1.1.1 集合的含义与表示

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1、保山曙光学校高一数学必修1 李华 教学设计1.1.1 集合的含义与表示一、 内容与解析（一） 内容：集合的含义与表示（二） 解析：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。二、 教学目标及解析（一） 教学目标（1） 使学生明确本章学习的重要性，初步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。（2） 解析：用集合的观点研究数学，是使数学研究的内容站在一个更系统的方向上，是学习数学的基础，本节是一些基本

2、概念，必须掌握好。三、 问题诊断分析集合的含义与表示，在高考中主要考查集合的三个特性、集合的表示法等，题型多以选择题和填空题为主，难度较小.虽然有时不直接考查，但也会作为集合的基础知识，渗透到解答题中与函数、方程、不等式等综合考查. 集合作为数学学习的基础，是必须学好，也必须透彻理解的一部分知识.四、 教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、 教学过程1.集合有关概念的教学：考察几组对象：

3、 120以内所有的质数； 到定点的距离等于定长的所有点；所有的锐角三角形；x, 3x+2, 5y-x, x+y；东升高中高一级全体学生； 方程的所有实数根； 隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；2005年1月,广东所有出生婴儿。A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。即集合元素三特征。确定性：某一

4、个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。无序性：集合中的元素没有顺序。D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： 不等式x-30的解；3的倍数；方程x22x10的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：aA； 如

5、果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA。 练习：设B1,2,3,4,5，则5 B，0.5 B， 3 B， -1 B。3.最常见的数集： 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。 这些数集是最重要的，也是最常见的，我们用符号表示：N、Z、Q、R。 正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。4. 列举法的教学： 比较：方程的根、 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来。P4 例1 练习：分别表示方程x(x1)=0的解的集合、15以内质数的集合。注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与a不同。5. 描述法的

6、教学： 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为，其中x代表元素，p是确定条件。 P5 例2 练习： A.“不等式x-30的解”与“抛物线yx-1上的点的坐标”用描述法表示B. 用描述法表示方程x(x1)=0的解的集合、方程组解集。C.用描述法表示：所有等边三角形的集合、方程x+1=0的解集。 简写原则：从上下文关系来看，、明确时可省略，如,强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。下列

7、写法实数集，R也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：试用适当的方法表示方程x-8x=0的解集。六、类型题探究题型一 集合的概念与特征例1分析下列各组对象能否构成集合：（1）与2010接近的数；（2）一次函数的图象上的若干个点；（3）正比例函数与反比例函数的图象的交点；（4）面积比较小的三角形. 判断所给的对象是否具有确定性有确定性则能构成集合，否则不能.【思维导图】【解答关键】判断对象是不是确定的，关键找到是否有一个衡量的标准.【规范解答】 “接近的数”、 “若干个点” “面积比较小”都是

8、模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故（1）、（2）、（4）不能构成集合.而（3）中正比例函数与反比例函数的图象交点为，所以这两个函数的图象的交点能构成集合.【技巧感悟】判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.【活学活用】1.(广东始兴中学09-10高一月考)在“高一数学课本中的难题；所有的正三角形；方程的实数解”中，能够构成集合的是( )A B C D1. C 解析：课本中的难题没有明确的标准，不满足集合的确定性.都是集合.题型二 集合与元素的关系结论集合集合的互异性集合的确定性例2 已知，求实数的取值范围.

9、【思维导图】【解答关键】由确定性可知，或，由互异性可知.【规范解答】(1)若，则，此时集合为，不符合集合中元素的互异性，舍去.(2)若，则.当时，集合为，舍去；当时，集合为，符合.(3)若，则或.由上可知，和都不符合题意.综上所述，.【技巧感悟】在应用集合中元素的特征解题时，应首先考虑确定性，再结合互异性进行检验，否则很容易出错.这一点必须在学习中引起足够的重视.【思维方法】对于解决集合中元素含参数的问题，一定要全面思考.分类讨论思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握.【活学活用】2.已知集合且，求实数的值.2.解析：由题意，得.当时，；当时，或；当时，或.由集

10、合元素的互异性知且， 题型三 集合的表示方法例3 试选用适当的表示方法表示下列集合.（1）一次函数与的图象的交点组成的集合；分析元素的性质选择合适方法表示集合（2）用描述法表示二次函数的函数值组成的集合.【思维导图】【解答关键】在表示集合时，要根据题意选择适当的表示方法，要看清楚集合中的元素是什么，元素满足什么条件(共同特征)，区分符号语言所表达的含义.【规范解答】（1）因为，从而由一次函数与的图象的交点组成的集合为（2）因为，从而由二次函数的函数值组成的集合为【知识归纳】(1)把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫做列举法.在使用列举法时应注意：元素间用“，”分隔；元素不重复、无顺序

11、；对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号.(2)用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.其形式为：适合的条件，其中x叫做代表元素，为x的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.【误区警示】在使用描述法时应注意：弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数集、点集，还是其他形式；准确地说明该集合中元素的特征；应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的：，事实上它应表示为，或表示为.【活学活用】3（）用列举法表示集合.（2）用描述法表示方程

12、的解组成的集合.3解析：（）令，则对应的值为.所以用列举法表示集合为.（）此方程的，故方程无解，其解集可表示为.(二）小结七、目标检测1（福建福州八中09-10期中）已知集合，那么 ( )A. B. C. D. 1A 解析：可知，故选应选A.2已知集合中三个元素是的三边长，那么一定不是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形2D 解析：若为等腰三角形，则中至少有两个相等，根据集合中元素的互异性可知，中不可能有两个相等，故选D.3(山东聊城实验中学09-10期中)下列四个说法中，正确的个数是（ ）； ； 若，则； 集合A=x | 含有2个元素 A. B. C. D.

13、3 B 解析：是由点构成的单元素集，而是一个数，不是点，从而错误；则当时，不正确；中的集合只有一个元素，故选B.4下列集合中表示同一个集合的是（）A.B.C. D.4. C解析：集合中元素满足无序性.5集合所有元素是（）A.，B.，C.，D.，5. D解析：由可知，是的约数（或者能被整除）且.故，解得其中，所以集合中的所有元素是，6（湖北省部分重点中学09-10期中联考）已知集合，若中至多有一个元素，则的取值范围是 A. B. 或 C.或 D.6. C 解析：至多有一个元素，包含有没有元素和只有一个元素两种情形，故可得C正确.二、填空题7.用符号或填空:(1)_； (2) （1，1）_； (3

14、) _7. （1） （2） （3）8. (山东省实验中学10届高三诊断测试)定义集合运算: .设，则集合的所有元素之和为 8. 8 解析：或，所有元素之和为.三、解答题9.用适当的方法表示下列集合（1）20的所有质因数（2）满足大于3且小于-1的实数构成的集合（3）所有4的倍数9.解析：（1）20的所有质因数为：2、4，故用列举法表示为2，5；（2）满足大于3且小于-1的实数构成的集合中没有元素，故可表示为；（3）所有4的倍数，可用描述法表示为：. 10.已知由实数组成的集合满足:若,则.（1）设中含有个元素，且，求；（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.10.解析：（1）因为，所以

15、，又，所以, ,故（2）假设中仅含一个元素，不妨设为， 则，有.又中只有一个元素，所以.即，此方程，即方程无实数根.因此不存在这样的.高考能力演练11.（江西南昌三中09-10月考）下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3），这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个11.11. B 解析：（1）中“很小的”不确定；（2）中集合代表元素分别为数集和点集；（3）中，相同，重复，不满足互异性；（4）中元素为第二和第四象限内的点.12.(09北京理20)已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.分别判断数集与是否具有性质，并说明理由.12.解析：由于与均不属于数集，该数集不具有性质.由于都属于数集，所以该数集具有性质.