132奇偶性第2课时函数奇偶性的应用

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1、1第第2 2课时课时 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 21.1.复习函数的单调性和奇偶性的概念；复习函数的单调性和奇偶性的概念；2.2.利用函数的奇偶性补全函数的图象；利用函数的奇偶性补全函数的图象；3.3.能够根据函数奇偶性的概念求函数解析式；能够根据函数奇偶性的概念求函数解析式；(难点）难点）4.4.根据奇偶性判断函数的单调性根据奇偶性判断函数的单调性.（重点）（重点）3一般地，设函数一般地，设函数f(xf(x)的定义域为的定义域为I I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的值值x x1 1,x,x2 2，当，当x x1 1

2、xx2 2时，都有时，都有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，那么就说函数，那么就说函数f(xf(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数 函数的单调性函数的单调性4 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值x x1 1,x,x2 2，当，当x x1 1xf(x)f(x2 2)，那么就说函数，那么就说函数f(xf(x)在区间在区间D D上是上是减函数减函数5 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(xf(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x)，那么函数，那么函数

3、f(xf(x)就叫做就叫做偶函数偶函数.一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(xf(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(xf(x)就叫做就叫做奇函数奇函数.6探究点探究点1 1 根据函数奇偶性画函数图象根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，如果能够画出偶函数在轴对称，如果能够画出偶函数在y y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y y轴另轴另一侧的图象一侧的图象.奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数奇函数的图象关

4、于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象在原点另一侧的图象.7例例1.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（1 1）（2 2）22yxx1yxx分析分析：（1 1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在函数，这样只要画出了在x0 x0时的函数图象就可以根据时的函数图象就可以根据对称性画出函数在对称性画出函数在x0 x0时的图象时的图象.（2 2）函数是奇函数，同样根据对称性解决）函数是奇函数，同样根据对称性解决.8解解：（1

5、 1）当）当 时，时，222(1)1yxxx0 x 其图象是以点其图象是以点(1,-1)(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与为顶点，开口向上的抛物线，与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(0,0)(2,0).(0,0)(2,0).此时函数图象在此时函数图象在y y轴右半轴右半部分如图所示：部分如图所示：根据函数图象的对称性根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，得到整个函数的图象，如图如图.9（2 2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0 0，11上单调递减，在区间（上单调递减，在区间（1 1，+）上单调递增，且在（）上单调递增，且在（0 0，+

6、）上函数值都是正值，函数在（）上函数值都是正值，函数在（0 0，+）上的最小值）上的最小值为为2.2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（根据函数在（0 0，+）上的性质，）上的性质，作出函数作出函数的的图象，如图第一象限图象，如图第一象限内如图所示内如图所示.根据奇函数图象关于坐标原点根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，对称画出这整个函数的图象，如图。如图。10探究点探究点2 2 根据函数的奇偶性求函数解析式根据函数的奇偶性求函数解析式例例2.2.已知函数已知函数f(xf(x)在（在（0,+0,+）上的解析式是）上的

7、解析式是f(xf(x)=2x+1)=2x+1，根据下列条件求函数在（根据下列条件求函数在（-，0 0）上的解析式）上的解析式.（1 1）f(xf(x)是偶函数；是偶函数；（2 2）f(xf(x)是奇函数是奇函数.11分析：分析：求函数求函数f(xf(x)在在(-(-，0 0）上的解析式，就是求当）上的解析式，就是求当 时，如何用含时，如何用含x x的表达式表示的表达式表示f(xf(x)(,0)x 能够利用的已知条件是函数在（能够利用的已知条件是函数在（0 0，+）上的函数解析）上的函数解析式，这样就要把（式，这样就要把（-，0 0）上的自变量转化到（）上的自变量转化到（0 0，+）上的自变量上

8、的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是数就是f(x)=f(-xf(x)=f(-x)，这样当，这样当 时，时，而在（而在（0 0，+）上的函数解析式是已知的）上的函数解析式是已知的.对奇函数同对奇函数同样处理样处理.(,0)x(0,)x 12解：解：（1 1）当函数）当函数f(xf(x)是偶函数时，满足是偶函数时，满足f(x)=f(-xf(x)=f(-x)当当 时，时，(,0)x(0,)x 所以，当所以，当 时，时，(,0)x(

9、)()2()121f xfxxx (2)(2)当函数当函数f(xf(x)是奇函数时，满足是奇函数时，满足f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x)当当 时，时，(,0)x(0,)x 所以，当所以，当 时，时，(,0)x()()2()121f xfxxx 13探究点探究点3 3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例回顾例1 1中两个函数的图象中两个函数的图象第（第（1 1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律般规

10、律.第（第（2 2）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律般规律.14例例3.3.已知函数已知函数f(xf(x)是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，+）上是减函）上是减函数，证明函数在（数，证明函数在（-，0 0）上也是减函数）上也是减函数.分析：分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-(-，0)0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-(-，0)0)上的

11、函数值转化到（上的函数值转化到（0 0，+）上的函数值，再根据函数）上的函数值，再根据函数在（在（0 0，+）上是减函数，确定所作的差的符号，最后）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论根据函数单调性的定义得到证明的结论.15所以所以-f(x-f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)0)0.)0.证明：证明：在（在（-，0 0）上任取）上任取x x1 1x-x-x2 200因为函数在（因为函数在（0 0，+）上是减函数，所以）上是减函数，所以12()()0fxfx由于函数由于函数f(xf(x)是奇函数，所以是奇函数，所以1122()(),()()fxf xfxf

12、 x 根据减函数的定义，函数根据减函数的定义，函数f(xf(x)在（在（-，0 0）上是减函数）上是减函数.注意步骤注意步骤16函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系(1)(1)若若f(xf(x)是奇函数是奇函数,则则f(xf(x)在其关于原点对称的区在其关于原点对称的区间上单调性一致间上单调性一致;若若f(xf(x)是偶函数是偶函数,则则f(xf(x)在其关于定在其关于定义域对称的区间上单调性相反义域对称的区间上单调性相反.(2)(2)奇函数在对称区间上的最值相反奇函数在对称区间上的最值相反,且互为相反数且互为相反数;偶函数在对称区间上的最值相等偶函数在对称区间上的最值相等.提

13、升总结：提升总结：171.(20101.(2010新课标全国卷新课标全国卷)设偶函数设偶函数f(xf(x)满足满足f(xf(x)=x)=x3 3-8(x0)8(x0)，则，则x|f(x-2)0 x|f(x-2)0=()=()（A A）x|xx|x-24 x4 （B B）x|xx|x04x4（C C）x|xx|x06 x6 （D D）x|xx|x-22x2解解:选选B.B.因为函数因为函数f(xf(x)在（在（0,+0,+）上为增函数，且）上为增函数，且f(2)=0,f(2)=0,由偶函数的性质可知，若由偶函数的性质可知，若f(x-2)0,f(x-2)0,需满足需满足|x-|x-2|2,2|2,

14、得得x4x4或或x0,x0,故选故选B.B.182.2.画出函数画出函数f(xf(x)=-x)=-x2 2+4|x|+4|x|的图象的图象.答案：答案：193.3.已知奇函数已知奇函数f(xf(x)，在（，在（-，00上的解析式是上的解析式是f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x，求这个函数在（，求这个函数在（0 0，+）上的解析式）上的解析式.答案：答案：22()()()2()2f xfxxxxx 204.4.若偶函数若偶函数f(xf(x)在（在（-，0 0）上是增函数，判断函数）上是增函数，判断函数f(xf(x)在（在（0 0，+）上的单调性，并加以证明）上的单调性，并加以证明.答案：

15、答案：函数函数f(xf(x)在（在（0 0，+）上是减函数）上是减函数.证明：证明：在（在（0 0，+）上任取）上任取x x1 1x-x0-x1 1-x-x2 2由于函数在（由于函数在（-，0 0）上是增函数，故）上是增函数，故f(-xf(-x1 1)f(-x)f(-x2 2)，由于函数由于函数f(xf(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(-xf(-x1 1)=f(x)=f(x1 1)，f(-xf(-x2 2)=)=f(xf(x2 2)，所以，所以f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，根据减函数的定义，函数，根据减函数的定义，函数f(xf(x)在（在（0 0，+）上是减函数）上是减函数.

16、211.1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单 调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具.2.2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数 的单调性是函数在定义域上的局部性质的单调性是函数在定义域上的局部性质.3.3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点 对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定 义域对称的区间上具有相反的单调性义域对称的区间上具有相反的单调性.22 但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳