数理方程研究生课件

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1、数理方程研究生 数学物理方程数学物理方程 长春理工大学长春理工大学 理学院理学院 2014.09数理方程研究生基本内容n方程的建立与一般概念n行波法n固有值问题与特殊函数n分离变量法n积分变换法nGreen函数数理方程研究生需要的先修内容高等数学：一元和多元微分学 积分学 常微分方程 无穷级数 广义积分 含参变量的广义积分数理方程研究生第一章 方程的建立与 方程的一般概念数理方程研究生第一节 方程的基本概念n定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。偏微分方程。一般形式：其中u 为多元未知函数，F是 以及u的有限个偏导数的已知函数。注意：注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u

2、，但必须含有未知函数u的偏导数。121 112,(,)0nnxxxx xF x xx u uuuu12,nxxxu数理方程研究生n定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶偏微分方程的阶。n定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程线性偏微分方程。n二阶线性偏微分方程的一般形式：21,11(,).nnijini jiijiuuabcuf xxx xx 数理方程研究生 波动方程 热传导方程 位势方程 2(,)ttxxua uf x t2(,)txxua uf x t(,)0,(,)(,)0,xxyyf x yLa

3、placeuuf x yf x yPoisson方程方程数理方程研究生第二节二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类 一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。111222122(1)xxxyyyxya ua ua ubub ucuf11122212,aaab b c f111222,aaa2121122aa a 数理方程研究生定义:(1)若在 处 称方程（1）在点 处为双曲型方程双曲型方程；(2)若在 处 称方程（1）在点 处为抛物型方程抛物型方程；(3)若在 处 称方程（1）在点 处为椭圆型方程椭圆型方程。00(,)xy0,00(,)xy0

4、0(,)xy00(,)xy00(,)xy00(,)xy0,0,数理方程研究生例：波动方程 双曲型 热传导方程 抛物型 位势方程 椭圆型22(,)0ttxxua uf x ta 2(,)0txxua uf x t(,)1xxyyuuf x y 数理方程研究生二、方程的标准形式定义：方程 分别称为 双曲型双曲型方程的第一标准形和第二标准形第一标准形和第二标准形。方程 称为抛物型方程的标准形。方程 称为椭圆型方程的标准形。11112222,xyxyyyxxxyuAuBuC uDuuA uB uC uD33334444,yyxyxxxyuA uB uC uDuA uB uC uD5555,xxyyxy

5、uuA uB uC uD数理方程研究生三、方程的化简三、方程的化简步骤：第一步步骤：第一步：写出判别式 ，根据判别式判断方程的类型；第二步第二步：根据方程（1）写如下方程 称为方程（1）的特征方程特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程 称为特征方程，其解为特征线特征线。设这两个特征线方程的特征线为令21211 22aa a2111222()20(2)dydyaaadxdx1211(3)adydxa12(,),(,).x ycx yc(,),(,).x yx y数理方程研究生 第三步第三步(1)当 时，令 以 为新变量，方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(2)当 时，特

6、征线 令 其中 是与 线性无关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。(3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。0(,),(,).x yx y,uAuBuCuD,0(,).x yc(,),(,).x yx y(,)x y(,)x y,uAuBuCuD,0 11(),().22i,uuAuBuCuD,数理方程研究生第三节 经典方程的导出一、方程的建立1、弦振动方程（一维）；2、热传导方程（一维）；数理方程研究生弦的振动方程的导出（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个

7、初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给出，此时x点弦的位移为u(x,t).考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段弦的长度为222()()1().x dxx dxxxxsdudxudx 数理方程研究生 由于只考虑微小振动，略去 ，所以 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的张力为 与x轴夹角为 用 表示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为 。是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力大小为F(x,t).2()xu.sdx(,),(,)TTFx t Fxdx t12,.dxttu数理方程研究生

8、则根据牛顿第二定律，有 对微小振动，都很小，故 即 并且 的值不随时间变化，为常数。同样 都很小，有根据导数的几何意义:,2,1,2,1sinsin(,).coscos0.ttT x dxT xT x dxT xdxuFFF x t dxFF12,.12coscos1.,T x dxT xFF12,.1122sin,sin.tgtg12(,),(,).xxtgux t tguxdx tTF数理方程研究生这样方程变为则为一维波动方程。2(,)(,)(,),(,),(,),TttTu xdx tu x tFF x t dxdxuxxFF x taf x t令2(,)ttxxua uf x t数理方

9、程研究生第四节 定解条件与定解问题1、几个概念几个概念泛定方程：描述一个物理过程的偏微分方程。初始条件：表示初始状态的条件。边界条件：描述边界上的约束情况的条件。定解条件：初始条件和边界条件的统称。2、初始条件：、初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度数理方程研究生3、边界条件：、边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移变化。第二类边界条件（Neumann边界条件）：端点所受的垂直于平衡位置外力的作用。第三类边界条件（Robin边界条件）：端点的位移与所受外力的线性组合。4、定解问题、定解问题泛定方程连同相应的定解条件组成一个定解问

10、题。初值问题初值问题（Cauchy问题）：只有泛定方程和初始条件的定解问题。如：数理方程研究生边值问题：泛定方程边值问题：泛定方程+边界条件边界条件第一边值问题（Dirichlet 问题）；第二边值问题（Neumann问题）；第三边值问题（Robin问题）.混合问题：既有初始条件又有边界条件的定解问题混合问题：既有初始条件又有边界条件的定解问题)()()0,(),()0,()0,(),(2RxxxuxxutRxtxfuautxxtt),(),()0,(),()0,()0,),(,32RzyxzyxzyxuzyxzyxutRzyxtzyxfuatzyxuttt数理方程研究生5、适定性概念定解问题

11、的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题的解存在、唯一且稳定，就称这个定解问题是适定的；否则，称这个定解问题是不适定的。注：定解问题的适定性问题不详细讨论数理方程研究生6、叠加原理方程 叠加原理：若 L u1=f1 L u2=f2 则：L(au1+bu2)=af1+bf2 （教材18页）21,11(,)nnijini jiijiuuLuabcuf xxx xx 数理方程研究生 第二章 行波法数理方程研究生一维波动方程的定解问题无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法

12、降维法有限弦的振动问题数理方程研究生第一节 定解问题一、定义 1.我们把描述一个物理过程的偏微分方程称为泛定方程。2.一个过程中发生的具体条件称为定解条件。3.泛定方程带上适当的定解条件，就构成一个定解问题。4.用来表示初始状态的条件称为初始条件；用来描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。注意：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。数理方程研究生二、定解问题1.初值问题（Cauchy问题）只有泛定方程和初始条件的定解问题。2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。3.混合问题 既有初始条件又

13、有边界条件的定解问题。数理方程研究生第二节一维齐次波动方程的cauchy问题一、DAlembert公式 考虑无界弦的自由振动（Cauchy问题即初值问题）解:(1)化标准形，然后求通解 故原方程化为 2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx 21220 xatcxatdxaxatcxatdt0.u数理方程研究生则(2)由初始条件确定F,G(,)()()()(),ufdGFG(,)()().u x tF xatG xat方程的通解0()()(),()()()()()(),1()()()xxF xG xxa F xG xxF xG xxF xG xdca 数理方

14、程研究生解得 则称为DAlembert公式。0011()()(),22211()()().222xxxxcF xxdacG xxda (,)()()11()()().22x atx atu x tF xatG xatxatxatda 数理方程研究生二、解的物理意义说明 的物理意义。设 且考察对于固定时刻 只是自变量x的函数。考虑时刻 由于12(,)(),(,)(),u x tF xat u x tG xat(,)()()u x tF xatG xat212(,),(,)ttxxu x t ux tua u都是的解，12(,)(,)(,).u x tu x tux t2(,)().ux tG x

15、at00,()t G xat01,t 00()(1)G xatG xaa t数理方程研究生 这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 的振幅在时刻 传到了x+a.由于此关系对弦上的全体点x都成立。这说明在时刻 时的波形 经过单位时刻以后，向右平移了 a，即 表示以速度a向右传播的行波称之为右行波。右行波。同样，称之为左行波左行波。左右行波统称为行波左右行波统称为行波。因此，解可以表示成左右行波的叠加。这种用左右行波叠加来构造解的方法，称为行波行波法。法。01t 0t01t 0t20(,)u x t2(,)u xt1(,)()u xtF x at0t数

16、理方程研究生三、依赖区域、影响区域和决定区域波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间,21xx上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为atxxatx211x2xxtatxx1atxx2影响区域定义定义：上式所定义的区域称为区间,21xx的影响区域影响区域。数理方程研究生定义定义 区间,atxatx称为解在（x，t）的值的依赖区间依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x,t)仅仅依赖于,atxatx中的初始条件。atxatxx依赖区间),(txt它是过（x，t）点，斜率分别为a1的直线与 x 轴所截而得到的区间（如右图）。daatxatxtxuat

17、xatx)(212)()(),(数理方程研究生1x2xxtatxx1atxx2定义定义,21xx区间过1x作斜率为a1的直线atxx1过2x作斜率为的直线atxx2a1则 它们与区间,21xx一起围成的三角形区域中的任意一点(x,t)的依赖区间都落在区间,21xx内，因此该三角区域称为决定区域。决定区域。数理方程研究生四、其他cauchy问题举例例1.解：特征方程 令 故有230,(,0)sin,(,0).xxxyyyyuuuu xx uxx2123,230yxcduduyxcdxdx3,yxyx0(,)(3)()uu x yF yxG yx数理方程研究生222(3)()sin,(3)().(

18、3)()sin,11(3)(),32313()sin,43244133()sin.484FxG xxFxG xxFxG xxFxG xxcxF xxcG xxxc 所以定解问题的解为2131(,)sin()sin().4433yu x yxyxxyy数理方程研究生例2.求解特征初值问题（Goursat问题）解：方程的通解为 当 时，当 时，且 故2000,|(),|(),(0)(0).ttxxx atx atua uuxux其中(,)()()u x tF xatG xat0 x at(2)(0)()()()(0);2xFxGxF xG0 xat(0)(2)()()()(0);2xFGxxG x

19、F(0)(0)(0)(0)FG(,)()()(0).22xatxatu x t数理方程研究生练习1：xuxuxuatuttt0022222,cos0daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(解：由达朗贝尔公式daatxatxatxatx212)cos()cos(xtxatcoscos数理方程研究生练习2：yuxuyxyxuxycos,12022解：yxyxu22)(2122xgyxxu)()(61),(23ypxhyxyxuyuxuxycos,120)()1()0()(61cos22yphpxhyyx)()1(61cos2yphyy)0()(2pxhx161cos)()(22y

20、yxypxh161cos61),(2223yyxyxyxu数理方程研究生无界弦的强迫振动问题 （A）解记为（B）解记为由叠加原理可知第三节一维非齐次波动方程的cauchy 问题2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx 2(,),0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uf x txtu xx u xx 1(,)u x t2(,),0,(,0)0,(,0)0.ttxxtua uf x txtu xu x 2(,)ux t12(,)(,)(,).u x tu x tux t数理方程研究生问题（C）定理（齐次化定理）设 是问题（C）的解，则 是问题（B）的

21、解。(,;)xt2,|0,|(,)ttxxtt tatf x0(,)(,;)tu x tx td数理方程研究生2222sincos0dyxdxdyx dx解 特征方程为特征曲线为 1cosCxxy2cosCxxy例 求方程22sincoscos0 xxxyyyyuxuxuxu的一般解.sin1dyxdx 数理方程研究生xyxcosxyxcos所以，做变换则原方程可以变为 02u)cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中 ,是任意的二次连续可微函数.1f2f于是，方程的通解为数理方程研究生第四节 三维波动方程的Cauchy问题一、三维齐次波动方程的Cauchy问题 对一维波动方程的Cauc

22、hy问题的DAlembert公式 200(),0.()|(,),|(,).ttxxyyzztttua uuux y ztuf x y zug x y z 11(,)()()()22()()22x atx atx atx atx atx atu x tf xatf xatgdattfdgdtatat数理方程研究生 是初始位置f与初始速度g在以x为中心，以at为半径的区域x-at，x+at上的算术平均值。考虑f(x,y,z)和g(x,y,z)在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上的平均值11()()22x atx atx atx atfdgdatat与2 22 211(,),(,).44

23、MMatatssffds ggdsa ta t 数理方程研究生 于是（*）问题的解为该公式称为poisson公式（球面均值法）其中 是以M(x,y,z)为中心，以r=at为半径的球面。2 22 2(,)()(,)(,)441(,)1(,)44MMatatMMatatssssttu x y z ttftgfdsgdstta ta tfgdsdsa trar Mats数理方程研究生将公式在球坐标下化为累次积分球面 的方程为则有Mats2222()()()()xyzat2 2sincossin sin,0cos02sinxatyatzatdsa td d 数理方程研究生故200200(,)(sin

24、cos,sin sin,cos)sin4(sin cos,sin sin,cos)sin4tuxyztf x aty atz atd dttgx aty atz atd d 数理方程研究生例：解：200(),0.|2,|0.ttxxyyzztttua uuux y ztuxy u 200(sincos)2(sin sin)sin42tuxatyatd dtxy 数理方程研究生二、三维非齐次波动方程的cauchy问题20021002()(,),0.|(,),|(,).(),0.()(,)|(,),|(,).()(,)()ttxxyyzztttttxxyyzztttttxxyyzzua uuuF

25、x y z tx y ztuf x y zug x y zua uuux y ztAu x y z tuf x y zug x y zua uuuF x y z tB 200220,0.(,)|0,|0.(),.()|0,|(,),.(,)(,)tttttxxyyzzttttx y ztux y z tuuax y ztCF x y zux y z tx y z td 则数理方程研究生2 22 22(,)(,)(,)44(,)1.4MMatatssr atttu x y z tfdsgdsta ta trFtadvar 故数理方程研究生()()()()2()02021(,)(,)|41(,)(

26、,)|4(,)14(,)14Ma tMa tMa tr a tstr a tsatsr atFx y z tdsarFux y z tddsarrFtadrdsarrFtadvar 数理方程研究生第五节 二维波动方程的cauchy问题一、二维齐次波动方程（降维法）令200(),0.|(,),|(,).ttxxyytttuauux ytufx yug x y 200(,)(,),0,(),|(,),|(,).ttttxxxxyyyyzzttxxyyzztttu x y z tu x y tuu uuuuuua uuuuf x yug x y改写方程为数理方程研究生利用三维波动问题的poisson

27、公式1)上、下半球面在坐标平面上的投影为 上、下半球面的面积元素相同()utftgt2 222221,4:()()()()MatMatffdsa txyzat222()()()xyat数理方程研究生2222222222222222()()(),1,(),()()()(),()()()1,()()()zatxydsd dxatxyyatxydsd datd datxy 数理方程研究生2222 22 22 22 2222222()()()141()42424()()()1(,)2()()()MatDxyatffdsa tfdsfdsa tfdsa tatfd da tatxyfd datatxy

28、下上上数理方程研究生2220022200cos,sin1(cos,sin),2()1(cos,sin).2()().atatxrd drd dryrf xryrfdrdratatrg xryrgdrdratatruutftgtpoisson 令同理所以,该公式为二维波动方程的公式。数理方程研究生二、二维非齐次波动方程的cauchy问题2002100200()(,),0.|(,),|(,).(),0.()(,)|(,),|(,).()(,),0.()|0,|ttxxyytttttxxyytttttxxyytttua uuF x y tx ytuf x yug x yua uux ytAu x y

29、 tuf x yug x yua uuF x y tx ytBuu 2220(,)0.(),.()|0,|(,),.(,)(,)ttxxyyttttux y tax ytCF x yux y tx y td 则数理方程研究生()()22220222122221(,)(,)2()()()1(,)(,),2()()()1(,)2()()()1(,)2Ma tMa tMattFx y td daa txyFux y z tdd daa txyfuuud da ta txyga 因此，()2220222()()()1(,).2()()()MatMa ttd da txyFdd daa txy 数理方程研究生例：200(),0.|0,|.ttxxyytttua uux ytuuxy 22200222222000000,cossin2()1cossin2()()().atatatfftxryrutgdrdratatrxyrrdrdrdrdraatratrxy t解：数理方程研究生物理意义三维情形-惠更斯原理（无后效性现象）二维情形-波的弥散（后效现象）