奥数第5讲[1].竞赛123班.教师版

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1、有知识的人不实践，等于一只蜜蜂不酿蜜萨迪第五讲 应用问题综合强化教学目标1. 掌握和差倍分、年龄、盈亏问题的解题方法；2. 利用基本方法解答复杂应用题。经典精讲应用题的种类有许多，一般可以按照如下三类来划分、归类：第一类：按照题目内容划分，如行程问题、年龄问题、时钟问题等；第二类：按照题目本质划分，如和差倍分问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等，这一类题涉及的是思想方法，可以变成第一类中的任何一种问题；第三类：按照解题方法划分，如从反面考虑问题、还原问题等。本讲是对原来学过的和差倍分问题、年龄问题、盈亏问题进行总结强化，同时帮助同学们不断回顾已有知识，更加深刻掌握解题的思路和方法！和差倍分问题【例1

2、】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍。如果评出一、二、三等奖各人，那么每个一等奖的奖金是元。如果评出个一等奖，个二等奖，个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【分析】 我们把每个三等奖奖金看作份，那么每个二等奖奖金是份，每个一等奖奖金则是份。当一、二、三等奖各评人时，个一等奖的奖金之和是元，个二等奖的奖金之和等于个一等奖的奖金元，个三等奖的奖金等于个二等奖奖金元。所以奖金总额是：元。当评个一等奖，个二等奖，个三等奖时，个一等奖奖金看做份，个二等奖奖金（份），个三等奖奖金的份数是（份），总份数就是：（份）。这样，可以求出份

3、数为元，一等奖奖金为：（元）。前铺 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为，已知甲校学生人数的倍，乙校学生人数减，丙校学生人数加都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？分析 甲校学生人数为：，乙校学生人数为：，丙校学生人数为：。甲、乙、丙三校的人数分别为，。【例2】 有堆苹果，较小的堆平均有个苹果。较大的堆，苹果数之差为个。又较大的堆平均有个苹果，较小的堆苹果数之差为个。最大堆与最小堆平均有个苹果。问：每堆各有多少个苹果?【分析】 最大堆与最小堆共个苹果。较大的堆与较小的堆共个苹果。所以中间的一堆有：个苹果；较大的堆有：个苹果；最大的一堆有：个苹果；次大的一堆有：个苹果；较小的堆有：个苹果；次

4、小的一堆有：个苹果；最小的一堆有：个苹果。【例3】 某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛。这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持小时，另一支可以维持小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍。这次停电时间是多少小时？【分析】 两支蜡烛长度相同，一支可以维持小时，另一支可以维持小时，所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为。现在可以维持小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长小时。所以另外一支剩下的部分可

5、以燃烧的时间为小时，这次停电的时间为小时。前铺 某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是样的。开始时长蜡烛是短蜡烛长度的倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的倍。短蜡烛燃烧掉的长度是厘米。问原来两根蜡烛各有多长？分析 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)。所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度倍原短蜡烛长度，差为倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度倍后短蜡烛长度，差为倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了倍后短蜡烛长度，为厘米，所以原短蜡烛长厘米，原长蜡烛长厘米。【例4】 小明、小红、小玲

6、共有块糖。如果小玲吃掉块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明块糖，那么小明的糖就是小红的糖的倍。问小红有多少块糖？【分析】 如果小玲吃掉块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多块；如果小红给小明块糖，那么小明的糖就是小红的糖的倍，即小明的糖加是小红的糖减后的倍，说明小明的糖是小红的糖的倍少块。所以，小红有块糖。【例5】 有只盒子，每只盒内放有同一种笔。只盒子所装笔的支数分别为支、支、支、支、支、支、支、支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的倍，铅笔支数是钢笔支数的倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？【分析】 铅笔数是钢笔数的倍，圆珠笔数是钢笔数的倍，因此这三种

7、笔支数的和是钢笔数的倍。除以余，所以水彩笔的支数除以余，在上述盒的支数中，只有除以余，因此水彩笔共有支。年龄问题年龄问题是小学数学中常见的一类问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合。它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。年龄问题有如下特点：年份变化但两人年龄差总是不变；两人年龄同时随着年份的变化而增加同一个自然数；两人年龄随着年份的变化，两者之间的倍数关系也随着发生变化。【例6】 （年湖北省“创新杯”初赛题改编）现在哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的倍。而年前哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，则哥哥现在的年龄是_岁。【分析】 把

8、弟弟年前的年龄看作是份，那么哥哥年前的年龄是份，年龄之差为份。现在弟弟的年龄为“份加上岁”，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，所以年龄之差为“份加上岁”，所以份的年龄为岁，哥哥现在的年龄为岁。前铺 （年“希望杯”第一试）欢欢对乐乐说：“我比你大岁，年后，我的年龄是你的年龄的倍。”欢欢现在_岁。分析 年后欢欢与乐乐的年龄差不变，还是岁，所以年后乐乐的年龄是岁。欢欢现在的年龄是：（岁）。【例7】 年前爸爸的年龄是小玲的倍，年后爸爸的年龄是小玲的倍。问现在父女俩的年龄各是多少岁？【分析】 年后爸爸的年龄是小玲的倍，那么两人的年龄差等于小玲当时（年后）的年龄，所以，两人的年龄差等于小玲年前的年龄加岁。年前爸爸

9、的年龄是小玲的倍，所以两人的年龄差等于小玲当时（年前）年龄的倍。由于年龄差是不变的，所以小玲年前的年龄的倍等于，小玲当时（年前）的年龄为：（岁），现在的年龄为：（岁），爸爸现在的年龄为：（岁）。【例8】 已知祖孙三人，祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同，祖父和孙子年龄之和为岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的倍。求祖孙三人各多少岁?【分析】 “祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同”这一条件较难理解，可作出示意图，从图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的倍。父亲的年龄为：(岁)，孙子的年龄为：(岁)，祖父的年龄为：(岁)。【例9】 五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄

10、最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？【分析】 如果最小的比只小岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于岁，而最大的比大岁，这样平均年龄必超过岁；如果最小的比小岁，那么可能还有一人比小岁，但最大的比大岁，而，从而平均年龄仍超过岁；如果最小的比小岁，那么最大的比大岁，两人的平均年龄正好是岁，其他三人如果年龄是、(或、)，那么五人平均年龄正好是岁；如果最小的比小岁或小岁，类似前面的分析可知，这时平均年龄必小于岁。因此 ，最大的年龄一定是岁。盈亏问题人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。所谓盈亏问题，

11、就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量的问题。解答此类问题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数盈亏总额两次分配数之差。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。【例10】 （年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃。下午收工后，猴王开始分配。若大猴分个，小猴分个，猴王可留个。若大、小猴都分个，猴王能留下个。在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多_只。【分析】 当大猴分个

12、，小猴分个时，猴王可留个。若大、小猴都分个，猴王能留下个。也就是说在大猴分个，小猴分个后，每只大猴都拿出个，分给每只小猴个后，还剩下个，所以大猴比小猴多只。【例11】 （年湖北省“创新杯”决赛）四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果。如果买芒果千克，还差元；如果买奶糖千克，则还剩元。已知每千克芒果比奶糖贵元，那么，辅导员老师带了_元钱。【分析】 这笔钱买千克芒果还差元，若把这千克芒果换成奶糖就会多出元，所以这笔钱买千克奶糖会多出元。而这笔钱买千克奶糖会多出元，所以每千克奶糖的价格为：（元）。辅导老师共带了元。【例12】 有一些糖，每人分块则多块，如果现有人数增加到原有人数的倍，

13、那么每人块就少两块，这些糖共有多少块？【分析】 第一次每人分块，第二次每人分块，可以认为原有的人每人拿出块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到块糖果，这些人每人还差块，一共差了块，所以新增加了人，原有人。糖果数为：(块)。前铺 少先队员植树，如果每人挖个坑，那么还有个坑无人挖；如果其中人各挖个坑，其余每人挖个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？分析 我们将“其中人各挖个坑，其余每人挖个坑”转化为“每人都挖个坑，就多挖了个坑”，这样就变成了典型的盈亏问题。盈亏总额为个坑，两次分配数之差为个坑。人数为人，一共要挖个坑。【例13】 巧克力每盒块，软糖每盒块，

14、要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？【分析】 新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的小朋友人数是的倍数。增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减。符合这两个条件的最小的数是，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有个小朋友，最后有个小朋友。附加题目【附1】 有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白

15、两色棋子。已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？【分析】 第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里的白子调换一下，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变。因为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作份，那么剩下的份都是第二堆的黑子，所以每堆都是份，共有棋子，白子共份，白子占全部棋子的。【附2】 小华爷爷的年龄是一个两位数，将这个两位数的两个数字交换位置得到小华爸爸的年龄，又知道他们的年龄差是小华年龄的倍。求小华的年龄。

16、【分析】 设小华爸爸的年龄为，那么小华爷爷的年龄为，且都为到的自然数。小华爷爷和爸爸的年龄差为：，为小华年龄的倍，所以是的倍数，可能为或者。若，那么只可能取，只能取，此时，但小华爸爸的年龄不可能为岁，所以，小华年龄为岁。【附3】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多人，乙班比丙班多人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，结果甲班比乙班共多分个枣，乙班比丙班总共多分个枣。问：三个班总共分了多少个枣？【分析】 设丙班有个小孩，那么乙班就有个小孩，甲班有个小孩。乙班每个小孩比丙班每个小孩少分个枣，那么个小孩就少分个枣，而乙班比丙班总共多分个枣，所以多出来的

17、那个小孩分了个枣。 同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，那么个小孩就少分个枣，而甲班比乙班总共多分个枣，所以多出来的那个小孩分了个枣。甲班每个小孩比乙班每个小孩少分个枣，个小孩就少个枣，因此我们得到：，解得。 所以，丙班有个小朋友，乙班有个小朋友，甲班有个小朋友；甲班每人分个枣，乙班每人分个枣，丙班每人分个枣。共分了个枣。巩固精练1. 甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同。若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学天的时间仅相当于甲自学天的时间。问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？【分析】 改变后，甲每天比乙多自学小时，即分钟。它是乙五天自学的时间，即乙现在每天

18、自学：（分），原来每天自学的时间是：（分）。2. 某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多人，现在把室内活动的人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?【分析】 原来室外、室内活动人数相差人，现把室内的人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的倍，人相当于现在室内活动人数的(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为，再求出室内、外人数之和：人。3. 小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大岁，今年全家年龄的和是岁，年前这一家全家年龄的和是岁。今年三人各是多少岁？【分析】 一家人的年龄和今年与年前

19、比较增加了（岁），而如果按照三人计算年后应增加（岁），只能是小芬少了岁，即小芬年前出生，今年是岁，今年父亲是（岁），今年母亲是（岁）。4. 幼儿园大班每人发张画片，小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍，小班比大班多发张画片，那么小班有多少人？【分析】 小班每个人就会发张画片，那么，小班的个人比大班的个人多发了张画片，总共多发了张，所以小班有人。学而思教育 四升五 竞赛123班 第五讲 教师版 Page 47 这是一项既包括舞蹈内容的柔美、飘逸，又有体育的刚劲、有力的女子运动，也被称为“水上芭蕾”。奥运会花样游泳包括双人和集体两项，比赛也在奥林匹克公园的国家游泳中心举行。每个国家或地区的奥委

20、会或协会只能参加一个集体和一个双人项目。集体项目比赛每队应有人，但可报名替补队员。按照规定，花样游泳比赛的泳池至少米宽、米长，并在其中米宽、米长的区域内，水深必须达到米。在规定动作比赛时，运动员必须头戴白色泳帽，身穿黑色游泳衣；自选动作比赛时，运动员需身穿艳丽的游泳衣，泳衣上可以设计不同的图案，头发盘成发髻并戴上各种美丽的头饰。奥运会花样游泳只进行技术自选和自由自选比赛，最后总成绩由技术自选和自由自选各占，总成绩最高的集体和选手获得金牌。自选比赛在比赛的时间限制、音响伴奏以及裁判员的评分要求上都有比较严格的规定。其中的技术自选受规则限制，按照一定动作内容和动作顺序完成整套动作，而自由自选则不受

21、内容和动作顺序的限制，可自由创编，自由组合。米罗的工作非常繁忙，经常有些琐事让他不开心，因此脾气不是很好。一天，下班后，他看见儿子汉斯坐在桌上，顿时来气了：“你这个混账，给我快起来。”儿子也不示弱，回敬了父亲，很快父子俩发生了一场极不愉快的争吵。第二天，米罗发现汉斯不见了，桌上只留了一封信，原来汉斯出走了。米罗非常后悔。他终于意识到：没有什么比儿子更重要的了。他迫切地想找回孩子。于是他来到街上，在那里贴了很多启事：“汉斯，回来吧，我爱你!明天早上我在西街花园等你!”第二天早上，米罗来到西街花园，发现有5个男孩等在那里。一问才知道他们都叫汉斯。这些叫汉斯的男孩都是离家出走的，他们等在那里，都希望自己的双亲能够到这里来接他！亲人之间难免发生争吵，产生隔阂。如果能相互理解，多站在对方的立场上想一想，就不至于相互伤害了，也不会有这么多汉斯等着回家了。当然，要做到这一点，就要时时把爱放在第一位。亲情的融洽离不开沟通、交流和理解。学而思教育 四升五 竞赛123班 第五讲 教师版 Page 48