《概率论与数理统计教程-朱庆峰》第7章假设检验课件

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1、7.2 参数假设检验一、单个总体参数一、单个总体参数的检验的检验二、两个总体参数的检验二、两个总体参数的检验三、小结三、小结一、单个正态总体均值与方差的检验2212(,),-,0(,)nX NXXXX 设设总总体体并并设设为为来来自自总总体体 的的样样本本.1.均值 的检验均值 的检验0010():AHH 0010():BHH 0010():CHH -双侧假设检验双侧假设检验-单侧假设检验单侧假设检验2(1)为为已已知知(0,1);XUNn 0H 0 0当(=)成立时,当(=)成立时,(A)(0,1)N000/XUUn 统统计计量量对于给定的对于给定的 10 01/2PUu 101/2Wuu

2、由此得拒绝域由此得拒绝域 W11 12010(,)nxxxuH据据样样本本值值计计算算 的的值值，判判断断是是否否落落入入W W中中,从从而而作作出出是是否否拒拒绝绝的的推推断断.(B B)0H 0 0当当 ()成成立立时时,000/XUn 统统计计量量(0,1);XUNn 01PUu 1PUu 201Wuu 由此得拒绝域由此得拒绝域 W2(C C)0H 0 0当当 ()成成立立时时,30Wuu 拒绝域拒绝域 UU-检验法检验法-借助的枢轴量服从借助的枢轴量服从N(0,1)分布的检验法分布的检验法(0,1);XUNn 例例1cm,cm,今从一批产品中随机的抽取今从一批产品中随机的抽取15段进行

3、段进行测量测量,其结果如下其结果如下:7.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104.101.106.104.10假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态分布,且标准差没有且标准差没有变化变化,试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?).(10 解解2(,),0.15,N 因为,5.10:,5.10:10 HH要要检检验验假假设设0010.48 10.5 u /0.15/15xn则,516.0 查表得查表得0.95121.645,uu00.95|0.5161.645uu于是 .,0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n

4、,48.10 x0.1,2(2)为未知 ,2未未知知因因为为 0 ./Xn不能利用来确定拒绝域22 ,S因为是的无偏估计 ,S故用来取代00 ./XTSn即采用来作为检验统计量00T=(1),/Xt nSn01/2(1)/XPtnSn由由t分布分位数的定义知分布分位数的定义知H0为真时，.:,:0100 HH检检验验假假设设0101/2(1)/xWttnsn拒绝域为0201(1)/xWttnsn 030(1)/xWttnsn t t-检验法检验法-借助的枢轴量服从借助的枢轴量服从t-分布的检验法分布的检验法(1)/XTt nSn 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的

5、长度服从正态分布布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05.0(解解22(,),N 依题意均为未知,5.10:,5.10:10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05.0 0.237,s 0010.48 10.5/0.237/15xtsn,327.0 查表得查表得1/20.975(1)(14)tnt1448.2 00.327,t .,0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 H例例22.2 2方方差差的的检检验验（未未知知）22220010():,AHH 22220010():,BHH 222

6、20010():.CHH -双侧假设检验双侧假设检验-单侧假设检验单侧假设检验220220(1)(1)nSn 2200:,H 在成立时在成立时(A)220022122(1)(1)Pnn 或或 2210222021(1)(1 Wnn 或或由此得拒绝域由此得拒绝域 W12200:H 在在成成立立时时(B)222202202(1)()(1)1nSnSn 22220(1)(1)PnPn 由由 21220(1)Wn 得拒绝域得拒绝域 2200:H 在在成成立立时时(C)拒绝域拒绝域 21230(1)Wn 2 检验法检验法2 借借助助的的枢枢轴轴量量服服从从于于分分布布P376：例二、两个正态总体均值与方

7、差的检验二、两个正态总体均值与方差的检验21211,(,),mx xxN 设为来自正态总体的样本 ,:,:211210HH需要检验假设需要检验假设:21222,(,),ny yyN 为来自正态总体的样本两样本独立 ,21均为未知均为未知又设又设,2221已已知知,上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 0,:0,:211210HH（u检验法）检验法）2212()/Uxymn取检验的统计量为),(,100NUH统统计计量量成成立立时时当当 .取显著性水平为取显著性水平为22121/2|()/|Pxyumn由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知故拒绝域为故拒绝域为221211/

8、2|()/|Wxyumn221221|()/|Wxyumn22123|()/|Wxyumn4,5,(:):2427262124:2728233126,5,8,0.05,?A BA BmgABAB例卷烟厂向化验室送去两种烟草 化验尼古丁的含量是否相同 从中各随机抽取重量相同的 例进行化验 测得尼古丁的含量 单位分别为据经验知 两种烟草的尼古丁含量均服从正态分布 且相互独立种的方差为种的方差为 取问两种烟草的尼古丁含量是否有显著差异,A B解 以 和 分别表示两种烟草的尼古丁含量221122(,),(,),.NN 则且独立211210:,:HH欲检验假设欲检验假设22125,8,5.mn现已知由所

9、给数据求得27424yx,.221224.427()/1.6125855uxymn 1/200.05,1.96,|1.6121.96,.uuH对查正态分布表得由于故接受原假设 利用利用t检验法检验法检验具有检验具有相同方差相同方差的两正态总的两正态总体均值差的假设体均值差的假设.22212 x,xyySS 又设分别是总体的样本均值是样本方差均为未知21211,(,),mx xxN 设为来自正态总体的样本21222,(,),ny yyN 为来自正态总体的样本两样本独立211210 ：，：检检验验假假设设HH .取显著性水平为取显著性水平为1212()()(2)11wxyTt mnSnn222(1

10、)(1).2xywmSnSSmn其中12()(2),11wxyTt mnSnn ,0为真时为真时当当H对给定的对给定的 ,1/212()(2)11wPtnnSmn使得1-/2(2).ttmn由 分布的分位表可查得 故拒绝域为故拒绝域为11/2()(2)11wxyWtmnsmn21()(2)11wxyWtmnsmn3()(2)11wxyWtmnsmn例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品,从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件,测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,

11、20.1,20.0,19.0,19.9机床乙机床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异?假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布,且总体方差相等且总体方差相等.解解2212,(,)(,),NN 依题意两总体和分别服从正态分布和,221均为未知均为未知 )05.0(.:,:211210 HH需需要要检检验验假假设设,81 n,925.19 x210.216,s,72 n,000.20 y220.397,s22212(8 1)(7 1

12、)0.547,872wsss且0.975 (13)2.160,t查表可知|7181|wsyxt,160.2265.0 ,0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异.,:,:222222 1110HH需要检验假设需要检验假设:3.两正态总体方差的检验（两正态总体方差的检验（F检验）检验）202,(1,1).xySHFF mnS当为真时221222/(1,1)./xySFF mnS221/2/222(1,1)(1,1)xxyySSPFFmnFFmnSS1/212/212(1,1)(1,1)FFnnFFnn或检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为

13、上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖,抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(公斤公斤),得到结果如下得到结果如下:1122:10,27.3,6.4;:8,30.5,3.8;nxSnyS第一批第二批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布,试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异?(2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异异?)05.0(均取均取(1)检验假设检验假设:2221122210:,:HH例例3,检验

14、法检验法用用F,0为真时为真时当当H211222(1,1),SFF nnS统计量查表知拒绝域为查表知拒绝域为1/212(1,1)FFnn/212(1,1),FFnn或221212 10,8,40.96,14.44,nnSS由0.975(9,7)4.82,F0.0250.9751(9,7)0.283,(7,9)FF,837.244.1496.40 F得得,82.4837.2283.0 显显然然.,0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接接受受 H(2)检验假设检验假设:211210:,:HH,检检验验法法用用t,0为真时为真时当当H1212 (2),11wtt n

15、nSnn统计量222112212(1)(1).2wnSnSSnn其中查表知拒绝域为查表知拒绝域为1/212(2)ttnn0.9750.975(1082)(16)2.1199,tt 由,418.5,3575.291644.14796.4092 wwSS1227.330.5 1.2455.418 0.47411wtSnn得,1199.2.,0显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的期期望望无无所所以以接接受受 H四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:检检验验检检验验的的检检验验单单个个总总体体均均值值t;U.1;tU.321检检验验检检验验，的的检检验验

16、两两个个总总体体均均值值差差 正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 )(显显著著性性水水平平为为 ;.2检检验验法法验验法法单单个个正正态态总总体体方方差差的的检检 2 ;.检检验验法法验验法法两两个个正正态态总总体体方方差差的的检检F4 4)(未未知知22221212121 000112121/212(2)(2)(1)ttnntt nnttnn2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()(0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 2

17、22121nnYXU 000 000 00011/2uuuuuu11/2(1)(1)(1)ttnttnttn11/2uuuuuu32 170H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未知未知21222122212221 )(成对数据成对数据000 DDD nSDtD/0 000 DDD 11/2(1)(1)(1)ttnttnttn)(未知未知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 2212222/2221/2(1)(1)(1)(1)nnnn或11212/2121/212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)FFnnFF nnFFnnFFnn或65