02--第二讲复习函数新课程

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1、第二讲 复习函数一、 本讲进度 函数单元复习二、 本讲主要内容1、 函数的定义及通性；2、 函数性质的运用。三、 学习指导1、函数的概念：（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决

2、定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途

3、径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集

4、。判断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，ab，则T=2|a-b|。（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具

5、备反函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f-1f(x)=x，xA ff-1(x)=x，xC3、 函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法：描点法；图象变换。应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要

6、的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。 四、典型例题 例1、已知，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。解题思路分析：利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。 y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1 y=f-1(x+1)

7、的反函数为y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1 g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f-1(b)。例2、设f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1时，f(x)=2x-1，求当1x3时，函数f(x)的解析式。解题思路分析：利用化归思想解题 f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR成立 以x-2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当1x3时，-1x-21 f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)

8、=-2x+5 f(x)=-2x+5（1x3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例3、已知g(x)=-x2-3，f(x)是二次函数，当x-1，2时，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。解题思路分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax2+bx+c（a0）则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数 f(x)=x2+bx+3下面通过确定f(x)在-1，2上何时取最小值来确定b，分类讨论。 ，对称轴（1） 当2，b-4时，f(x)

9、在-1，2上为减函数 2b+7=1 b=3（舍）（2） 当（-1，2），-4b0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3） 证明：f(x)是R上的增函数；（4） 若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。 解题思路分析：（1） 令a=b=0，则f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2） 令a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10 当x0，f(-x)0 又x=0时，f(0)=10 对任意xR，f(x)0（3） 任取x2x1，则f(x2)0，

10、f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4） f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增 由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x3评注：根据f(a+b)=f(a)f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求的值。解题思路分析：在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件由已知得 x=4y， 例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件

11、，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用y=abx+c（其中a，b，c为常数）或二次函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。解题思路分析：设f(x)=px2+qx+r（p0）则 f(4)=-0.0542+0.354+0.7=1.3设g(x)=abx+c则 g(4)=-0.80.54+1.4=1.35 |1.35-1.37|bc B、acb C、bca D、cba2、方程（a0且a1）的实数解的个数是A、0 B、1 C、2 D、33、的单调减区间是A、（-，1

12、） B、（1，+） C、（-，-1）（1，+） D、（-，+）4、 函数的值域为A、 （-，3 B、（-，-3 C、（-3，+） D、（3，+）5、 函数y=log2|ax-1|（ab）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于A、 B、 C、2 D、-2 6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为A、 3 B、4 C、6 D、12（二） 填空题 7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0x1时，f(x)=x，则=_。8、 已知y=loga(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是_。9、 函数f(x)定义域为1，3，则f(x2+1)

13、的定义域是_。 10、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是_。 11、已知f(x)=log3x+3，x1，9，则y=f(x)2+f(x2)的最大值是_。12、已知A=y|y=x2-4x+6，yN，B=y|y=-x2-2x+18，yN，则AB中所有元素的和是_。13、若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m(x)+ng(x)+2在（0，+）上有最大值，则f(x)在（-，0）上最小值为_。14、函数y=log2(x2+1)（x0）的反函数是_。15、求值：=_。（三） 解答题16、若函数 的值域为-1，5，求a，c。 1

14、7、设定义在-2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围。18、已知0a1，在函数y=logax（x1）的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（1） 若ABC面积为S，求S=f(t)；（2） 判断S=f(t)的单调性；（3） 求S=f(t)最大值。19、 设f(x)=，xR（1） 证明：对任意实数a，f(x)在（-，+）上是增函数；（2） 当f(x)为奇函数时，求a；（3） 当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式。20、 设0a3；（2） 求a的取值范围。参考答案（一） 选择题1、 D 2、B 3、B 4、B 5、A 6、A（二） 填空题7、 8、（0，1） 9、 10、f(bx)f(cx) 11、1312、 189 13、-1 14、（x0） 15、1（三） 解答题16、 17.-1， 18、（1）（t1） （2）在1，+）上是减函数 （3）t=1时，19、（1）a=1； （2）当0k2时，1-kx2时，-1x1 20、