同济大学微积分第三版课件第三章第三节

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1、第三节 不定积分的分部积分法,本节要点,本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重,要积分公式分部积分公式,设函数 具有连续的导函数, 则由乘,移项后, 两边积分得:,分部积分公式,积的导数公式, 有,上式即称为不定积分的分部积分公式.,注1 分部积分法的关键是如何选择好 使得,一般地, 可按反（三角函数）, 对（数函数）三（角,比 容易求得.,函数）, 指（数函数）的顺序来选择,常见积分及相应规则如下:,将指数函数或三角函数视为 交换后对幂函数求导;,将幂函数视为 交换后对对数函数或反三角函数求导.,例1 求积分,解 取,则,注意到, 若选择错误的话, 则积分后为:,此时经过分部积分后,

2、 积分表达式比原积分式更为复杂,此说明前面的选择错误.,思考: 问题的原因是什么?,例2 求积分,解,注 一般还可用下面方法求 其中（,设 其中 为待定,系数的与 同次多项式, 在,两边求导，得,比较系数即得,即:,为多项式）形式的不定积分:,例3 求积分,解,注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.,例4 求积分 及积分,解,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,而,代入到上面的积分, 有,例8 求积分,解,将等式右端的积分式移到等式的左边, 即得,用此方法, 还可求出形如,的积分.,例9 求积分,解,例10 求积分,解,移项后得:,在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分,例11 求积分,解 作代换 则，,例11说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积,法.,分法同时在使用.,例12 求积分,解 令,则原积分为,例13 求积分,解,