人大微积分课件12-1微分方程的基本概念

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1、,一、问题的提出,二、微分方程的基本概念,三、小结,第一节 微分方程的基本概念,解,一、问题的提出,例2 一质量为m的物体以初速度v0自高H处自由落下，求物体下落的距离s与时间t的函数关系（不计空气阻力）,代入初始条件后知,故,上式中令s=H得到物体落到地面所需的时间,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,一阶微分方程,分类2:,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4

2、: 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解: 指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),解,整理得,三、小结,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练 习 题,练习题答案,