二阶微方程的

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1、二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课(二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程yx 2yxpy

2、q)(xftDextdd,令qpDDD)1(y)(tef练习题练习题:P327 题 2;3(6),(7);4(2)；8机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示P327 题题2 求以xxeCeCy221为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP327 题题3 求下列微分方程的通解,01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示:(6)令,)(ypy 则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:xyyy2sin52)

3、7(,212,1ir齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若(7)中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题4(2)求解02 yay,00 xy10 xy提示提示:令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数

4、.2C思考思考若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题8 设函数222,)(zyxrrfu在 r 0内满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导,且,1)1()1(ff试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程,并求 f(r).提示提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性,0)(2)(rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr(欧拉方程欧拉方程)原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfr

5、rfr,lnrt 令1)1()1(ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为 02)1(fDDD02fDD即通解:teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxCxCysincos21特征根:,2,1ir例例1.求微分方程2,xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件2x在解满足xyy,00 xy00 xy处连续且可微的解.设特解:,BAxy代入方程定 A,B,得xy,0,000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x由处的衔接条件可知,2时当x04 yy

6、,122xy12xy解满足故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1(2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解:定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示提示:,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结

7、束 思考思考:设,0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示:对积分换元,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题:xexx)()(,0)0(1)0(答案:xxexex41)12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解.例例3.设函数),()(在xyy,)()(,0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数,且23)0(y解解:,1ddyyx

8、,1ddyxy即上式两端对 x 求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2)方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解:题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1.建立数学模型 列微分方程问题建

9、立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球 引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v为(G 为引力系数)则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动 目录 上页 下页 返回 结束),(ddhvth设,dddd22hvvth则

10、代入原方程,得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件,得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使,0v应满足0vRMGv20因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,)sm81.9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为 skm2.11机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规例例5.上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比(比例,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提示提

11、示:,d0tksFss由题设两边对 s 求导得:stkFdd牛顿第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk系数为 k),开方如何定开方如何定+?已知一质量为 m 的质点作直线运动,作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦 力,求链条滑下来所需的时间.解解:建立坐标系如图.设在时刻 t,链条较长一段xox下垂 x m,又设链条线密度为常数,此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律,得22dd20txgx)1

12、0(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 101.021.01tgtgeCeCx由初始条件得,121 CC故定解问题的解为解得24)10(1021.0 xxetg),1(舍去另一根左端当 x=20 m 时,(s)625ln(10gt微分方程通解:101.01.0tgtgeex思考思考:若摩擦力为链条 1 m 长的重量,定解问题的数学模型是什么?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx2

13、2dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoy练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正 比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).(95考研考研)提示提示:建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgt

14、vtydddd22tyyvddddyvvdd注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得yoy质量 m体积 B 作业作业 P317 5 ,6 ;P327 3(8);4(2),(4)8;*11(1)得机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题)()(xfyxy 有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(,)(xfx微分方程的通解.解解:,0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy),(xpy

15、令方程化为331xpxp1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习:一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1)验证函数)(x满足微分方程;xeyyy(2)利用(1)的结果求幂级数!)3(30nxnn的和.解解:(1)!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn!)13(!8!5!2)(13852nx

16、xxxxyn!)23(!7!4)(2374nxxxxxyn机动 目录 上页 下页 返回 结束(02考研考研)!0nxnn所以 yyyxe(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy,1)0(y0)0(y其特征方程:,012 rr特征根:ir23212,1齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(3123cos3221xexexx!)3(30nxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束