概率论与数理统计自测试卷及答案

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1、概率论与数理统计自测试卷一一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量，则 _2、设、是随机事件，则 3、设二维随机变量的分布列为 1 2 31 2 若与相互独立，则的值分别为 。4、设 ，则 _ _ 5、设是取自总体的样本，则统计量服从_分布. 二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2、设事件与互不相容，且，则下面结论正确的是【 】(A) 与互不相容; (B);(C) ; (D).3、设两个相互独立的随机变量与分别服

2、从正态分布和，则【 】 (A)； (B) ； (C)； (D)。4、 如果满足，则必有【 】（A）与独立；（B）与不相关；（C）；（D）5、设相互独立的两个随机变量与具有同一分布律，且的分布律为0 1 则随机变量的分布律为【 】(A)； (B) ；(C) ；(D) 。三、（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的

3、绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.五、（本题满分12分）设随机变量，试求随机变量的密度函数六、（10分）设的密度函数为 求的数学期望和方差； 求与的协方差和相关系数，并讨论与是否相关？七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。八、（本题满分12分） 设总体，其中是已知参数，是未知参数是从该总体中抽取的一个样本， . 求未知参数的极大似然估计量；. 判断是否为未知参数的无偏估计九、（本题满分8分）设总体，其中且与都未知，现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，试在置信水平下，求的置信区间 （已知：

4、，）概率论与数理统计自测试卷二一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1、A，B为二事件，则A、 B、 C、 D、2、设A，B，C表示三个事件，则表示A、A，B，C中有一个发生 B、A，B，C中恰有两个发生C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生3、A、B为两事件，若，则成立A、 B、C、 D、4、设A，B为任二事件，则A、 B、C、 D、5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是A、与独立 B、与独立C、 D、与一定互斥X012P0.30.50.26、设离散型随机变量的分布列，其分布函数为，则A、0 B、0.3 C、0.8 D、17、设离散型随机变量的密度函数

5、为 ，则常数A、 B、 C、4 D、58、设，密度函数，则的最大值是A、0 B、1 C、 D、9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,其概率分布为，则下式成立的是A、 B、 C、 D、10、设服从二项分布B(n,p),则有A、 B、C、 D、11、独立随机变量，若XN(1,4)，YN(3,16)，下式中不成立的是A、 B、 C、 D、X123p1/2c1/412、设随机变量的分布列为： 则常数c=A、0 B、1 C、 D、 13、设,又常数c满足,则c等于A、1 B、0 C、 D、-114、已知,则=A、9 B、6 C、30 D、3615、当服从( )分布时,。A、指数 B、泊松 C、正态 D

6、、均匀16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。A、 B、C、 D、与相互独立17、设且，则有A、 B、 C、 D、18、设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。A、 B、C、与不相关 D、对有19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是A、 B、 C、与不相关 D、对的任何可能取值 20、设的联合密度为，若为分布函数，则A、0 B、 C、 D、1二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、 若事件 A与B相互独立， 。求：和2、 设随机变量，且。求3、 已知连续型随机变量的分布函数为，求和。4、 设连续型随机变量的分布函数为求： （1）

7、常数A和B；（2）落入（-1，1）的概率；（3）的密度函数5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽。求：（1）耗用子弹数的分布列；（2）；（3）6、设的联合密度为，求：（1）边际密度函数；（2）；(3）与是否独立三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)1、 设，是来自正态总体的样本，下列 三个估计量是不是参数 的无偏估计量，若是无偏 估计量，试判断哪一个较优？ ，。2、设 。为 的一组观察值，求的极大似然估计。概率论与数理统计自测试卷三一、填空题（每小题3分，共15分）1 设A、B为两个随机事件，而且，则_；2设表示10次独立重复射击命

8、中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望=_；3设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式可以得到_；4. 设，且与相互独立，则_;5设是从正态总体中抽取的一个样本， 是其样本均值，则有_。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二个人取到黄球的概率是（ ）A. 1/5 B2/5C. 19/49 D20/492. 下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A. B. C. D. ，其中3. 设离散型随机变量的联合分布律如下，若相互独立，则 A. B. C. D. 4. 对于任意两个

9、随机变量和，若，则 A B. C和独立 D. 和不独立5. 在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 A. 检验法 B. 检验法 C. 检验法 D. 检验法三、计算题（本题10分）仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。四、计算题（本题10分）盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望。五、计算题（本题10分）设的联合密度为，（1） 求系数A（2）与是否相互独立？六、计算题（本题10分

10、）设为总体的一个样本, 的密度函数，求参数的最大似然估计量。七、计算题（本题10分）某糖厂用自动打包装糖果，设每包重量服从正态分布，从包装的糖果中随机地抽测9包，测得每包的重量数据（单位：克）为：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.7，102.1，100.5，试求总体的95的置信区间。八、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分） 某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差不超过2cm，每天定时检查机器运行情况，某日抽取10个零件，测得平均长度cm，样本标准差cm，设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常？（）九、计算题

11、（本题10分） 每个家庭对某种商品平均年需求量d与该商品价格p之间的一组数据如下表：价格p元1222.32.52.62.833.33.5年均需求量d公斤53.532.72.42.521.51.21.2经计算得，(1)试求年均需求量对价格的样本线性回归方程；(2)用相关系数检验方法检验d与p之间是否存在线性相关关系。()概率论与数理统计自测试卷四一、填空题（每小题3分，共15分）1设A、B为两个随机事件，而且，则 _；2一射手对同一目标独立地进行了4次射击，已知至少击中一次的概率为，则该射手每次射击的命中率为_；3设随机变量，若随机变量与相互独立，且随机变量，则_； 4设随机变量服从二项分布，且

12、,，则参数_；5设总体的二阶矩存在，且 ，若是从该总体中取出的一个样本， 是其样本均值，则 _。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1对于任意两个随机事件A与B，有为_； A； B；C； D2设X与Y是相互独立的随机变量，分布函数分别为及，则的分布函数为_；A； B；C； D 设随机变量的分布函数为 ，则_；A； B； C； D. 随机变量X与Y满足，则必有_； AX与Y相互独立； BX与Y不相关； C； DX与Y不独立 设是从正态总体中抽取的一个样本， 与分别表示其样本均值和样本方差，则有_。 A； B； C； D.三、计算题（本题10分）甲、乙、丙三人同时对一飞行物独立进行一次射击，三人

13、击中该飞行物的概率分别为0.6、0.5、0.3，该飞行物被一人击中不会被击落；被两人击中而击落的概率为0.5；被三人击中而击落的概率为0.8。试求该飞行物被击落的概率。四、计算题（本题10分） 已知随机变量与的概率分布律分别为X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2如果，(1)求(，)的联合分布律；(2)判断随机变量与是否相互独立。五、计算题（本题10分）设二维随机变量(，)服从区域内的均匀分布，求(1) (，)的联合概率密度;(2)与的边缘概率密度。六、计算题（本题10分）设是从总体中抽取的一个样本试求使的点的极大似然估计量。(已知)设是从总体中抽取的一个样本试求使的点的极大似然估

14、计量(已知)七、计算题（本题10分）初生婴儿的体重X近似服从正态分布N(m, s2)，随机抽测得到某地区12名新生婴儿的体重(克)数据：3100，2520，3020，3600，3160，3500，3320，2880，2600，3400，2540，3000试以95%的置信度估计该地区新生儿的平均体重。八、计算题（本题10分） 设某种电子元件的电阻近似服从正态分布，从两批元件中各抽取6个测得电阻数据(单位：欧姆)如下：第一批：0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137第二批：0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.140在a=0.05的显著性水平

15、下，能否认为它们的电阻方差相等？九、计算题（本题10分） 有人认为，企业的利润水平和它的研究费用之间存在着近似的线性关系，根据下面的数据资料计算得到，。能否据此证实利润水平与其研究费用存在线性关系的论断？年份1998199920002001200220032004200520062007研究费用x10108881212121111利润y100150200180250300280310320300概率论与数理统计自测五一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)(1)设A、B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则必有（ ） (A) (B) (C) (D) (2)某人花钱买了三种不

16、同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为（ ） (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08 (3)，则（ ） (A)对任意实数 （B）对任意实数(C)只对的个别值，才有 （D）对任意实数，都有 (4)设随机变量的密度函数为，且是的分布函数，则对任意实数成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） (5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为（ ） （A） (B)(C) (D) 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) ,则

17、. (2) 设随机变量有密度, 则使的常数=_. (3) 设随机变量，若,则_.(4) 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从，如果随机变量X-aY+2满足条件 ，则=_.(5) 已知,且, 则=_.三、解答题 （共65分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 求：（1）常数 （2） 3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分

18、别为 求:随机变量的概率密度函数. 4、（8分）设随机变量具有概率密度函数 求：随机变量的概率密度函数. 5、（8分）设随机变量的概率密度为：，求:的分布函数 6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？7、(10分)设，且相互独立，求:（1）分别求U,V的概率密度函数；（2）U,V的相关系数； 概率论与数理统计自测试卷一参考答案一、填空题：1、；2、0.4；3；4、2.6；5、二、选择题：1、C

19、；2、D；3、B；4、B；5、C三、解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且，.于是，（1）（X，Y）的联合分布为 YX300102030（2）五、解：随机变量的密度函数为 设随机变量的分布函数为，则有 . 如果，即，则有； . 如果，则有 即所以， 即 六、解： 所以与不相关.七、（本题满分10分）解：（1）由 所以（2）X的边缘密度函数：Y的边缘密度函数：（3）因，所以X，Y是独立的八、解：. 当为未知，而为已知参数时，似然函数为 因而 所以 解得因此，的极大似然估计量为 . 因为 ， 所以 ，所以 ， ，所以

20、因此， 所以，是未知参数的无偏估计九、解：由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为 由，得查表，得由样本观测值，得，所以， ， ，因此所求置信区间为 概率论与数理统计自测试卷二答案一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)题号12345678910答案BDCDDDDCAD题号11121314151617181920答案CCBBBDCDDB二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、 解：A与B相互独立（1分） （1分） （1分）又（1分） （2分） （1分）2、 解： （5分） （2分）3、解：由已知有 （3分）则： （2分） （2分）4、解：(1)由， 有：

21、 解之有：， （3分）(2) （2分）(3) （2分）X123P2/32/91/95、解：(1) （3分）(2) （2分）(3) （2分）6、解：(1) 同理： （3分）(2) 同理： （2分）(3) 与独立 （2分）三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)1、 解： 同理：为参数 的无偏估计量（3分）又 同理：， 且 较优 （6分）2、 解：的似然函数为：（3分）解之有： （6分）概率论与數理統計自測試卷三答案一、填空题1 0.2 2 18.4 3 1/9 4. 7.4 5二、单项选择题1B 2. B 3. A 4. B 5. B三、计算题A1: 产品来自甲厂； A2:产品来自乙厂

22、； A3:产品来自丙厂； B:取得的是正品 四、计算题; ; . （4分） （7分） （10分）五、计算题 （5分） 不独立 （10分）六、计算题 （5分） （10分）七、计算题造随机变量 （4分）置信区间为 （7分）代入计算得 （10分）八、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分） （5分） （10分）九、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。本题10分） （）设样本回归直线方程为 （2分） （4分）代入得： 、所以样本线性回归方程为 （5分）（） （7分），查表得 （9分）拒绝域为，落在拒绝域内，拒绝，即认为存在线性关系。（10分）概率論與數理統計自測試卷四答案一

23、、填空题10.6. 22/3. 3 4 5二、单项选择题1C；2D；3C；4B；5C三、解：设A表示飞行物被击落， 表示飞行物被i个人击中, i=0,1,2,3。由全概公式有= 0.5(0.60.50.7+0.60.50.3+0.40.50.3) +0.80.60.50.3= 0.252四、根据联合分布律和边缘分布律的关系,可以得到X和Y的联合分布律：YX01Pi.-11/401/4001/21/211/401/4P.j1/21/21 (2)因为，所以随机变量与不相互独立。五、解：联合概率密度为 3分 4分 7分 10分六、解：关于参数 的似然函数为 ， 故 的极大似然估计量 故 的极大似然估

24、计量为 七、解 方差s2未知，求均值m 的95%置信度的区间置信区间的实现为（2818.20，3295.13）八、解 双边F检验 九、解（1）建立样本线性回归方程： （2）用相关系数法检验利润水平与研究费用是否具有线性关系。原假设H0：1=0 备择假设H1：100.05(10-2)=0.05(8)=0.632 接受原假设H0，认为y与x之间不存在线性相关关系，不能证实这种论断。概率论与数理统计自测五答案一、选 择 题（53分）题号12345答案CBABB二、填 空 题（54分）1、 0.1 2、 3、 0.35 4、 3 5、 20 三、 计 算 题（65分）1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”。易见 (1) 由全概率公式，得 (2) 由Bayes公式有：2、解：（1）由于，所以，可得 （2） 3、解：由卷积公式得 ， 又因为X与Y相互独立，所以 当时， 当时， 当时， 所以 4、解：的分布函数 于是的概率密度函数 5、 解： 当当 6、解 由条件知，即 7、解：（1）因为，且相互独立，所以都服从正态分布， 所以 ，所以 同理 ， 所以 ，所以 （2） 所以