极坐标综述

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1、极坐标 2008/12/09 16:06源自维基百科极坐标系标有多个角度的极坐标网格.在数学中,极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相 中心点一一极点(相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点)的距离来表示。极 标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海(en:Navigation)以及机器 领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而 平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线 极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表在极坐标系中表示点(3点（3,60）和点（4,210）正

2、如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r （半径坐标）和0 （角坐标、 极角或方位角，有时也表示为或t）。r坐标表示与极点的距离,0坐标表示按逆时 针方向坐标距离0射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中 的X轴正方向。曲 比如，极坐标中的（3,60）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60。的 点。（-3,240）和（3,60）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线 上距离极点3个单位长度的地方（240 - 180 = 60）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无 限种表达形式。通常来说，点（r, 0 ）可以任意

3、表示为（r, 0 土 nX360。）或（-r, 0 土 （2n + 1）180），这里n是任意整数。用如果某一点的r坐标为0，那么无论0 取何值，该点的位置都落在了极点上。使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者孤度，使用公式2n rad = 360.具体使用哪 一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行 测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更 倾向使用孤度。曲在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换极坐标系中的两个坐标r和e可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值x = rcos 9y =

4、r siiiS由上述二公式，可得到从直角坐标系中X和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标6 = arcta.ii 工 # 0曲在x = 0的情况下：若y为正数6 = 90 (n /2 radians);若y为负，则6 = 270(3n /2 radians).极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程 通常表示为r为自变量0的函数 极坐标方程经常会表现出不同的对称en:Symmetry形式，如果r(-0 ) = r(0 )，则曲 线关于极点(0/180)对称，如果r(n -0 ) =r(0 )，则曲线关于极点(90/270) 对称，如果r(0 -a ) = r(0 )，则曲线相当于从极点逆时

5、针(en:counterclockwise 旋转(en:Rotational symmetry)。朗圆A circle with equation r(0 ) = 1.在极坐标系中，圆心在(妇 )半径为a的圆的方程为r2 2rr0 cos (9 &) +： = a2该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(0) = a表小一个以极点为中心半径为a的圆。10 直线经过极点的射线由如下方程表示-,其中为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有 = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。的这些在点（r。，？）处的直线与射线0 =垂直，其方程为r（f?

6、） = r0 sec（f?乎）玫瑰线一条方程为r（0 ） = 2 sin 40的玫瑰线.极坐标的玫瑰线（匹虹业箜）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能 用极坐标方程来描述，方程如下：=a cos kQORr(9) = a sink9如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个 花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（冬）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该 方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的 长度。阿基米德螺线方程r(0 ) = 0 for 0 0 0，另一条0 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻 转90/

7、270得到其镜像，就是另一条螺线。圆锥曲线Ellipse, showing semi-latus rectum圆锥曲线方程如下：一(1 + ecos0)其中l表示半径，e表示离心率。如果e 1,则表示双曲线其他曲线由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。比如lemniscates en:limagons, and en:cardioids复数复数的通常(en:rectangular)形式为a + bi,在极坐标中也可以表示为两种不同的 方式：1.门心+顼1,般舄c2.等同于欧拉方程(en:Eulers formula)。田复数在直角坐标系和

8、极坐标系的转换通 过以下公式实现：a = r cos 9b = r sin 9其中？ =、梧+复数的乘法、除法以及指数以及开方运算，在极坐标中会比在直角坐标中容易得多， 他们分别是：乘法:手ft+，r cis 9 rk = d cis (9 -除法:a -指数(棣美弗定理，De Moivres formula): 1 上顷矢量微积分微积分可适用于极坐标系下表达的等式。令L为位置矢量L卜5：项成i，由r与随时间t变化的6表达，L是L方向上的单位矢量，a是以L为起始顺时针旋转的角度单位矢量。第一和第二个位置的表达式是：零=际+匏1= (r r9i + (两 + 2r9)9.令A为被一条连接焦点与曲

9、线上一点的线所划分出的区域，则WA就是由L和r所构 平行四边形区域的一半。= |r x dr|所以，整个区域就是;.?A关于时间的积分。应用行星运动的开普勒定律Keplers second law另二 Keplers laws of planetary motion极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为 环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面 所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律，即等域定律， 认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即dA心 是常量。这些等式可由牛顿运

10、动定律(en:Newtons laws of motion)推得。在开普勒行星运动定律(en:Keplers laws of planetary motion)中有相关运用极坐 标的详细推导。三维空间极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。圆柱坐标系2 points plotted with cylindrical coordinates 与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上增添 了第三条用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。这第三条坐标通常表示为h。 所以圆柱坐标表示为(r,们h)。通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：X = T COS 0y = r sin Qz = h球坐标系A point plotted using spherical coordinates球坐标系也可以运用坐标（p , , e）扩展为三维，其中p是距离球心的距离，是 距离z轴的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180），e是距离x轴的角度（与 极坐标中一样）。这个坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和纬度相似，纬度 就是余角，取决于6 =90？，经度可通过l=e -180算得。由通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：x = p sin cos 9 y = p siiit/j sin 9 z = p COS S