数模第一次作业

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1、数模第一次作业 姓名（学号）杜永志（07114140） 蔡国栋（07114136）学院 理学院 老师 穆 学 文 问题1: 如果在食饵-捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。问题2: 恶狼追兔问题. 设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。问题3: （2007年全国数模竞赛a 题） 利用雷斯利模型（Leslie）研究中国未

2、来的人口发展状况。问题一 该问题添加了“捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获”这一条件，这里将捕食者看做鲨鱼，食饵看成食用鱼，按其体积大小分为“大鱼”和“小鱼”2类，研究大鱼，小鱼以及鲨鱼三者的稳定性。符号说明序号符号意义1x1(t)食饵中大鱼在时间t的数量2x2(t)食饵中小鱼在时间t的数量3y(t)捕食者鲨鱼在时间t的数量4x1(t)大鱼增长率5x2(t)小鱼增长率6y(t)鲨鱼增长率7a捕食者鲨鱼掠夺食饵中大鱼的能力8b大鱼对鲨鱼的供养能力9d鲨鱼离开食饵的死亡率10r1大鱼产小鱼的速率（小鱼的出生率）11r2小鱼长大成为大鱼的速率问题分析 对大鱼而言，小鱼成

3、长使得其增长率变大，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；被鲨鱼捕食增长率变小，减小的程度与捕食者数量成正比,系数为a。于是x1(t)满足方程 x1(t)=r2x2-ax1y (1) 对小鱼而言，小鱼成长使得其增长率变小，比例系数为r2，与小鱼数量x2有关；大鱼产小鱼使得增长率变大，比例系数为r1，与大鱼数量x1有关。于是x2(t)满足方程 x2(t)=r1x1-r2x2 (2)对鲨鱼而言，大鱼的存在使得其增长率变大，变大的程度与大鱼数量成正比，系数为b；鲨鱼离开食饵无法生存，死亡率为d。于是y(t)满足方程 y(t)=bx1y-dy (3)以上三式就是自然环境下，大鱼小鱼以及鲨鱼三者之间依存和

4、制约的关系。 令三式右端为零，得到方程组，并把（1）（2）式得到的方程相加的 r1x1-ax1y=0 (4) 与（3）式得到的方程 bx1y-dy=0 (5)构成方程组解得两个平衡点 ：P1（0,0,0） P2（d/b,r1d/r2b,r1/a）(按照（x1,x2,y）排列)然后按照Volterra食饵-捕食者模型中的相轨线分析方法分析x1(t) ,y(t)在P1，P2点的稳定性，把x1(t)的结果代入（2）式即得到x2(t)的稳定性，综合x1(t),x2(t),y(t)即得到成年食饵，未成年食饵和捕食者三者的稳定性关系问题二 解：设兔子速度为v, 则狼得速度为2v, 兔子安全回到巢穴得时间为

5、t1=60/v 狼到兔子巢穴的最短距离为(602+1002)(1/2)=20*34(1/2) 狼到兔子巢穴的最短时间为t2=20*34(1/2)/(2v)=10*34(1/2)/v 显然只要v0,就有 t1t2所以 兔子不能安全回到巢穴。问题三 1、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在本文建立了

6、我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）： 以人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。2、问题假设1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争。不随时间而变化2、超过90岁的妇女都按90岁年龄计算3、在较短的时间内，平

7、均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响3.符号说明序号符号意义1表示年份（选定初始年份的）2人口增长率3人口数量4在时间段第年龄组的人口总数5第年龄组的生育率6第年龄组的死亡率7第年龄组的存活率8Leslie矩阵92001年全国人口总数102001年城市总人口112001年镇总人口122001年乡总人口132001年第年龄段的人口总数4.模型建立与求解一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是

8、女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系： （9）在（9）式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。若记矩阵 （10）则（9）式可写作 （11）当、已知时，对任意的有 （12）若（10）中的元素满足（）；（），且至少一个。则矩阵称为Leslie矩阵。 只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。

9、二、模型的建立我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中所给数据，以一岁为间距对女性分组。(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量：人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3表 3城市男147907城市女147465镇男80279镇女77976乡男394690乡女372242根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：我们由表1数据知2001年全国总人口（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单

10、位：千万）：、根据人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分别为。以城市为例，设2001年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第年龄段上的妇女总人数（见表2）。（2）计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数。人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则可以分别算出2001年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含

11、男孩和女孩），记为：。以城市为例计算：（镇、乡类似）。人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。由此就可以求出2001年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：，由于总和生育率： 经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正：具体计算结果见附录7。(3) 计算第年龄段的女性总存活率率：记第年龄段的女性的死亡率为。人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中分别给出了城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：，于是总存活率为：。用EXCEL

12、对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，于是可以用上面(12)式 进行预测5、模型的评价一、模型的优点：在模型中我们充分考虑到不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie模型，建立年龄结构的离散模型，并通过合理假设，在时间跨度不大的前提下，对人口数量仅此进行了预测。因为原始数据得到的人口总和生育率跟实际情况不符，我们对此进行了合理修正，使预测更为准确。在模型中我们对不同的平均妇女生育胎数下人口总数及老龄化趋势进行了分析，得到适合平均生育胎数的最佳值。二、模型的缺点：在模型假设中我们及不随时段的变迁而改变这一理想状态下，但出生率及死亡率会

13、随时间的变化而有所该变，本模型没有建立与死亡率随时间变化的动态模型，因而存在一定的误差。三、模型的改进：随着人民的生活水平的提高和医疗卫生的改善，各年龄的死亡率不断下降，存活率不断提高。因此我们可以对Leslie模型进行进一步改变：记时段年龄组中女性所占的百分比为，并设为育龄女性的年龄组，则时段新生儿为我们引入控制变量，使得=1，这里，称为女性生育模式，我们将lestie矩阵变成：其中 在一定时期内（这里j从0到90），为平均生育胎数，和可视为与无关的常数，我们可以通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来求的最佳值，从而达到控制人口数量和年龄结构的目的。相关数据表1 各年份全国总人口数（单位：千

14、万）年份195419551956195719581959196019611962总人口60.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971总人口69.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980总人口87.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989总人口100.1101.654103.008104

15、.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998总人口114.333115.823117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005总人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.756 表2： 年龄女性总人数（万人）出生婴儿数平均有孩子数女性死亡率存活率0680.8912721000.0250930340.9749069661584.591

16、7197000.0006787690.9993212312584.5582068000.002275670.997724333692.2202166000.0007523840.9992476164724.1102102000.0004325820.9995674185775.5360408000.0008193370.9991806636847.368918000.0001120520.9998879487834.4187027000.0006124040.9993875968917.9220422000.0003814140.9996185869951.4668194001.43283E-

17、050.999985672101070.015717000.0006105660.999389434111249.256063000.0002756460.999724354121199.263988000.0001982040.999801796131202.198525000.0003723740.999627626141274.218917000.0002952050.999704795151111.0508390.049752824.478E-050.0003603140.99963968616992.31442550.319692670.0003221690.0002715380.9

18、9972846217893.79754350.320199030.0003582462.54672E-050.99997453318874.65734670.8786842150.0010046040.0008266730.99917332719984.35687724.6101047520.0046833670.0010458820.99895411820859.57677859.4649417930.0110111650.0005589330.99944106721852.153460128.64641020.0336164920.0006426080.99935739222908.644

19、180352.588139950.0578753940.0007093250.99929067523897.944807567.230678280.0748717270.0010008240.99899917624880.539323360.917476650.0691820060.0001183960.999881604251019.08672477.490478720.0760391410.0011036530.998896347261042.1866770.085959460.067248950.0016440610.998355939271114.82373158.449546110.

20、0524294060.0008646610.999135339281192.86719952.167022110.0437324640.0009254730.999074527291203.56657241.343115860.0343505020.0011273480.998872652301272.97399531.356827930.0246327330.0008192060.999180794311328.51357630.891304070.0232525320.0010818410.998918159321254.99240323.021388240.0183438470.0009

21、538880.999046112331333.81944519.608846380.0147012750.0009576460.999042354341103.18612312.179131650.0110399610.0006039730.999396027351224.703078.716893790.0071175570.0013750280.998624972361220.6434426.2189869480.0050948430.0017472840.998252716371236.7363194.4434818470.003592910.0004021450.99959785538

22、1390.7264153.4974796710.0025148580.0012890550.99871094539980.76511152.4369863710.0024847810.0009967260.99900327440646.6840691.1412091730.0017647090.0005565560.99944344441785.66062321.156212920.0014716440.0008585850.99914141542701.62759190.4749692440.0006769530.0012278990.99877210143910.42011230.2416

23、948830.0002654760.0010594950.99894050544960.15764630.3854787950.0004014740.0020949950.99790500545914.25871260.3737294990.0004087790.0016254380.99837456246953.98056810.1053642040.0001104470.0022162260.99778377447927.42995610.1784388040.0001924010.0024033340.99759666648851.00775860.3313999710.00038942

24、10.0026550940.99734490649825.48235860.1849653410.0002240690.0030455010.99695449950807.9428229000.0033302160.99666978451736.5520021000.0039692410.99603075952690.4320402000.0049933610.99500663953605.8029501000.0038425120.99615748854615.5106238000.0053522560.99464774455554.7856629000.0042205650.9957794

25、3556503.7013501000.0043476870.99565231357480.0517619000.004222870.9957771358468.7228174000.0075221940.99247780659455.3640586000.0050304360.99496956460484.3865412000.0118694630.98813053761447.3446813000.0107151320.98928486862420.1644977000.0112960390.98870396163442.3803304000.0116974370.9883025636442

26、6.5290912000.015791760.9842082465428.1838749000.0155045840.98449541666391.3295304000.0147012650.98529873567380.4091293000.0199379110.98006208968385.3399674000.0210716930.97892830769327.9245739000.0226415540.97735844670334.6977109000.0288730110.97112698971307.330012000.0306961010.96930389972262.86483

27、37000.0300201820.96997981873270.6631827000.035949410.9640505974235.8721654000.0382596880.96174031275208.7254946000.032702940.9672970676212.001549000.0516976540.94830234677178.4567718000.0534284410.94657155978164.2603163000.0503586130.94964138779149.8428327000.0640506090.93594939180138.7349163000.087

28、5105180.91248948281109.899949000.07381950.92618058297.35827722000.0762421370.9237578638376.5762000.0712420940.9287579068463.8135000.0817696670.9182303338555.79412278000.1122386110.8877613898649.39601634000.1146931420.8853068588738.2881000.1248219140.8751780868833.54477722000.1175042480.8824957528923.87061634000.1755712990.82442870190+70.21160644000.22823760.7717624