物理意义。比如：地球地壳板块运动中，存在的那些【不动点】，就是天狼星人安放金字塔和定海神针之处！嘿嘿！ 博主回复(2012-6-24 17:30)：图中，那些黄色背景的，就是【不动点】。 18文克玲2012-6-24 1

16、7:34 定义：相邻两个棋子颜色不同，称为一个“反序”。初始状态有一个反序，最终状态有2N-1个反序。目标：n次移动增加2N-2个反序。每次移动，至多增加两个反序。第一次移动，至多增加一个反序。所以，n次移动至多增加2n-1个反序。2n-1=2N-2.所以 n=N。是量子力学中的“态，量子数，算符”概念的应用，杀鸡用牛刀。博主回复(2012-6-24 18:02)：拜谢文先生！二傻将把您的证明，放到正文的后记中，就齐了！ 博主回复(2012-6-24 18:00)：高！实在是高！- 【反序】量子数。二傻学习一下：=定义：相邻两个棋子颜色不同，称为一个“反序”。初始状态有一个反序，最终状态有2N

17、-1个反序。目标：n次移动增加2N-2个反序。每次移动，至多增加两个反序。第一次移动，至多增加一个反序。所以，n次移动至多增加2n-1个反序。因为要求：2n-1=2N-2.所以必须：n=N-1/2而且由于: n是正整数于是结果：n(minimum)=N为啥不考虑自旋为【1/2】费米子呢？：-） 19无维2012-6-24 17:43 天狼星辫子：【空格】的规律其实比【不动点】的规律更具有普遍性和一般性！1、二傻也一直强调了这个规律：系统整体最终向右平移2个空格。【姑苏寒士】正是根据这个一般规律，做出了精妙简洁的数学归纳证明，具体解说如下：首先将N子分为两部分：K子和4子，利用4子的前两步特解方

18、法，在第二步K子后头留下两个空格，就是用这两个空格提供的【空间】，K子系统完成变换同时K子整体向右平移两个空格，于是K子前头又有了两个空格，正好符合4子特解的后两步，于是乎：证毕！2、如二傻所言：除了3的情况特殊之外，其它4、5、6的情况都有如下共性：（1） 第一步都是一样的！（2） 最后一步也是一样的！而其它步都是恰到好处抽出相邻子，去填充之前相邻子的留下空格。每一次具体的移位操作有一个显著却又让人觉得理所当然的规律配对子都是落入最近的【空格】！准确的说移动方向上第一个出现的【空格】。一维就两个方向：正负。这个规律的描述感觉有点像废话，但正是由于这个规律，才保证了【系统整体最终向右平移2个空

19、格】。3、延伸问题：经典物理学大厦是否只关注于黑白子的研究，具体的移位操作，而忽略了空格的存在，或者说认为空格不重要？玩过拼图、华容道就知道，如果没有了【空格】，根本就无法移动，更谈不上过关。【空格】的表达决定了其系统空间的【自由度】。博主回复(2012-6-25 12:36)：嗯！【空格】很重要！围棋中，【空格】就是【气】，【气】长者活！ 20无维2012-6-24 17:59 红黑墨水的扩散模型，经典物理学的研究方法为把红黑墨水定义为物质A、物质B【符号】，由此衍生了物质的量、体积、密度等等【概念】，却忽略了扩散空间【空格】。鬼王：【空格】编码信息的表达是最广泛的，正是由于太广泛了，以至于

20、我们都忘本了。论语狗：超量级噪音是混沌，其信息意义不具备稳定性，但因为空格总是空格，使得意义具有了稳定性。也就是说，稳定性，是因空格的存在而引发的。因为空格无论怎么变换，还是空格，是真正的【不变量】。博主回复(2012-6-25 12:39)：这么说，信息编码中，出了【0】【1】，还有一个最重要的东东【空格】嘢？- 这点很重要！真的很重要！- DNA中的【空格】是啥呢？ 21无维2012-6-24 18:11 不论述了，直接给出等式：【特解】 = 【数据】 = 【技术】【通解】= 【程序】 = 【科学】问问二傻：为什么计算机可以帮俺们找【特解】，给出任意N个黑白子的递归变换步骤，却无法给出【姑

21、苏寒士】那样神来之笔的【通解】证明？这可是直接关系到四色定理的人工证明噢？！ 博主回复(2012-6-25 12:41)：这就是【人】与【机器人】的区别!- IBM 实验室，一直在研究如何能够设计一些问题集，可以区分【人】和【机器人】（即【程序】）。有许多有意思的进展！ 23文克玲2012-6-24 18:37 那本书大概是文革中遗失了。把棋子位置从左到右记为a1,a2,.aN,bN,.b1.对于N=4，5，6，7，8，博主给出的解法分别是：a2,b4,b1,a1;a2,b3,a5,b1,a1;a2,b5,a4,b4,b1,a1;a2,b4,a5,b5,a7,b1,a1;a2,(b4,a6),

22、b8,(b5,a5),b1,a1.看出规律来了吧？关键是中段：b4-bN;b3,a5-bN-2,aN;b5,a4,b4-bN-1,aN-2,bN-2;b4,a5,b5,a7-bN-3,aN-2,bN-2,aN;前端是a2,(b4,a6),(b8,a10),.结尾是：.(b9,a9),(b5,a5),b1,a1.记得书上说，子数多时，中段还有其它一般解法。博主回复(2012-6-25 12:44)：没错！子数多时，中间的移位顺序其实比较随便的。 24huppid2012-6-24 18:42 数学归纳法虽是强大，但常常无法提供更深刻的认识。假如把开始时唯一的紧邻黑白子调换顺序，在偶数(大于2)个

23、白子情况下是无法在有限步到达黑白相间的情况的。博主回复(2012-6-25 12:47)：【假如把开始时唯一的紧邻黑白子调换顺序，在偶数(大于2)个白子情况下是无法在有限步到达黑白相间的情况的】- 真的？您证明了吗？ 25文克玲2012-6-24 18:50 中段的记忆方法是：0；20；122；和3220。只要记住这四个数字，就可以应付所有N3的情况。仿佛又回到了青年时代。博主回复(2012-6-25 12:48)：哈哈！祝愿文先生越活越年轻! 27huppid2012-6-24 19:31 从初始条件经过n步可以达到黑白相间的情况，那么它是否也可以摆出白黑相间呢？博主回复(2012-6-25

24、 12:50)：可以呀！从黑子开始，往左移动即可！ 29lanzilanzi2012-6-24 20:22 俺的体会:从3黑3白开始挨着摆，看似有点“小题大做”，但这是展开思维的必经之路。最“小题大做”的方法其实是最有效的方法，这样才能“根”上理解问题。做科研的人最需要“小题大做”的去思考问题，训练的不仅仅是思维，更主要的是做事的态度。谢谢博主！ 博主回复(2012-6-25 12:53)：然！所以，二傻要将自己傻帽级的探索过程展现出来，否则，直接给出最终证明，对学生毫无意义。 30徐建良2012-6-24 21:13 俺不懂“辫子”啥的，这个经常被那帮“物理哥们”嘲笑 。俺可以让学生编程序，

25、把你的算法可视化:)先替学生们谢谢二傻了。博主回复(2012-6-25 12:54)：多谢！如果有可视化程序，一定跟大家分享哦？ 31徐建良2012-6-24 21:15 N3时，只用了2个棋子大小的缓冲空间。博主回复(2012-6-25 12:55)：然！很节约的。 32曹俊2012-6-24 22:13 大一的时候在街上看骗子摆棋摊，用围棋子排成三行，每行数量不等。两人轮流拿掉一些子，每次至少拿掉一个，至多拿掉一整行，不许跨行拿，谁拿到最后一颗子谁输。回来后一堆脑袋凑在一起摆，摆了一两个小时后发现有规律，好象是一摆出来胜负就定了。一个数学怪才一边端着饭盆一边画，用数学归纳法找出了公式。然后

26、大家兴致勃勃地上街去找骗子，可惜再也没找着。博主回复(2012-6-25 12:57)：哈哈！现在还能有此童趣和雅兴否？ 35刘全慧2012-6-25 06:32 03年，先生在躲避沙士，常给我们出类似的智力题，也声称来自华罗庚。似乎有一个切西瓜的问题。博主回复(2012-6-25 13:01)：是的！那个问题是【如何对切歪瓜？】 36唐常杰2012-6-25 09:10 与32楼曹老师讨论： 那道题好像是把3个数都分解为Sigma(a 2(n)的形式，或者看成是二进位表达，（1）开始比较复杂时，制造且保持平衡，对方拿多少你拿多少，保持平衡，Sigma(a 2(n)的形式始终一两份，（2）最后

27、只剩下很少的时候，就问题就自然明确了。博主回复(2012-6-25 13:03)：二傻没有看懂嘢？能再说仔细点就好了，二傻最近缺钱。 38周夕淋2012-6-25 09:48 好文。貌似反过来，从无序向有序也是同样成立的？即初始相间排列，终态同色的排列在一起。博主回复(2012-6-25 13:04)：过程完全是可逆的！ 42罗教明2012-6-25 11:19 数学是人类发明的最强大的逻辑工具，包括自然逻辑和人工智能，因此可以描述蓝图、书写神化，甚至招唤“幽灵”。当我们用它来绘制蓝图时，就只能应用其符合自然规律的部分。博主回复(2012-6-25 13:09)：好像，【自然律】与【人为律】，

28、其实是很难区分的 43文克玲2012-6-25 11:27 答32曹俊老师：记得3堆棋子分别是1，5，9个。这是“二人对弈”的一个很简单的例子，可以完全解决其胜负问题。按一般的数学方法，仿照欧几里德的几何原本，分析如下：系统/棋盘棋子：3堆棋子。状态/局势：3堆棋子的数目，与次序无关-（n1,n2,n3): 0=n1=n2=2时是先行者负的局势。如此等等。（1，5，9）是先胜还是先负，毕竟已是50多年前的事了，我已经不敢肯定，请大家自行推导。博主回复(2012-6-25 13:21)：您认识【姑苏寒士】吗？ 博主回复(2012-6-25 13:12)：精彩的分析！多谢！ 44李胜利2012-6

29、-25 11:36 通解，数学的魅力！博主回复(2012-6-25 13:12)：【四色定理】的人工解，才是真魅力！她在哪里呢？ 50huppid2012-6-25 14:51 紧邻交换那个没有证明哈，另外，若黑子执行原操作的镜像，且黑白构成一对共轭关系，可知原操作的棋子序列和镜像操作的棋子序列是共轭对称的，所以黑子执行原操作的镜像后仍得到黑白相间，而不是白黑相间。楼主，我说的对不？白黑相间真的有可能吗？博主回复(2012-6-25 15:12)：嗯！您说的对！【白黑】组合，无论先挪白还是先挪黑，最后都是【黑白相间】，不会出现【白黑相间】。这是咋回事涅？ 54huppid2012-6-25 1

30、6:00 白黑组合可以摆出白黑相间，偶数白子情况只需把黑子转移到白子前方构成黑白组合即可，奇数情况则把初始紧邻白黑子拖到黑子后方即可，与偶数同理，而对于紧邻交换的情况也同理可得黑白相间博主回复(2012-6-25 16:20)：没明白嘢？您摆一摆出来看看？ 55lyzhi112012-6-25 16:12 楼主，你好！为什么k=2两黑两白无解呢？OOO O这样不对么？博主回复(2012-6-25 16:16)：最终状态，其中间不能留空。 56yxh31612012-6-25 18:08 博主回复(2012-6-25 15:52)：其实女性是假装只会数月亮的，人家情商巨高！-光有情商没智商还是不

31、行滴啵博主回复(2012-6-25 22:49)：哦？您是说有的人确实只会数月亮，却假装自己是假装只会数月亮的？ 57lyzhi112012-6-25 18:27 哦，谢谢。再请问，【文克玲】先生的证明为什么1. 第一次移动，至多增加一个反序？2. 以后的每次移动，至多增加两个反序？可以解释下么，我是外行，但对这题目挺感兴趣的，谢谢。博主回复(2012-6-25 22:47)：这个嘛。你只要理解了【反序】的定义，应该自己能够明白的。再想想？ 58王春艳2012-6-26 05:58 我其实是只能00,01,10，11数到三，可惜您给出的例子都没有，还没做出递推公式来，你想让我做普朗克，靠猜数学

32、公式拿奖啊？我是佩服爱因斯坦，薛定谔，德布洛意这些不是神族就是贵族（G族）系列的，普朗克是哪一组啊？想想，不是P组的吧？大象前面得有香蕉才走的，我不是大象，没那么胖，我是那个坐在小车里的爱因斯坦，自己举着磁铁，想造个永动机，结果发现摩擦力太大，小车不动，所以需要有人举着磁铁在前面跑吸着跑，还得是永磁体吸中有奖的，NB奖哈哈，玩笑，宁缺无信爱信不信博主回复(2012-6-26 11:02)：普朗克应该也是G组的：=普朗克出生在一个受到良好教育的传统家庭，他的曾祖父戈特利布雅各布普朗克和祖父海因里希路德维希普朗克都是哥廷根的神学教授，他的父亲威廉约翰尤利乌斯普朗克是基尔和慕尼黑的法学教授，他的叔叔

33、戈特利布普朗克也是哥廷根的法学家和德国民法典的重要创立者之一。 64周达2012-6-27 12:53 很有趣的题目 。听说这叫移棋相间法，以前北大概率统计系的元老许宝騄先生早年就很精通这种方法。可参考博主回复(2012-6-27 13:10)：多谢提供资料!看来，此问题确实有些隐藏的东东哦？ 67谢语权2012-6-30 17:43 鲍老师：45楼说对了，首先将第N,N+1个棋子移到最后，然后用同样的方法处理前面2N-2个棋子，即可。而且只需N-1次，就能完成。是一个极为简单的问题，结果被复杂化了。博主回复(2012-6-30 18:31)：您别吓唬二傻哦？俺有心脏病的。请注意条件：（1）被

34、移动的那一对子必须是相互挨着的。（2）被移动的那对子被放置的地方也必须与【母体】挨着的。68谢语权2012-6-30 18:45 鲍老师：您好！我们不是吓唬您呀，呵呵。请您冷静地想想呀，科学就是科学，需要思考，需要冷静，也需要争论。不过，把问题复杂化了，也不能全归责于您们，还应该归责巨星华老，他没把问题说细致，应该是最多不超过N次。 这样您们就不会那样想了，不会说N=2时无解了。博主回复(2012-6-30 18:58)：“讨厌”！人家都说了中间不能有空格的啦 69谢语权2012-6-30 19:30 鲍老师：不过我们的方法，应用了插入，这个插入可能导致多个棋子的向前平移和向后移动。如果题意规

35、定不允许这样，那还是要用您所介绍的方法。题目应该这样明确: 一条直线上有N+2个孔，前N个孔里，都恰有白球一个，中间N个孔里，都恰有黑球一个，最后两个孔是空的，每次变换是：将相邻两个孔里的球取出，并按原来的次序放入另外两个空着的孔里，如何在N次变换后使孔里的球恰好黑白相间。博主回复(2012-6-30 22:51)：基本正确！但是没必要说“最后两个孔是空的”。因为左右两边所有的孔都是存在的、而且是空的！ 70谢语权2012-6-30 19:35 啊，鲍老师，发火了，说别人讨厌。这就不对了。呵呵！作为老师，提出的问题，让学生不能正确理解，不是学生的错，而是老师提出的问题太含糊。呵呵，老师应多做自

36、我检查。博主回复(2012-6-30 22:55)：“讨厌”！【作为老师，提出的问题，让学生不能正确理解，不是学生的错，而是老师提出的问题太含糊。】- 二傻问您一个很清楚的问题：“宇宙中，有没有【模5】的东东？” 71谢语权2012-6-30 19:55 鲍老师：不过我们的方法，应用了插入，这个插入可能导致多个棋子的向前平移和向后移动。如果题意规定不允许这样，那还是要用您所介绍的方法。题目应该这样明确: 一条直线上有2N+2个孔，前N个孔里，都恰有白球一个，中间N个孔里，都恰有黑球一个，最后两个孔是空的，每次变换是：将相邻两个孔里的球取出，并按原来的次序放入另外两个空着的孔里，如何在N次变换后使孔里的球恰好黑白相间。博主回复(2012-7-11 20:54)：Thanks a lot for clear clarifications!