多元函数微积分第二节

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第二节 全微分和偏导数,一、全微分的概念,二、偏导数的概念,三、偏导数的计算,四、二元函数的偏导数的几何意义,五、函数可微的条件,一、全微分的概念,1、全增量的概念,2、偏增量 如果 ，即只给自变量 以增量 由此 引起的函数增量 叫做函数 在点 对应的自变量 的增 量 的偏增量； 同理，可以定义 为函数 在点 对应的自变量 的增 量 的偏增量.,3、全微分的定义：,1、定义,二、偏导数的概念,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,三、偏导数的计算,方法：从定义可以看出，在计算偏导数时，并 不需要新的方法.因为这里只有一个变量在动， 其余的自变量看作常量.,解,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,如图,四、二元函数的偏导数的几何意义,几何意义:,五、函数可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在.,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,求多元函数的全微分的运算，叫做多元函数的微分法,多元函数连续、可导、可微的关系,